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数学　选择性必修·第二册（湘教）
1.3.2　函数的极值与导数
一、选择题
1．函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是(　　)
A．若函数在x＝x0时取得极值，则f′(x0)＝0
B．若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处取得极值
C．若在定义域内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数
D．函数f(x)在x＝x0处的导数是一个常数
2．下列函数中，x＝0是极值点的函数是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x D．y＝
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(2－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)
B．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
D．函数f(x)有极大值f(－1)和极小值f(2)
4．若函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D．
5．(多选)(新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
二、填空题
6．函数f(x)＝的极大值为________．
7．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________．
8．已知函数f(x)＝aex－x2有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
10．已知函数f(x)＝(k∈R)．
(1)当k为何值时，函数f(x)无极值？
(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0．
1．已知函数f(x)＝(x∈R)，其中a∈R．当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
2．(全国乙卷)已知函数f(x)＝ln (1＋x)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由；
(3)若f(x)在(0，＋∞)存在极值，求a的取值范围．
1.3.2　函数的极值与导数
一、选择题
1．函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是(　　)
A．若函数在x＝x0时取得极值，则f′(x0)＝0
B．若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处取得极值
C．若在定义域内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数
D．函数f(x)在x＝x0处的导数是一个常数
答案　B
解析　若“函数f(x)在x＝x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f′(x0)＝0”成立．反之，若“f′(x0)＝0”，还应满足f′(x)在x0的左右附近改变符号，“函数f(x)在x＝x0处取得极值”才能成立，故A正确，B不正确；易知C，D正确．故选B．
2．下列函数中，x＝0是极值点的函数是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x D．y＝
答案　B
解析　对于A，y＝－x3，∵y′＝(－x3)′＝－3x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x＝0不是极值点；对于B，y＝cos2x，∵y′＝(cos2x)′＝2cosx(－sinx)＝－sin2x，在x＝0附近，当x<0时，－sin2x>0，y′>0，当x>0时，－sin2x<0，y′<0，∴x＝0是y＝cos2x的极大值点；对于C，y＝tanx－x，y′＝(tanx－x)′＝－1，在x＝0附近，当x<0或x>0时，00，∴x＝0不是极值点；对于D，y＝在x＝0时无意义，∴x＝0不是极值点．故选B．
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(2－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)
B．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
D．函数f(x)有极大值f(－1)和极小值f(2)
答案　A
解析　由函数y＝(2－x)f′(x)的图象可知，当x＝－1，x＝1时，f′(x)＝0，且在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1，1)上f′(x)>0，在(1，2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)<0，所以函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)．故选A．
4．若函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D．
答案　D
解析　f′(x)＝3x2－2a，∵f(x)在(0，1)内有极小值没有极大值，∴ 即05．(多选)(新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
答案　BCD
解析　函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝－－＝，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，于是即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，B，C，D正确．故选BCD．
二、填空题
6．函数f(x)＝的极大值为________．
答案　
解析　∵函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝e2，∵当x∈(0，e2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴当x＝e2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(e2)＝＝．
7．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________．
答案　－2　－
解析　f′(x)＝＋2bx＋3＝(x>0)，∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，∴由根与系数的关系知解得
经检验，a＝－2，b＝－符合题意．
8．已知函数f(x)＝aex－x2有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　f′(x)＝aex－2x，若函数f(x)＝aex－x2有两个极值点，则f′(x)＝aex－2x＝0，此方程在R上有2个变号零点，即y＝a和g(x)＝的图象在R上有2个交点，因为g′(x)＝，所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max＝g(1)＝，当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，所以0三、解答题
9．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
解　(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3．
经检验，a＝0，b＝－3符合题意．
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x．
因为g′(x)＝f(x)＋2＝x3－3x＋2＝x3－x－2x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)·(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)，
所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2．
当x<－2时，g′(x)<0；
当－21时，g′(x)>0，
故－2是g(x)的极小值点，无极大值点．
综上，g(x)的极小值点为－2，无极大值点．
10．已知函数f(x)＝(k∈R)．
(1)当k为何值时，函数f(x)无极值？
(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0．
解　(1)∵f(x)＝，
∴f′(x)＝．
要使f(x)无极值，只需f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立即可．
令g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k，
∵ex>0，∴f′(x)与g(x)同号．
∵g(x)的二次项系数为－2，
∴只能满足g(x)≤0恒成立，
令Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，解得k＝4，
∴当k＝4时，函数f(x)无极值．
(2)由(1)知k≠4，
令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝．
①当<2，即k<4时，随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 递减? 极小值f 递增? 极大值f(2) 递减?
令f＝0，得2·－k·＋k＝0，
∴k＝0，满足k<4．
②当>2，即k>4时，随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，2) 2
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 递减? 极小值f(2) 递增? 极大值f 递减?
令f(2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，
∴k＝8，满足k>4．
综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0．
1．已知函数f(x)＝(x∈R)，其中a∈R．当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解　∵f(x)＝，
∴f′(x)＝．
由于a≠0，以下分两种情况讨论：
①当a>0时，令f′(x)＝0，得到x＝－或x＝a．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － a (a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 递减? 极小值－a2 递增? 极大值1 递减?
∴f(x)的单调递减区间为，(a，＋∞)，单调递增区间为，
函数f(x)在x＝－处取得极小值f，且f＝－a2，
函数f(x)在x＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1．
②当a<0时，令f′(x)＝0，得到x＝－或x＝a．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a) a －
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 递增? 极大值1 递减? 极小值－a2 递增?
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，单调递减区间为，
函数f(x)在x＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1，函数f(x)在x＝－处取得极小值f，且f＝－a2．
2．(全国乙卷)已知函数f(x)＝ln (1＋x)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由；
(3)若f(x)在(0，＋∞)存在极值，求a的取值范围．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝ln (x＋1)，
则f′(x)＝－×ln (x＋1)＋×，
据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，
即(ln 2)x＋y－ln 2＝0．
(2)假设存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称．
令g(x)＝f＝(x＋a)ln ＝(x＋a)ln ，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，
所以g(x)＝g(2b－x)，
即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln
＝(x－2b－a)ln ，
于是得
当a＝，b＝－时，g(x)＝ln ，g(－1－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝·ln ＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．
故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－．
(3)f′(x)＝－ln (1＋x)＋·＝
＝(x＞0)，
设h(x)＝－ln (1＋x)，
则h′(x)＝－
＝＝，
①当a≤0时，2a－1＜0，当x＞0时，h′(x)＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以当x＞0时，h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值，不满足题意．
②当a≥时，2a－1≥0，当x＞0时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，即f′(x)＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，不满足题意．
③当0＜a＜时，令h′(x)＝0，得x＝，当0＜x＜时，h′(x)＜0，当x＞时，h′(x)＞0，
所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以h＜h(0)＝0，
又当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以存在x0∈，使得h(x0)＝0，
即当0＜x＜x0时，h(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞x0时，h(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
此时y＝f(x)有极小值点x0．
综上所述，a的取值范围为．
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