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2026~2027学年度第一学期期中学业水平诊断
高三数学参考答案
一、选择题：
1．A 2．B 3．C 4．A
5．D 6．C 7．C 8．B
二、选择题
9．AC 10．ACD 11．ABC
三、填空题
12．4 13．9 14．
四、解答题
15．解：（1）由题知， ， ， ， ，
设抛物线 的方程为 ， ，
代入 得 ，解得 ， 2分
所以曲线段 的方程为 ， ． 3分
设点 P的坐标为 ， ，则函数 点 P处的切线的斜率为 ，
所以切线 的方程为 ，整理得 ． 4分
所以 ， ，故 ， ， 6分
所以 ， ． 8分
（2）由（1）知， ， ，
所以 ， 9分
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 11分
所以当 时， 取得最大值 ． 13分
16．解：（1）证明：因为 ，所以 ， 1分
又 ，所以 ，
所以 ， 3分
所以 是以 1为首项， 为公比的等比数列，
所以 ． 5分
所以 ， ， ，…， ，
以上各式相加，得 ， 7分
所以 ， 8分
又 ，符合上式，故 ． 9分
（2）由（1）可得， ， 10分
所以 ，
， 12分
两式作差得
， 14分
所以 ． 15分
17．解：（1）因当 时， ，
且 ，故 ， 2分
即 且 ，解得 ， 4分
所以 的取值范围为 ． 5分
（2）因为 ，又由（1）知， ，所以 ． 6分
所以 ，所以当 时， ，故当 ，
即 时， 取得最大值，故 ， ． 8分
因为 ，所以 ，
所以 ， ， ， 10分
所以 ， 12分
令 ， ，故 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ，
在 上单调递增，所以当 时， ． 14分
所以当 时， 的最小值为 ． 15分
18．解：（1）因为 ， ，
所以 ． 1分
由正弦定理得， ， 2分
因为 ，所以 ，即 ， 3分
因为 ，所以 ，所以 ． 4分
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ；
在 中，由 得，即 ， 6分
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ． 8分
在 中，由 得， ，所以 ， 9分
所以 的面积 ． 10分
（3）因为 ，所以 ，
， 11分
所以
， 12分
所以 ， 14分
设 ，则 ，则 ，
设 ，其图象对称轴为 ，
所以当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，
此时 ．
又因为当 时， ，且 ，所以 ． 15分
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上的单调递增，
所以 ，
此时 ．且当 时， ，所以 ． 16分
综上，当 时， ，
当 时， ． 17分
19．解：（1）由题知， ， ， 1分
所以当 时， ，函数 在 上单调递减，无最小值． 2分
当 时，令 ，即 ，即 ．
令 ， ，则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，
且 ，当 时， ，故当 时，存在唯一 ，使得 ，所以当
时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在
上单调递增，所以当 时， 取得最小值． 4分
综上， 的取值范围是 ． 5分
（2）当 时， ．
令 ， ，所以 ，
因为 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
又因为 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ， 7分
即 ，所以当 时， ， 单调递减， 时，
， 单调递增，所以当 时， 取得最小值． 8分
此时 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ， 9分
即 ，所以 ，得证． 10分
（3）由（2）知，令 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以 ． 12分
因为 ，令 ， ，则 ，
即 ，即 ，
所以 ． 15分
又因为
，
所以 ． 17分2026～2027学年度第一学期期中学业水平诊断
高三数学
注意事项：
1．本试题满分 150分，考试时间为 120分钟．
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．
3．使用答题纸时，必须使用 0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题
区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求．
1．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
3．已知向量 ， ，若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
A． B．
C． D．
5．湖泊富营养化评价指数 是湖泊水质的一个评价指标，其中 ， 分别表示湖泊中浮游植
物种类数与水体叶绿素浓度（单位： ）．某湖泊经生态修复前后，浮游植物种类数 没有变化，其
叶绿素浓度由 变为 ，富营养化评价指数由 1.8提高到 3.0，则
A． B．
C． D．
6．已知 ， ，则
A． B．
C． D．
7．已知函数 及其导函数 都是定义在 上的连续函数，且 只有有限个零点．则函数
的极值点个数可能为
A．0 B．2 C．3 D．4
8．已知等差数列 的公差 ，记集合 ．从 中任取 3个
不同的元素，若这 3个元素能构成一个等差数列，则称这 3个元素构成的集合为 的一个三元子集，设
的所有三元子集构成集合 ，则 的元素个数为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知函数 的定义域为 ，且对任意实数 ， ，都有 ，
则
A．
B．若 ，则
C． 是偶函数
D． 是增函数
10．已知函数 ，若将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函
数 的图象，则下列结论正确的有
A．若函数 的图象关于 轴对称，则
B．若函数 的图象关于点 对称，则
C．若函数 的图象关于原点对称，则满足条件的 的个数为 4
D．若函数 与 的图象关于 轴对称，则满足条件的 的个数为 3
11．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， ．定义数列 ：当 为奇数
时，令 ，当 为偶数时，令 ．则下列结论正确的有
A．
B．
C．数列 的前 项和为
D．存在正整数 ， ，使得
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知等比数列 满足 ，则 的值为 ．
13．在三角形 中， 为线段 上异于 ， 的动点，若 ，其中 ， 为实
数，则 的最小值为 ．
14．已知函数 ，将 求导 次后所得到的函数记为 ，并规定 ．
若函数 ，且对任意 以及任意自然数 ，均有 ，则实数
的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某生态公园有一块长方形地块 ，其中 ， ．地块的一角是天
然湖泊（图中阴影部分），已知边缘曲线 是以 为顶点，以 所在直线为对称轴的抛物线的一部
分．现要经过曲线 上一点 （异于 ， 两点）铺设一条笔直的隔离带 ，点 ， 分别在边
， 上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过湖泊．设点 到边 的距离为 （单位： ），
的面积为 （单位： ）．若以 为坐标原点，分别以 ， 所在的直线为 ，
轴，建立平面直角坐标系，求解以下问题：
（1）求曲线段 的方程和 ；
（2）求当 为何值时， 取得最大值，并求出 的最大值．
16．（15分）在数列 中， ， ， ．
（1）证明： 是等比数列，并求 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
17．（15分）已知函数 ， ，且 在区间 上单调递增．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， ，且对 ， ．在平面直角坐标系 中，过点
作 轴的垂线且与 轴交于点 ， 为线段 上的一个动点，设 ，
，写出 关于 的函数解析式，并求 的最小值及此时 的值．
18．（17分）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，点
为边 上一点．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积
（3）若 ， （ 为常数且 ）， ，求实数 的取值范围．
19．（17分）已知函数 存在最小值．
（1）求 的取值范围；
（2）证明：当 时，对任意 ， ；
（3）设数列 ， ，证明： ．

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