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16 最优化问题
例1 下图中,小冬和小李分别住在 M,N 两地,如果他们要步行到河边坐同一条
船,请问,船停靠在何处,小冬和小李两人所走的路程和最短
解析 利用对称原理,首先在河的另一侧找到以河为对称轴的 M 的对称点Q,再连
接QN,如下图,QN 与河的交点设为P。因为两点之间线段最短,所以QN 是两点
间最短的距离,又因为 M 和Q 是对称点,所以 MP=QP,因此,MP 和NP 的长度
之和与QN 的长度相等。故船应该停靠在点P 处。
例2 A,B 两村中间隔了一条河(见下图),现在要在小河上架一座桥,要求A,B
两村之间行程最短,怎样在河两岸选择架桥地点
解析 在河上架桥,桥总是垂直于河岸,桥的长度相当于河的宽度,因此,最短路线
必然是条折线。不论桥架在哪里,从A 到B 都要经过这座桥,所以可以事先把这座
桥的距离扣除。通过画图,用图解法求架桥的地点。
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从A 点作河岸垂线,并在垂线上取AE 等于河宽(相当于把河宽预先扣除)。
因此,B,E 间最短线的长,也就等于B,A 间的最短路线扣除河宽后的长。连接
BE,与河的南岸相交于D,再过A 点,作DE 的平行线,与河的北岸交于C。C,D
就是A,B 两村间行程最短的架桥地点图。
1.李大妈家在A 处,她要从A 处去河边挑水,然后把水送到B 处的菜地浇菜。请
帮忙找一条最短的路线,在下图中表示出来。
2.如图,甲、乙两人分别在公路的两侧,两人约好在公路上的某一处见面,要使两人
到公路上的距离和最短,那么,他们应约在公路上的哪一处见面
3.在公路的两边有甲、乙两个小区,现在要在公路的某处架一座天桥,请问,这座桥
应建在何处,可使两个小区的居民来往时路程和最短
372.(1)(2)如图所示。 3×2=24(种)。所以,从书架的第1、2、3
层各取1本书,有24种不同的取法。
3.根据挂信号旗的面数可以将信号分为两
类。第一类是只挂一面信号旗,有红、黄、
蓝3种;第二类是挂两面信号旗,有红黄、
红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。所以一
五、1.(68×4+68)×15=5100(元) 答:买 共可以表示出不同的信号有 3+6=9
15块普通徽墨和15块特制徽墨一共要 (种)。
5100元。 4.因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2
2.(1)34 种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,
(2)体育训练后跳绳个数情况统计图 所以,共有3+2=5(种)不同的走法。
第14天 用假设法解题
1.假设100人全是大和尚,那么共需馍3×
100=300(个),比实际多300-140=160
(个)。现在以小和尚去换大和尚,每换一
个总人数不变,而馍就要减少3-1=2
(个),因为160÷2=80(人),故小和尚有
第二部分 智力比拼
80人,大和尚有100-80=20(人)。
2.假设小明家到书店的路程为120米,则往
第13天 排列组合
返一次共走了(120×2)米,对应的时间是
1.2+3+1=6(种) 答:从A 城到B 城乘坐 (120÷60+120÷40)分钟。120×2÷(120
交通工具的方法共有6种。 ÷60+120÷40)=48(米/分),答:他往返
2.(1)从书架上任取1本书,有3类办法:第1 一次平均每分钟走48米。
类办法是从第1层取1本计算机书,有4 3.假设买了16套彩色文化用品,则共需19×
种方法;第2类办法是从第2层取1本文 16=304(元),比 实 际 多304-280=24
艺书,有3种方法;第3类办法是从第3层 (元),现在用普通文化用品去换彩色文化
取1本体育书,有2种方法。根据分类计 用品,每换一套少用19-11=8(元),所以
数原理,不同取法的种数是4+3+2=9 买普通文化用品24÷8=3(套),买彩色文
(种),所以,从书架上任取1本书,有9种 化用品16-3=13(套)。
不同的取法。 (2)从书架的第1、2、3层 4.假设1000个玻璃杯全部完好无损地运到
各取1本书,可以分成3个步骤完成:第1 了目的地,那么运输公司应得运费1×
步从第1层取1本计算机书,有4种方法; 1000=1000(元),而实际上只得到了920
第2步从第2层取1本文艺书,有3种方 元,少得了1000-920=80(元),这说明运
法;第3步从第3层取1本体育书,有2种 输过程中打碎了玻璃杯。因为每打碎1个
方法。根据分步计数原理,从书架的第1、 玻璃杯,运输公司不但得不到1元运费,还
2、3层各取1本书,不同取法的种数是4× 要赔偿3元,即运输公司打碎1个玻璃杯
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就少收入1+3=4(元)。再根据运输公司 (块),求出共有48÷2=24(个)同学,共要
一共少收入80元,可以求出打碎的玻璃杯 搬砖20×24+4=484(块)。
数为80÷4=20(个)。 第16天 最优化问题
5.假设全部答对,总分:5×10=50(分),实际
相差:50-34=16(分),答错一题比答对少
得:5+3=8(分),答错:16÷8=2(道),答
对:10-2=8(道),答:小明答对了8道题。 1.
第15天 一般的盈亏问题
1.班级数和足球数是不变量,由于每班多借
(6-4)个,结果相差(3+7)个,便可求出分
配到的班级:(3+7)÷(6-4)=5(个),从 2.
而求出足球的个数:4×5+3=23(个)。
2.班级数和苹果数个数是不变量,由于每班
多分(25-20)个,结果相差(17+18)个苹
果,便可求出分配到的班级:(17+18)÷ 3.
(25-20)=7(个),买来的苹果数是20×7
+17=157(个)。
3.植树的人数和树的棵数是不变的。每人多 第17天 智巧问题
栽(7-5)棵,就相差(14+4)棵,所以植树
小组有(14+4)÷(7-5)=9(人),一共有 1.2分钟=120秒 120-1=119(秒) 答:
5×9+14=59(棵)树。 需要119秒。
4.先求能站几行:(37+20)÷(12-9)=19 2.小盒子里放4个棋子;把小盒子放入中盒
( ), 子里,中盒子里面另外再放 个棋子,此时行 再 求 共 有 人 数9×19+37=208 4
( )。 中盒子里棋子数一共
:
人 4+4=8
(个);再把
中盒子放进大盒子里,大盒子里面另外再
5.12÷(12-10)=6(组) 10×6=60(人)
放8个棋子,此时大盒子里棋子总数一共:
答:参加植树的有60人。
8+8=16(个)。
6.根据题意,按现有船来安排,每条船坐6 3.排成六边形,一人在角上当两人用。每行
人,还有6人无船坐;如果每条船坐9人, 5人。
还要有9人才能坐满每条船。两种方案结 4.每份为2杯半牛奶。第一份:2整杯,1半
果相差9+6=15(人),而每条船所坐人数 杯,2空杯 第二份:2整杯,1半杯,2空杯
相差9-6=3(人),所以现有船15÷3=5 第三份:1整杯,3半杯,1空杯
(条),共有学生6×5+6=36(人)。
, 第三部分 探究先飞7.两种分配方法相比较 每人搬的砖块数相
差22-20=2(块),而“每人搬22块,则有
第18天 整数除法(二)
两人没砖搬”,也就是每人搬22块,则少
22×2=44(块),总 数 相 差44+4=48 一、1.7 5 7 7 4 3 2.13 3.十
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