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数学　选择性必修·第二册（湘教）
1.3.3　三次函数的性质：单调区间和极值
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．1，－1 B．1，－17
C．17，1 D．9，－19
2．函数f(x)＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为(　　)
A．0 B．
C． D．
3．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1，1)上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3] D．(－∞，3)
4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
5．(多选)(新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　)
A．x＝3是f(x)的极小值点
B．当0C．当1D．当－1f(x)
二、填空题
6．函数y＝xe－x，x∈[0，4]的最大值为________．
7．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
8．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x＋2，x∈．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
10．已知函数f(x)＝(x－k)ex．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
1．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)2．(全国甲卷)已知函数f(x)＝(1－ax)·ln (1＋x)－x．
(1)当a＝－2时，求f(x)的极值；
(2)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
1.3.3　三次函数的性质：单调区间和极值
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．1，－1 B．1，－17
C．17，1 D．9，－19
答案　C
解析　令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x∈[－3，－2)时，f′(x)>0；当x∈(－2，0]时，f′(x)<0．所以f(x)max＝f(－2)＝17，f(－3)＝10，f(0)＝1，所以最大值为17，最小值为1．故选C．
2．函数f(x)＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为(　　)
A．0 B．
C． D．
答案　B
解析　f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0，得x＝，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f为f(x)在上的极大值，也是最大值．故f(x)在区间上取最大值时，x的值为．故选B．
3．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1，1)上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3] D．(－∞，3)
答案　A
解析　∵f′(x)＝3x2－a，又f(x)在(－1，1)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1，1)上恒成立，又0≤3x2<3，∴a≥3，经验证当a＝3时，f(x)在(－1，1)上单调递减．故选A．
4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
答案　D
解析　由题可知|MN|＝t2－ln t(t>0)．令h(t)＝t2－ln t，|MN|的最小值，即函数h(t)＝t2－ln t(t>0)的最小值，h′(t)＝2t－＝，显然t＝是函数h(t)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝．故选D．
5．(多选)(新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　)
A．x＝3是f(x)的极小值点
B．当0C．当1D．当－1f(x)
答案　ACD
解析　对于A，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是f(x)的极小值点，故A正确；对于B，当00，所以1>x>x2>0，而由A项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)>f(x2)，故B错误；对于C，当10，所以f(2－x)>f(x)，故D正确．故选ACD．
二、填空题
6．函数y＝xe－x，x∈[0，4]的最大值为________．
答案　
解析　令y＝f(x)＝xe－x，则f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，得x＝1．∵x∈[0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(1，4]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴函数的最大值为f(1)＝．
7．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，2ln 2－2]
解析　f′(x)＝ex－2．由f′(x)＞0得ex－2＞0，∴x>ln 2．由f′(x)<0得x8．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　[e，＋∞)
解析　f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x．令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0，得x＝e，当00；当x>e时，g′(x)<0，∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x＋2，x∈．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解　(1)f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．由f′(x)>0，得x<－1或x>－；
由f′(x)<0，得－1因此，函数f(x)在上的单调递增区间为，，单调递减区间为．
(2)f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝2；
f(x)在x＝－处取得极小值，极小值为f＝．
又f＝，f(1)＝6，且>，
所以f(x)在上的最大值为6，最小值为．
10．已知函数f(x)＝(x－k)ex．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
解　(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 递减? 极小值－ek－1 递增?
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e．
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e．
1．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)解　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b．
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，
即解得
经检验，符合题意．所以a＝－3，b＝4．
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，3)时，f′(x)>0．
所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，
又f(0)＝8c，f(2)＝4＋8c，f(3)＝9＋8c，
则当x∈[0，3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有f(x)即c2－8c－9>0，解得c<－1或c>9．
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
2．(全国甲卷)已知函数f(x)＝(1－ax)·ln (1＋x)－x．
(1)当a＝－2时，求f(x)的极值；
(2)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
解　(1)当a＝－2时，f(x)＝(1＋2x)ln (1＋x)－x，
故f′(x)＝2ln (1＋x)＋－1＝2ln (1＋x)－＋1，
因为y＝2ln (1＋x)，y＝－＋1在(－1，＋∞)上均为增函数，
故f′(x)在(－1，＋∞)上为增函数，
而f′(0)＝0，
故当－10时，f′(x)>0，
故f(x)在x＝0处取得极小值，且极小值为f(0)＝0，无极大值．
(2)f′(x)＝－aln (1＋x)＋－1
＝－aln (1＋x)－，
设s(x)＝－aln (1＋x)－，x≥0，
则s′(x)＝－
＝－＝－，
当a≤－，x>0时，s′(x)>0，故s(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故s(x)>s(0)＝0，即在(0，＋∞)上，f′(x)>0，
所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
故f(x)≥f(0)＝0；
当－故s(x)在上为减函数，
故在上，s(x)即在上，f′(x)<0，
故f(x)在上为减函数，
故在上，f(x)当a≥0时，s′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
同理可得，在(0，＋∞)上，f(x)综上所述，a的取值范围为．
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