资源简介

数学　选择性必修·第二册（湘教）
1.3.1　函数的单调性与导数
一、选择题
1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ex－x(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先单调递增后单调递减 D．先单调递减后单调递增
2．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
3．(新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
4．若函数f(x)对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，则(　　)
A．3f(ln 5)>5f(ln 3) B．3f(ln 5)＝5f(ln 3)
C．3f(ln 5)<5f(ln 3) D．3f(ln 5)与5f(ln 3)的大小不确定
5．(多选)若函数exf(x)(e＝2．71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中，具有M性质的函数为(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2
二、填空题
6．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
7．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
8．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)已知a，b∈R且a>b>e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba>ab．
10．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax．若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围．
1．当x>0时，证明：ln (x＋1)>x－x2．
2．已知函数f(x)＝ln x＋ax＋－1．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当－≤a≤0时，讨论f(x)的单调性．
1.3.1　函数的单调性与导数
一、选择题
1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ex－x(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先单调递增后单调递减 D．先单调递减后单调递增
答案　A
解析　因为y′＝ex－1，x∈(0，＋∞)，所以ex－1>0，所以函数在(0，＋∞)上单调递增．故选A．
2．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
答案　B
解析　f(x)的定义域为R，且f′(x)＝＝＝．当－10，f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间为(－1，1)．故选B．
3．(新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
答案　C
解析　依题意可知，f′(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1．故选C．
4．若函数f(x)对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，则(　　)
A．3f(ln 5)>5f(ln 3) B．3f(ln 5)＝5f(ln 3)
C．3f(ln 5)<5f(ln 3) D．3f(ln 5)与5f(ln 3)的大小不确定
答案　A
解析　令g(x)＝，则g′(x)＝，因为对任意x∈R都有f′(x)>f(x)，所以g′(x)>0，即g(x)在R上单调递增．又ln 35．(多选)若函数exf(x)(e＝2．71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中，具有M性质的函数为(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2
答案　AD
解析　对于A，f(x)＝2－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·2－x＝为实数集上的增函数；对于B，f(x)＝3－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·3－x＝为实数集上的减函数；对于C，f(x)＝x3，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝ex(x3＋3x2)＝ex·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，当x≥－3时，g′(x)≥0，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先单调递减后单调递增；对于D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数．故选AD．
二、填空题
6．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
答案　(－∞，－1)，(0，＋∞)　(－1，0)
解析　∵f(x)＝x(ex－1)－x2，x∈R，
∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．
7．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝．由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为．由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为．∵函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，∴解得1≤k<．
8．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　f′(x)＝，由题意，得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不符合题意，应舍去，所以实数a的取值范围是．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)已知a，b∈R且a>b>e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba>ab．
解　(1)∵f(x)＝，
∴f′(x)＝(x>0)．
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减；
当00，函数f(x)在(0，e)上单调递增．
∴f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，＋∞)．
(2)证明：∵ba>0，ab>0，
∴要证ba>ab，只要证aln b>bln a，
只要证>(a>b>e)．
由(1)得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减．
∴当a>b>e时，有f(b)>f(a)，
即>．∴ba>ab．
10．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax．若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围．
解　f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a，当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a．
函数有单调递增区间，即在内，导函数大于零有解，令＋2a>0，得a>－．
所以当a∈时，f(x)在上存在单调递增区间．
1．当x>0时，证明：ln (x＋1)>x－x2．
证明　设f(x)＝ln (x＋1)，g(x)＝x－x2，
F(x)＝f(x)－g(x)，
则F(x)＝ln (x＋1)－x＋x2．
函数F(x)的定义域为(－1，＋∞)，
则F′(x)＝－1＋x＝．
当x>0时，F′(x)>0恒成立，
∴函数F(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，
故当x>0时，F(x)>F(0)＝0，
从而f(x)>g(x)，
即ln (x＋1)>x－x2．
2．已知函数f(x)＝ln x＋ax＋－1．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当－≤a≤0时，讨论f(x)的单调性．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x＋－1，
此时f′(x)＝＋1－，f′(2)＝＋1－＝1．
又因为f(2)＝ln 2＋2＋－1＝ln 2＋2，
所以切线方程为y－(ln 2＋2)＝x－2，
整理得x－y＋ln 2＝0．
(2)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝＋a－＝＝．
当a＝0时，f′(x)＝．
此时，在(0，1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
在(1，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
当a＝－时，f′(x)＝－≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当－1，此时在(0，1)和上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上，当a＝0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当－当a＝－时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
15

展开更多......

收起↑