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数学　选择性必修·第二册（湘教）
1.2.2　函数的和差积商求导法则
一、选择题
1．已知f(x)＝，则f′＝(　　)
A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2
C．2－ln 2 D．2＋ln 2
2．函数f(x)＝xcosx－sinx的导函数(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
3．曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
4．已知点P是曲线y＝x2－x＋1上一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)
A．1 B．
C．3 D．
5．(多选)已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒，s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻可以为(　　)
A．0秒 B．2秒
C．4秒 D．8秒
二、填空题
6．已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
7．函数y＝在x＝2处的导数是________．
8．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝－ln x；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝；
(4)y＝．
10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0．
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
1．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1．
2．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
1.2.2　函数的和差积商求导法则
一、选择题
1．已知f(x)＝，则f′＝(　　)
A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2
C．2－ln 2 D．2＋ln 2
答案　D
解析　依题意，有f′(x)＝·′＝·＝，故f′＝2＋ln 2，所以选D．
2．函数f(x)＝xcosx－sinx的导函数(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
答案　B
解析　f′(x)＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx．令F(x)＝－xsinx，x∈R，则F(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx＝F(x)，∴f′(x)是偶函数．故选B．
3．(全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
答案　C
解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋．故选C．
4．已知点P是曲线y＝x2－x＋1上一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)
A．1 B．
C．3 D．
答案　B
解析　作一直线与直线y＝x－2平行，且与曲线y＝x2－x＋1相切于点P，则切点P到直线y＝x－2的距离最小．设P(x0，x－x0＋1)，f(x)＝y＝x2－x＋1，∴f′(x)＝2x－1，则切线斜率k＝f′(x0)＝2x0－1＝1，∴x0＝1，∴点P的坐标为(1，1)．∴dmin＝＝．故选B．
5．(多选)已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒，s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻可以为(　　)
A．0秒 B．2秒
C．4秒 D．8秒
答案　ACD
解析　s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝0，即t3－12t2＋32t＝0，因式分解得t(t－4)(t－8)＝0，解得t＝0，4，8．故选ACD．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
答案　e
解析　由函数的解析式可得f′(x)＝exln x＋ex×＝ex，则f′(1)＝e1＝e，即f′(1)的值为e．
7．函数y＝在x＝2处的导数是________．
答案　
解析　y′＝′＝
＝，设f(x)＝y，所以f′(2)＝．
8．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
答案　1
解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1．∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1．
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝－ln x；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝；
(4)y＝．
解　(1)y′＝(－ln x)′＝()′－(ln x)′＝－．
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1．
(3)y′＝＝．
(4)y′＝＝．
10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0．
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解　(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16．
(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4．
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1．
由f(x)＝x3＋x－16，
可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18，
∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0．
1．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1．
解　(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c．
由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0，
由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组
解得
所以f(x)＝x3－3x2＋3．
(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b．
由x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0．
要使方程对任意x都成立，
则需a＝b，b＝2c，c＝1．
解得a＝2，b＝2，c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1．
2．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
解　(1)f′(x)＝＝．
∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
∴即
由ab－a＝0，得a(b－1)＝0，
由题意a≠0，
∴b＝1，
∴a＝4，
∴f(x)＝．
(2)∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率k＝f′(x0)＝
＝4．
令t＝，
则t∈(0，1]，k＝4(2t2－t)＝8－，
∴k∈，即直线l的斜率k的取值范围是．
10

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