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2026-2027学年山东省青岛第九中学（青岛外语学校）高二（上）质量检测数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.设，，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，直线：上存在点，满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.如图，长方体的底面是边长为的正方形，，点、分别为棱、的中点若平面平面，则直线与平面所成角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，始终不过第三象限
10.空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是( )
A. 若直线的方程为，则点在直线上
B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为
C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为
D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，，则直线与平面的夹角的余弦值为
11.在正三棱柱中，，为的中点，为中点，则( )
A.
B. 若为面上一点，则的最小值为
C. 若为直线上一动点，则到直线距离的最小值为
D. 过的一个平面截此棱柱，与侧棱，，分别交于点，，若为直角三角形，则面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过，两点的直线的方向向量为，则实数的值为 ．
13.二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长 ．
14.在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面内两点，．
求过点且与直线平行的直线的方程．
若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，点，分别是和的中点，已知，，直线与平面所成的角为．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
求点的坐标；
求边所在直线的方程；
求的平分线所在直线的方程．
18.本小题分
已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面．
求证：为线段的中点；
已知点在线段上包含端点位置，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角．
当时，求证：；
定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率．
当时，求斜三棱柱的投影偏差率不需证明，并求此时平面与平面夹角的余弦值；
关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求的值
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线平行的直线的方程为：，即；
的中点坐标为，由可知线段垂线的斜率为，
所以线段垂直平分线的方程为，即，
因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以点在直线上，
故设点为，由可得：，
解得或，所以点坐标为或，
则直线的方程为或．
16.【答案】证明：平面，平面，，
又，，
，平面，平面，平面，
点，分别是和的中点，，
平面，平面，
又平面，则平面平面．
解：平面，，
建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示．
点，分别是和的中点，，
，取的中点，连接，，
，为和的中点，，
又平面，平面，
即为直线与平面所成的角，
又直线与平面所成的角为，，
在中，，，，
在中，，，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
，取，则，
平面的一个法向量为，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，为锐角，
．
17.【答案】解：设，
因为边上的中线方程为，边上的高的方程为，
所以，解得，
即点．
设，
因为边上的中线的方程为，边上的高的方程为，
所以，解，得，即点的坐标为．
易知，
故BC边所在直线的方程为，即．
可知，，，
易得，
故，
则的平分线所在直线的一个方向向量是，斜率为，
故角平分线所在直线的方程为，即．
18.【答案】设，
连接，则，，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
作交于点，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设，，
则，
所以，
因为平面，所以，
即，解得，
此时，
故E为线段的中点
19.【答案】解：证明：因为
，
所以，即；
以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，
建立下图所示空间直角坐标系，
则，，，
已知，，，
则，，故，
已知与、所成角分别为、，
则，
则，，
则，，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
平面的法向量可取，
设平面与平面夹角为，
则；
，
已知存在两个不同的锐角，使得，
设，，则，
锐角，是两个不同的锐角，则，符号相反，
，即，
化简整理得，，
，为锐角，则，，
．
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