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2026-2027学年上海市松江区第四中学高二（上）第一次学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是( )
A. 条 B. 条 C. 超过条但有限 D. 无数条
2.如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点则以下和直线相交的是直线( )
A.
B.
C.
D.
3.下列命题正确的是( )
A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
4.如图，在正方体中，，分别为线段，上的动点，给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
存在点，存在点，满足平面；
任意点，存在点，满足平面；
任意点，存在点，满足；
任意点，存在点，满足．
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知直线，和平面，若，，则与的位置关系是 ．
6.三棱柱的条棱中，与异面的棱有 条
7.正方体中，直线与所成角大小为 ．
8.若正方体的棱长为，则顶点到平面的距离为 ．
9.如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有 个
10.长方体中，直线与平面所成的角为，若，则平面和之间的距离为 ．
11.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是 ．
12.如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
13.已知二面角为，是半平面内一点，点到平面的距离是，则点在平面内的投影到的距离是 ．
14.如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，则二面角的正切值为 ．
15.平面平面，，，与两平面、所成的角分别为和过、分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若，则 ．
16.如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在正方体中
求证：直线平面；
求直线和所成角的大小．
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点，
证明：平面；
证明：平面平面．
19.本小题分
如图，三棱锥中，侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点．
求证：；
若，求二面角的大小．
20.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点．
求证：平面；
求直线和所成角的大小；
若点，分别为，的中点，求证：平面平面．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且．
求直线和平面所成角的大小；
证明：平面；
线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】证明：连接，在正方体中，，，故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，故A平面．
连接、，如下图所示：
由可知，则异面直线和所成角为或其补角，
易知是等边三角形，故，
即异面直线和所成角为．
18.【答案】证明：连接交于点，连接，如图所示：
底面为正方形，所以为的中点，
又因为为棱的中点，所以由中位线性质可知，
又平面，平面，
所以平面；
因为为棱的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，
所以平面；
结合中平面，且，，平面，
所以平面平面．
19.【答案】解：证明：侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
，，
又，、平面，平面，
平面，．
取线段的中点，连接、，如下图所示：
不妨设，则，
为的中点，，
，，，、平面，平面，
平面，，
，、平面，平面，
平面，，
二面角的平面角为，
，，由勾股定理可得，
为的中点，，
平面，平面，，
，故．
即二面角的大小为．
20.【答案】证明：在菱形中，，则为等边三角形，又为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面．
解：因为，则为直线和所成的角，
又为等边三角形，为的中点，且，所以，
由知平面，又平面，所以，且，
所以，在中，，
由余弦定理得，
又，所以，
故直线和所成角的大小为．
证明：如图，连接，，，
在中，因为点，分别为，的中点，则，
在菱形中，，分别为，的中点，则，且，
所以四边形为平行四边形，则，
由和知，，则，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，故平面平面．
21.【答案】解：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面．
因此是在平面内的射影，为直线与平面所成角．
在直角三角形中，，，．
所以，即直线和平面所成角的大小为．
证明：因为平面，平面，所以底面为矩形，
所以又，，平面，所以平面．
因为平面，所以在直角三角形中，，，
所以由得在中，，
所以．
于是，所以，
即又，，平面，所以平面．
存在．如图所示，在上取点，使，则过作交于．
因为，所以．
在中，在上，在上，且，，所以．
于是平面，平面又，所以平面平面．
因为平面，所以平面．
在中，，所以．
又，所以，．
因此存在点，且．
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