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数学　选择性必修·第二册（湘教）
1.2.1　几个基本函数的导数
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2025，则f′＝(　　)
A．0 B．1
C．2024 D．2025
2．给出下列结论：
①若y＝tanx，则y′＝；②若y＝，则y′＝；
③若y＝，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝x，则f′(1)＝1．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
－3；④由f(x)＝x，知f′(x)＝1，∴f′(1)＝1．∴①③④正确．故选C．
3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A． B．2e2
C．e2 D．
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2·…·xn的值为(　　)
A． B．
C． D．1
5．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　)
A．y＝sinx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
二、填空题
6．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角为________．
7．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝________．
8．已知f(x)＝2x，则f′＝________．
三、解答题
9．已知点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程．(e是自然对数的底数)
10．已知曲线f(x)＝x3，过点P作曲线C的切线，求该切线的方程．
1．已知抛物线y＝x2，直线x＋y＋2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
2．已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x．
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程；
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
1.2.1　几个基本函数的导数
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2025，则f′＝(　　)
A．0 B．1
C．2024 D．2025
答案　B
解析　函数f(x)＝x2025，∴f′(x)＝2025x2024，∴f′＝2025×＝2025×＝1．故选B．
2．给出下列结论：
①若y＝tanx，则y′＝；②若y＝，则y′＝；
③若y＝，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝x，则f′(1)＝1．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　①y＝tanx，则y′＝；②y＝＝x，则y′＝x≠；③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝x，知f′(x)＝1，∴f′(1)＝1．∴①③④正确．故选C．
3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A． B．2e2
C．e2 D．
答案　D
解析　y′＝ex，设f(x)＝y＝ex，f′(2)＝e2．∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2．令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1．∴S＝×1×e2＝．故选D．
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2·…·xn的值为(　　)
A． B．
C． D．1
答案　B
解析　对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn．令x＝1，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1x2·…·xn＝×××…××＝．故选B．
5．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　)
A．y＝sinx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
答案　BC
解析　设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故A中的函数具有T性质；B，C中函数的导数均为正值，故两点处的导数之积不可能为－1；D中，y′＝2x，则2x1·2x2＝4x1x2＝－1，当x1＝，x2＝－时满足，故D中的函数具有T性质．故选BC．
二、填空题
6．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角为________．
答案　
解析　y′＝′＝－，∴当x＝1时，导数为－1，∴切线斜率为－1，∴倾斜角为．
7．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝________．
答案　28
解析　∵点(2，8)在切线上，∴2k＋b＝8　①，又y＝x3，∴y′＝(x3)′＝3x2，∴切线斜率k＝3×22＝12　②，由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28．
8．已知f(x)＝2x，则f′＝________．
答案　eln 2
解析　∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln 2，∴f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2．
三、解答题
9．已知点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程．(e是自然对数的底数)
解　∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率k＝f′(e)＝．
∴所求直线的斜率为－e．
∵点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，
∴a＝ln e＝1．
故所求直线的方程为y－1＝－e(x－e)，
即ex＋y－e2－1＝0．
10．已知曲线f(x)＝x3，过点P作曲线C的切线，求该切线的方程．
解　设切点为Q(x0，x)，
切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x，
切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
即y＝3xx－2x，
∵切线过点P，
∴2x－2x＝0，解得x0＝0或x0＝1，
故切线方程为y＝0或y＝3x－2．
1．已知抛物线y＝x2，直线x＋y＋2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解　根据题意，可知与直线x＋y＋2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x＋y＋2＝0的距离最短．
设切点坐标为(x0，x)，设f(x)＝y＝x2，
则f′(x)＝2x，则f′(x0)＝2x0＝－1，
所以x0＝－，所以切点坐标为，
切点到直线x＋y＋2＝0的距离
d＝＝．
所以抛物线y＝x2上的点到直线x＋y＋2＝0的最短距离为．
2．已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x．
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程；
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解　(1)设切点为(m，log2m)(m＞0)．
因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝．
由题意可得＝，解得m＝e，
所以切线方程为y－log2e＝(x－e)，
即y＝x．
(2)过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝．
假设存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，设P(n，log2n)，≤n≤2，
则有＝，得n＝．
又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，
所以＜＜，
所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为．
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