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2028届高二年级数学学科第二次阶段性练习试卷
命题人： 审题人： 满分：150 分　　考试时间：120 分钟
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．过点 且倾斜角为 的直线方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．圆 的圆心坐标与半径分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
3．直线 被圆 截得的弦长为（　　）
A． B． C． D．
4．圆 与圆 的位置关系及公切线条数分别为（　　）
A．外切，3 条 B．内切，1 条 C．相交，2 条 D．外离，4 条
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，， 是椭圆上一点，且 ，则 的值为（　　）
A．7 B．13 C．2 D．7 或 13
6．双曲线 的离心率与渐近线方程分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
7．已知点 ， 在直线 的同侧， 为直线 上的动点，则 的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
8．已知椭圆 与双曲线 有公共焦点，且双曲线 的离心率为 2，则双曲线 的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线 的离心率为 2
B．双曲线 的渐近线方程为
C．若 为 上一点，且 ，则 或 9
D．若 为 上一点，则
10．已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（　　）
A．圆 的圆心为 ，半径为 2
B．过点 且与圆 相切的直线有且仅有 1 条
C．当 时，直线 与圆 相交
D．若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，则
11．已知椭圆 与双曲线 （，）有公共焦点，则下列结论正确的是（　　）
A．椭圆的离心率为
B．
C．若双曲线的离心率为 2，则
D．双曲线 的离心率 的取值范围是
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12．已知直线 经过点 ，且 在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为________．
13．已知椭圆 （）的左、右焦点分别为 ，，若椭圆 上存在点 ，使得 ，则椭圆 的离心率 的取值范围是________．
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，， 为 的右支上的动点，点 ，则 的最小值为________．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知圆 ．
（1）求过点 且与圆 相切的直线方程；（6 分）
（2）已知直线 与圆 交于 ， 两点，若 ，求实数 的取值范围．（7 分）
16．已知圆 与圆 ，动圆 与圆 内切、与圆 外切．
（1）判断圆 与圆 的位置关系；（7 分）
（2）求动圆圆心 的轨迹方程，并指出它表示什么曲线．（8 分）
17．如图，在直三棱柱 中，，，， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；（7 分）
（2）求三棱锥 的体积．（8 分）
18．已知椭圆 （）经过点 和 ．
（1）求椭圆 的标准方程；（5 分）
（2）设 ， 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上一点，且 ，求 的面积；（6 分）
（3）设 为椭圆 上的动点，求 面积的最大值，并指出此时点 的坐标．（6 分）
19．已知椭圆 与双曲线 （，）有公共焦点， 为 与 的一个公共点，且 在第一象限．
（1）求双曲线 的半焦距；（4 分）
（2）若 ，求双曲线 的标准方程；（6 分）
（3）求点 的坐标及 的面积．（7 分）
2028届高二年级数学学科第二次阶段性练习试卷参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A A A A A B
题号 8 9 10 11 12 13 14
答案 A ABD ACD ABC 3x-2y=0 或 x+y-5=0 6
15.（1），故点 在圆外，切线有两条．
① 当切线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，则 ，即 ，解得 ，切线方程为 ；
② 当切线斜率不存在时，切线方程为 ，此时圆心到 的距离 ，符合题意．
所以所求切线方程为 或 ．
（2）圆心 到直线 的距离 ，弦长 ．由 得 ，即 ，所以 ，化简得 ，即 ．所以实数 的取值范围是 ．
【评分细则】（1）配方求出圆心、半径得 1 分；判断点 在圆外、切线有两条得 1 分；求出 得 2 分；补充 得 2 分（只写 缺 的扣 2 分）．（2）写出点到直线的距离公式得 2 分；写出弦长公式 得 2 分；由 正确解出 得 3 分（漏掉等号写成 的扣 1 分）．
16.（1）圆 的圆心 ，半径 ；圆 的圆心 ，半径 ．圆心距 ，所以圆 与圆 外离．
（2）设动圆 的半径为 ，圆心 ．因为动圆 与圆 内切，所以 ；因为动圆 与圆 外切，所以 ，即 ，代入得 ．
若 ，则 ，但 ，矛盾，舍去；
故 ，得 ，即 到 的距离比到 的距离大 3， 在靠近圆 的一侧．
由双曲线定义，，；，，故 ，且双曲线的中心为 的中点 ．
所以动圆圆心 的轨迹方程为 ，即 （），它表示双曲线 靠近圆 的一支（左支）．
【评分细则】（1）写出两圆的圆心与半径得 3 分；算出圆心距 得 2 分；与 比较并判定外离得 2 分（结论正确但未说明比较过程的扣 1 分）．（2）设出 、 并正确写出两切关系得 2 分；化出 并舍去 的情形得 2 分；求出 、、 得 2 分；写出方程并正确限定 （一支）得 2 分（缺范围或写成整条双曲线的扣 1～2 分）．
17.（1）在 中，， 为 的中点，所以 ．
因为 是直三棱柱，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，，且 ，，所以 平面 ．
（2）因为 ，，所以 ，故 ；又 是直角三角形斜边上的中线，所以 ，
所以 ．
因为 平面 ，而平面 即平面 ，所以点 到平面 的距离为 ，
故 ，即三棱锥 的体积为 ．
【评分细则】（1）由等腰三角形得 得 3 分；指出 平面 从而 得 3 分；强调 与 相交并引用线面垂直的判定定理得 1 分（漏写"相交"的扣 1 分）．（2）求出 、 得 2 分；求出 得 2 分；说明高为 得 2 分；代入体积公式得 并作答得 2 分（答案正确但未说明高的取法的酌情扣 1 分）．
18.（1）设椭圆 ，将 ， 代入得 ，．令 ，，则 ，，解得 ，，故 ，．所以椭圆 的标准方程为 ．
（2），故 ，．设 ，，由椭圆定义知 ．在 中，，由余弦定理得 ，即 ．又 ，代入得 ，解得 ．所以 ，即 的面积为 ．
（3）以 为底，设 ，则 到直线 （即 轴）的距离为 ，故 ．由椭圆方程知椭圆上点的纵坐标满足 ，当且仅当 时取等号，故 ，此时点 的坐标为 或 （短轴端点）．
【评分细则】（1）正确设出方程并代入两点得方程组得 3 分；正确解出 、 得 1 分；写出标准方程得 1 分．（2）求出 、 得 1 分；写出定义式 得 1 分；列出余弦定理并化简得 2 分；正确求出 得 1 分；代入面积公式得 得 1 分．（3）写出 得 2 分；指出 得 2 分；正确求出 得 1 分；写出 得 1 分．
19.（1）椭圆 中，，，故 ，所以 ．双曲线 与椭圆有公共焦点，故双曲线 的半焦距 ．
（2）设 ，，因为 在第一象限，所以 ．由椭圆的定义得 ；在 中，由余弦定理得 ，即 ．又 ，所以 ，代入并整理得 ，解得 ．由双曲线的定义得 ，所以 ，即 ，得 ．又 ，所以 ．故双曲线 的标准方程为 ．
（3）由（2）知 : ，即 ．将其代入椭圆 的方程并整理，得 ，即 ，解得 ．因为 在第一象限，所以 ，，故 ，所以点 的坐标为 ．因此 的面积 ．
【评分细则】（1）由椭圆方程求出 得 2 分；由“公共焦点”得双曲线半焦距 得 2 分．（2）写出 得 1 分；由余弦定理列出 得 2 分；结合 求出 得 1 分；由双曲线定义求出 ， 得 1 分；写出双曲线 的标准方程得 1 分（未求 直接写方程的酌情扣 1 分）．（3）联立两曲线方程并正确消元得 2 分；解出 并由第一象限确定取值得 2 分；求出 并写出点 的坐标得 2 分；正确求出 的面积 得 1 分（面积公式用错或结果不正确的扣 1 分）．

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