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九年级数学（北师大版A）
注意事项：满分120分，时间120分钟．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．若是方程的一个解，则的值为（　　）
A． B．4 C． D．5
2．已知两个多边形相似，且相似比为，小多边形的最大边长为8，则大多边形的最大边长为
（　　）
A．2 B．4 C．16 D．32
3．如图，在菱形中，对角线，相交于点．若，则的度数为
（　　）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程，方程可变形为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，是边上的高，是边上的中线．若，
，则的长为（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
6．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，添加下列条件不能判定
的是（　　）
A． B． C． D．
7．城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．小华了解到
某列车在未进站时开始减速滑行，列车离停车线的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）满足关
系，则列车从开始减速到停止时经过的时间为（　　）
A．16秒 B．24秒 C．32秒 D．36秒
8．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线
于点，交于点，连接．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．已知，则的值为_______________．
10．如图，在矩形中，于点，，则的度数是
_______________．
11．设，是方程的两个实数根，则的值为_______________．
12．决赛开始前，为提升队伍士气，所有队员都相互拥抱了1次．已知所有人共拥抱105次，则队员的人
数为_______________．
13．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，即
．已知 cm，则的长为_______________cm．
14．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连接交
于点，连接．若，，则的长为_______________．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15．（5分）解方程：．
16．（5分）如图，，若，，，求线段的长．
17．（5分）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使将
分割成两个三角形，且两个三角形都与相似．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，在正方形中，是边的中点，连接，．求证：．
19．（5分）如图，线段，相交于点，，，，，求的
长．
20．（5分）如图是一张长20 cm、宽10 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长相等的正方形，
然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积为的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长．
21．（6分）长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图①所示，图②是其
在闭合状态时的示意图，经测量， cm， cm， cm，求在闭合状态
下点，之间的距离．
22．（7分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当为符合条件的最大正整数时，求方程的解．
23．（7分）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为上一点，且
．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
24．（8分）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为500千克，在每期亩产量平均增长
率保持不变的情况下，第三期亩产量达到720千克．
（1）求每期海水稻亩产量的平均增长率；
（2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，已知海水稻的成本为每千克4元．经市场调研发现：若售价
定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高1元，则日销售量减少20千克．当海水稻的定
价为每千克多少元时，每天可获利960元？
25．（8分）如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，连接交
于点，且垂直平分，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的长．
26．（12分）【问题提出】
（1）如图①，在矩形中，，，连接，过点作，交边于点，
则的值为_______________；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，，为边上一点，连接，过点作的
垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，求的长；
【问题解决】
（3）如图③，园区管委会计划在码头修建栈桥平台四边形，， m，
m．工作人员分别在平台边缘，上设置系缆桩，，并在，上布置缆
绳，使得，求两段缆绳与之间的数量关系．
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九年级数学参考答案及评分标准（北师大版A）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A C B D D B C A
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．
10．
11．
12．15
13．
14．9
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15．解：原方程可变形为，
．
，或． （3分）
所以，． （5分）
16．解：∵，，
∴ （1分）
∵,
∴，即 （3分）
∴ （5分）
17．解：如图，点即为所求．
（5分）
18．证明：∵四边形是正方形，
∴， （2分）
∵是边的中点，
∴ （3分）
∴ （4分）
∴ （5分）
19．解：∵，，
∴ （3分）
∴，即， （4分）
∴ （5分）
20．解：设剪去的正方形的边长为 cm．
根据题意，得， （3分）
解得，（不符合题意，舍去）．
答：剪去的正方形的边长为1 cm． （5分）
21．解：∵cm，cm，
∴(cm)，(cm)． （1分）
∴． （2分）
又∵，
∴． （4分）
∴． （5分）
∴(cm)．
答：在闭合状态下点，之间的距离为2.4 cm． （6分）
22．解：（1）由题意得，
解得．
∴的取值范围是． （3分）
（2）∵，
∴最大正整数的值为2． （4分）
此时方程为， （5分）
解得，． （7分）
23．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，． （2分）
∵，，
∴． （3分）
∴． （4分）
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴． （5分）
∵,
∴，即． （6分）
∴． （7分）
24．解：（1）设每期海水稻亩产量的平均增长率为．
由题意，得， （2分）
解得，（不符合题意，舍去）．
答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （4分）
（2）设海水稻的定价为每千克元．
由题意，得， （6分）
解得，．
答：当海水稻的定价为每千克10元或12元时，每天可获利960元． （8分）
25．（1）证明：∵垂直平分，
∴，． （1分）
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形． （3分）
又∵，
∴四边形是菱形． （4分）
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∴． （5分）
∵四边形是菱形，
∴．
∴是等边三角形．
∴． （6分）
∵，
∴．
∴． （7分）
∵，
∴． （8分）
26．解：（1）． （2分）
（2）如图②，过点作，交的延长线于点，
则．
∴四边形为矩形．
∴．
∵，
∴． （4分）
又∵，
∴．
∴ （5分）
∴，即．
∴ （6分）
（3）如图③，连接交于点．
∵，，，
∴．
∴．
∴垂直平分．
∴，．
在中,由勾股定理,得 （8分）
∵，
∴．
∴，． （9分）
过点作于点．
∵，
∴ （10分）
∵,
∴．
∵,
∴，．
∴．
∴．
∴，
即．
答：两段缆绳与之间的数量关系为． （12分）

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