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数学　选择性必修·第二册（湘教）
1.2.3　简单复合函数的求导
一、选择题
1．函数y＝(3x－4)2的导数是(　　)
A．4(3x－2) B．6x
C．6x(3x－4) D．6(3x－4)
2．设f(x)＝ln，则f′(2)＝(　　)
A． B．
C． D．
3．设f(x)＝ln (2x－1)，若f(x)在x0处的导数f′(x0)＝1，则x0的值为(　　)
A． B．
C．1 D．
4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)
A．ln 2 B．－ln 2
C． D．－
5．(多选)若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)(　　)
A．是奇函数 B．是偶函数
C．有最大值 D．有最小值
二、填空题
6．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________．
7．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________．
8．(新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝e－2x＋1；
(3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝102x＋3；
(5)y＝．
10．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0，0)处相切．求a，b的值．
1．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，求f(x)的解析式．
2．曲线y＝e2xcos3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
1.2.3　简单复合函数的求导
一、选择题
1．函数y＝(3x－4)2的导数是(　　)
A．4(3x－2) B．6x
C．6x(3x－4) D．6(3x－4)
答案　D
解析　y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．
2．设f(x)＝ln，则f′(2)＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　∵f(x)＝ln ，由复合函数的导数公式得f′(x)＝·＝，∴f′(2)＝．故选B．
3．设f(x)＝ln (2x－1)，若f(x)在x0处的导数f′(x0)＝1，则x0的值为(　　)
A． B．
C．1 D．
答案　B
解析　由f(x)＝ln (2x－1)，得f′(x)＝，由f′(x0)＝＝1，解得x0＝．
4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)
A．ln 2 B．－ln 2
C． D．－
答案　A
解析　对f(x)＝ex＋ae－x求导得f′(x)＝ex－ae－x．又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x．设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得e x0＝2或ex0＝－(舍去)，得x0＝ln 2．故选A．
5．(多选)若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)(　　)
A．是奇函数 B．是偶函数
C．有最大值 D．有最小值
答案　BCD
解析　∵函数f(x)＝sin2x＋sinx，∴f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2－，当cosx＝－时，f′(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f′(x)取得最大值2，且f′(－x)＝f′(x)．即f′(x)是既有最大值，又有最小值的偶函数．
二、填空题
6．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________．
答案　
解析　y＝ln ＝ln ex－ln (1＋ex)＝x－ln (1＋ex)，则y′＝1－＝．当x＝0时，y′＝＝．
7．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________．
答案　
解析　f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin．若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又φ∈(0，π)，∴φ＝．
8．(新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
答案　ln 2
解析　设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1．设g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2．
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝e－2x＋1；
(3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝102x＋3；
(5)y＝．
解　(1)函数y＝＝(1＋3x)－4可以看作函数y＝t－4和t＝1＋3x的复合函数，由复合函数的求导法则可得y＝y·t＝(t－4)′·(1＋3x)′＝(－4t－5)×3＝－12(1＋3x)－5＝－．
(2)函数y＝e－2x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－2x＋1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y＝y·u＝(eu)′·(－2x＋1)′＝eu×(－2)＝－2eu＝－2e－2x＋1．
(3)函数y＝log2(4x＋7)可以看作函数y＝log2u和u＝4x＋7的复合函数，根据复合函数求导法则有y＝y·u＝(log2u)′·(4x＋7)′＝×4＝．
(4)函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，则y＝y·u＝102x＋3×ln 10×2＝2×102x＋3×ln 10．
(5)y′＝
＝．
10．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0，0)处相切．求a，b的值．
解　由曲线y＝f(x)过点(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1．
由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，
得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为＋a．
由题意，得＋a＝，故a＝0．
∴a，b的值分别为0，－1．
1．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，求f(x)的解析式．
解　由已知，得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x，
所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，
即f(0)＝1．
又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e．
从而f(x)＝ex－x＋x2．
2．曲线y＝e2xcos3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解　由曲线y＝e2xcos3x，
得y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x－3e2xsin3x，
∴当x＝0时，y′＝2．
∴曲线在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1．
设直线l的方程为y＝2x＋b，
由题意得＝，
∴b＝6或b＝－4．
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4．
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