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北京理工大学附属中学2026-2027学年第一学期高二期中练习
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知直线：和直线：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，则以下正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱中，，，，，点，分别是棱与的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，与圆：恰有三条公切线，则( )
A. B. C. D.
8.当直线：被圆：截得的弦长最短时，则实数( )
A. B. C. D.
9.圆：关于直线：对称的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
10.如图，已知棱长为的正方体，点为的中点，点为底面上的动点，则以下结论正确的是( )
存在点满足
存在唯一的点满足
满足的点的轨迹长度为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数满足，则的模为 ．
12.一条光线从点射出，被轴反射后经过圆的圆心，则入射光线所在的直线方程为 ．
13.人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为现已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角是 ．
14.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时，则直线：被动点所形成的轨迹截得的弦长为 ．
15.已知点，，直线：与线段有公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知的顶点，若边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．
求顶点的坐标；
求直线的方程．
17.本小题分
已知，，在圆上．
求圆的标准方程；
若直线，且与圆交于点、，，求直线的方程．
18.本小题分
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点，分别在棱，上．

若是的中点，证明；
若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．
19.本小题分
现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”已知圆：．
若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状；
已知圆：，且，均为圆“”的“牵连点”．
求直线的方程；
若圆是以线段为直径的圆，直线：与交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：
已知，设，
则，
，解得，
则点的坐标为；
由已知可设直线的方程为，
点在直线上，
，解得，
则直线的方程为，
联立，
解得，则点坐标为，
则过，两点的直线方程为，
即．
17.【答案】解：设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径．
因为，，在圆上，
所以，解得．
故圆的标准方程为．
直线的斜率为．
因为直线，故直线的斜率为，
设直线的方程为，即．
已知圆心，半径，由，，可知为等腰直角三角形．
根据圆的弦长性质，圆心到直线的距离为等腰直角三角形斜边上的高，因此．
又圆心到直线的距离为，
所以，即，解得或．
将代入距离公式，得，满足直线与圆相交的条件．
故直线的方程为或．

18.【答案】解：四边形是正方形，平面，，，；
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
由题意可知，，，，则，，，；
是的中点，．
在棱上，设，其中；
，；
，得，即．
由，，得；
在棱上，设，其中，则．
由可得，，其中，则．
平面为平面，平面的一个法向量为．
平面，，即．
，．
平面为平面，平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，则，得；
令，得，，则平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为，则，解得；
，．
，得点到平面的距离．
，即四面体的体积为．

19.【答案】解：设点的坐标为，圆的圆心为，半径，
设圆上一动点，因为点为圆外的定点，所以，
则的最大值为，最小值为，即由定义得，
解得，则点的轨迹方程为，该轨迹是以为圆心，为半径的圆．
已知圆方程为，圆心，半径，
由于点同时是圆的“上进点”，则的轨迹为圆：，
因为也是圆的“上进点”，同理得，则的轨迹为圆：．
由于，均为圆“”的“牵连点”所以，为圆与圆的两个交点，
将两圆方程相减化简得，即直线的方程为．
联立方程组，解得交点坐标为与．
圆是以线段为直径的圆，圆心为的中点，，
所以圆的方程为，
假设存在轴上的点满足条件，
设交点，，将直线代入圆方程整理得，
由于直线与圆交于两点，即恒成立，
由韦达定理得，，
由于，即点，在轴异侧，要满足题意，即，
，
将，代入化简得，
代入得，即，
由于等式对不断变化的恒成立，即，解得，
当时显然也满足题意．
故存在点满足题意，坐标为．

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