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浙江省宁波市2026-2027学年第一学期高三高考模拟考试（一模）数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A. 1 B. C.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.全集U＝{1，2，3，4}， 集合M满足{4} M {1，3，4}， U M {2，4}， 则M＝
A. {4} B. {1，4} C. {3，4} D. {1，3，4}
4.在宁波某景点的正东方向200 km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为50km/h，距台风中心250km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该景点受到此次台风影响的持续时间为
A. 4小时 B. 5小时 C. 6小时 D. 7小时
5.两个线性相关变量x与y的统计数据如下表：
x 2 3 5 6
y 1.6 3.0 5.6 5.8
由一元线性回归模型，得到经验回归直线方程 则样本点在（6，5.8）处的残差为
A. －0.4 B. －0.3 C. －0.2 D. －0.1
6.给定平面向量a，b，甲、乙、丙、丁四人分别做出以下判断
甲： 丙： 丁：
若四个人中三个人的判断是正确的，一个人的判断是错误的，则判断错误的人是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
C. （0，1） D. （1，2）
8.在无穷正整数数列{{an}中， 若 则 的取值不可能为
A. 31 B. 33 C. 34 D. 36
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列不等式成立的是
10.在正四棱台ABCD－A B C D 中，AB＝6， 则
A. 正四棱台.ABCD－A B C D :表面积为100
C. 点A到平面CDD C 的距离为3
11.将1，2，3， …，9这9个数填入图中的九个圈中，每个圈只填一个数，每个数只用一次，且同一列下方的数均小于上方的数（例如：第一列需满足c＜b＜a）.现从满足条件的填法中随机选取一种，则
A. a＜r的概率为
B. a＜z的概率为
C. a＜s的概率为
D. a＞s＞z的概率大于
非选择题部分 （共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算. ▲ .
13.关于x的不等式ex+1≥ax+e在R上恒成立，则实数a的值为 ▲ .
14.设点A（－1，1）， M，N是抛物线C: 上的两个动点，且满足直线MA，NA的斜率之差为1.当线段MN的长度最小时，点A到直线MN的距离为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分） 在△ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，C.
已知bsin C+c tan C cos B＝3c sin A.
（1） 求cosC的值;
16.（15分） 如图，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是6， 二面角D－AB－F的大小为60°， 点M，N分别在对角线AC和BF上（不含端点），且CM＝BN.
（1） 求证: AB⊥MN;
（2）当CM的长度为4时，求平面CMN与平面ABEF夹角的余弦值.
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）经过点F的直线l交Γ于A，B两点，过F作l的垂线交Γ于D，E两点且与y轴交于点N.记线段AB的中点为M，若△ABN面积是△DEM面积的2倍，求直线l的方程.
18.（17分）将表面染成红色的正方体分割成大小、形状完全相同的27个小正方体（如图）.
（1）从这27个小正方体中任取1个，记X为所取出小正方体被染成红色的面数，求X的分布列及数学期望；
（2）若将27个小正方体视作27个房间，现从某个三面染红的小正方体房间出发，每一次移动离开所在房间，并等可能地进入到某个有公共面的邻近房间（若该房间有m个有公共面的邻近房间，则进入其中某个邻近房间的概率均为 ），求在 次移动后位于没有染红面的小正方体房间内的概率.
19. （17分） 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 满足:
① f（x）＞0;
③ 对任意0＜x＜1， 有f（x）f（1－x）＝f（x）+f（1－x）;
④ 对任意x，y＞0， 有f（x+y）·[f（x）+f（y）]≥f（x）f（y）.
（3） 求f（x）的解析式.

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