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17 智巧问题
例1 一只蜗牛从深12米的井底沿井壁向上爬,白天向上爬3米,晚上向下滑2米。
这只蜗牛多少天能爬到井口
解析 每天实际向上爬3-2=1(米),那这只蜗牛是不是12天爬到井口 如果你
认为要12天才爬到井口就错了,原因是当蜗牛最后一天爬3米,就到了井口,而前
面的12-3=9(米)才是每天爬1米所爬的米数。除去最后一天,爬9米需要9÷1
=9(天),加上最后一天,这只蜗牛爬到井口共需要9+1=10(天)。
例2 有一次一个工人生产了81个零件。后来,他发现有一个内部有空洞的原材
料也做成了成品,只是比正常零件稍微轻一些,可从外表看不出来。他想,既然这个
零件比其他零件轻,一定可以用天平称出来。于是他想了一个办法,利用一架没有
砝码的天平,一共只称4次就把废品找出来。你知道他是怎样称的吗
解析 由于这架天平没有砝码,不可能一个一个去称出零件的质量,所以应相应地分
为3堆,每堆27个,把其中两堆放在天平两端,若天平平衡了,则剩下的一堆里必有一
个零件是有空洞的;若有一堆在天平的一端翘起来,则这堆里有一个零件是有空洞的。
把有空洞的这堆再平均分成3份,每份27÷3=9(个)。像第一次那样称出一堆中有
空洞的,再把一堆9个平均分成3堆,每堆9÷3=3(个),利用第一次的称法,称出一堆
中有空洞的零件,再把3个零件分成3堆,必得到其中一个有空洞的零件。
例3 小明的棋子数在125~165之间,如果8个装一盒,那么有一盒多5个;如果
12个装一盒,那么有三盒各少一个。小明有多少个棋子
解析 由于两种情形中到底各有多少盒不明确,这时的一多一少给同学们解题增加
了难度,为了避免“多”与“少”的复杂性,我们采用“借来还去”的策略,先“借来”3个
棋子参加分配,使条件变为8个一盒不多也不少,12个一盒不多也不少,这时棋子
数既是8的倍数又是12的倍数,这些数是24,48,72,96,120,144,168…其中满足
条件的是144,还去借来的3个棋子,可知小明有棋子数为144-3=141(个)。
1.密封的瓶中,如果放进一个细菌,2分钟后瓶中就充满了细菌。已知每个细菌每
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秒分裂成2个,两秒就分裂成4个,三秒就分裂成8个……如果开始时放进两个
细菌,要使瓶中充满细菌,需要多长时间
2.请将16个棋子分放在边长为30厘米、20厘米、10厘米的3个正方形盒子里,使
大盒子里的棋子数是中盒子里棋子数的2倍,中盒子里的棋子数是小盒子里棋
子数的2倍。应当如何放置
3.体育兴趣小组有24人,排成六行,每行5人,以便开展体育游戏。体育委员怎么
也排不出来,你能为他想个办法吗
4.有5整杯和5个半杯的牛奶,还有5个空杯子,既不能称也不能倒,你能把牛奶
和杯子平均分成三等份吗
392.(1)(2)如图所示。 3×2=24(种)。所以,从书架的第1、2、3
层各取1本书,有24种不同的取法。
3.根据挂信号旗的面数可以将信号分为两
类。第一类是只挂一面信号旗,有红、黄、
蓝3种;第二类是挂两面信号旗,有红黄、
红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。所以一
五、1.(68×4+68)×15=5100(元) 答:买 共可以表示出不同的信号有 3+6=9
15块普通徽墨和15块特制徽墨一共要 (种)。
5100元。 4.因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2
2.(1)34 种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,
(2)体育训练后跳绳个数情况统计图 所以,共有3+2=5(种)不同的走法。
第14天 用假设法解题
1.假设100人全是大和尚,那么共需馍3×
100=300(个),比实际多300-140=160
(个)。现在以小和尚去换大和尚,每换一
个总人数不变,而馍就要减少3-1=2
(个),因为160÷2=80(人),故小和尚有
第二部分 智力比拼
80人,大和尚有100-80=20(人)。
2.假设小明家到书店的路程为120米,则往
第13天 排列组合
返一次共走了(120×2)米,对应的时间是
1.2+3+1=6(种) 答:从A 城到B 城乘坐 (120÷60+120÷40)分钟。120×2÷(120
交通工具的方法共有6种。 ÷60+120÷40)=48(米/分),答:他往返
2.(1)从书架上任取1本书,有3类办法:第1 一次平均每分钟走48米。
类办法是从第1层取1本计算机书,有4 3.假设买了16套彩色文化用品,则共需19×
种方法;第2类办法是从第2层取1本文 16=304(元),比 实 际 多304-280=24
艺书,有3种方法;第3类办法是从第3层 (元),现在用普通文化用品去换彩色文化
取1本体育书,有2种方法。根据分类计 用品,每换一套少用19-11=8(元),所以
数原理,不同取法的种数是4+3+2=9 买普通文化用品24÷8=3(套),买彩色文
(种),所以,从书架上任取1本书,有9种 化用品16-3=13(套)。
不同的取法。 (2)从书架的第1、2、3层 4.假设1000个玻璃杯全部完好无损地运到
各取1本书,可以分成3个步骤完成:第1 了目的地,那么运输公司应得运费1×
步从第1层取1本计算机书,有4种方法; 1000=1000(元),而实际上只得到了920
第2步从第2层取1本文艺书,有3种方 元,少得了1000-920=80(元),这说明运
法;第3步从第3层取1本体育书,有2种 输过程中打碎了玻璃杯。因为每打碎1个
方法。根据分步计数原理,从书架的第1、 玻璃杯,运输公司不但得不到1元运费,还
2、3层各取1本书,不同取法的种数是4× 要赔偿3元,即运输公司打碎1个玻璃杯
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就少收入1+3=4(元)。再根据运输公司 (块),求出共有48÷2=24(个)同学,共要
一共少收入80元,可以求出打碎的玻璃杯 搬砖20×24+4=484(块)。
数为80÷4=20(个)。 第16天 最优化问题
5.假设全部答对,总分:5×10=50(分),实际
相差:50-34=16(分),答错一题比答对少
得:5+3=8(分),答错:16÷8=2(道),答
对:10-2=8(道),答:小明答对了8道题。 1.
第15天 一般的盈亏问题
1.班级数和足球数是不变量,由于每班多借
(6-4)个,结果相差(3+7)个,便可求出分
配到的班级:(3+7)÷(6-4)=5(个),从 2.
而求出足球的个数:4×5+3=23(个)。
2.班级数和苹果数个数是不变量,由于每班
多分(25-20)个,结果相差(17+18)个苹
果,便可求出分配到的班级:(17+18)÷ 3.
(25-20)=7(个),买来的苹果数是20×7
+17=157(个)。
3.植树的人数和树的棵数是不变的。每人多 第17天 智巧问题
栽(7-5)棵,就相差(14+4)棵,所以植树
小组有(14+4)÷(7-5)=9(人),一共有 1.2分钟=120秒 120-1=119(秒) 答:
5×9+14=59(棵)树。 需要119秒。
4.先求能站几行:(37+20)÷(12-9)=19 2.小盒子里放4个棋子;把小盒子放入中盒
( ), 子里,中盒子里面另外再放 个棋子,此时行 再 求 共 有 人 数9×19+37=208 4
( )。 中盒子里棋子数一共
:
人 4+4=8
(个);再把
中盒子放进大盒子里,大盒子里面另外再
5.12÷(12-10)=6(组) 10×6=60(人)
放8个棋子,此时大盒子里棋子总数一共:
答:参加植树的有60人。
8+8=16(个)。
6.根据题意,按现有船来安排,每条船坐6 3.排成六边形,一人在角上当两人用。每行
人,还有6人无船坐;如果每条船坐9人, 5人。
还要有9人才能坐满每条船。两种方案结 4.每份为2杯半牛奶。第一份:2整杯,1半
果相差9+6=15(人),而每条船所坐人数 杯,2空杯 第二份:2整杯,1半杯,2空杯
相差9-6=3(人),所以现有船15÷3=5 第三份:1整杯,3半杯,1空杯
(条),共有学生6×5+6=36(人)。
, 第三部分 探究先飞7.两种分配方法相比较 每人搬的砖块数相
差22-20=2(块),而“每人搬22块,则有
第18天 整数除法(二)
两人没砖搬”,也就是每人搬22块,则少
22×2=44(块),总 数 相 差44+4=48 一、1.7 5 7 7 4 3 2.13 3.十
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