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数学　选择性必修·第二册（湘教）
1.3.4　导数的应用举例
一、选择题
1．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)
A．150 B．200
C．250 D．300
2．如图，在平行四边形ABCD中，|BC|＝4|AB|＝8，点E是AD边上一点，且|EA|＝|EB|，记S1为△ABE的面积，S2为△EBC的面积，则当S1－S2取得最小值时，∠A＝(　　)
A． B．
C． D．
3．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为(　　)
A．3π cm3 B．8π cm3
C． cm3 D．9π cm3
4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)
A． B．
C． D．2
5．(多选)某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则(　　)
A．当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低
B．当箱底是边长为8 m的正方形时，箱子的总造价最高
C．箱子的最低总造价为816元
D．箱子的最低总造价为960元
二、填空题
6．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
7．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
8．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．
三、解答题
9．某地需要修建一条通过120千米宽的沙漠地带的大型输油管道，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需在两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x3＋x)万元，设总的工程费用为y万元．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)需要修建多少个增压站才能使总工程费用y最小？
10．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0．1x2－3．2 ln x＋3．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；
(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
1．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
2．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造价格为每米400元，中间两条隔墙建造价格为每米248元，池底建造价格为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
1.3.4　导数的应用举例
一、选择题
1．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)
A．150 B．200
C．250 D．300
答案　D
解析　由题意，可得总利润P(x)＝－＋300x－20000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300或x＝－300(舍去)．当0≤x＜300时，P′(x)>0；当3002．如图，在平行四边形ABCD中，|BC|＝4|AB|＝8，点E是AD边上一点，且|EA|＝|EB|，记S1为△ABE的面积，S2为△EBC的面积，则当S1－S2取得最小值时，∠A＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　设∠A＝θ，因为|EA|＝|EB|，|AB|＝2，所以|EA|＝|EB|＝．令S＝S1－S2＝×2××sinθ－×8××sin(π－2θ)＝－8sinθ，则S′＝－8cosθ＝．令S′＝0，得1－8cos3θ＝0，可得cosθ＝，即θ＝，故当θ∈时，S′<0，当θ∈时，S′>0，故S在上单调递减，在上单调递增，所以当∠A＝时，S1－S2取得最小值．
3．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为(　　)
A．3π cm3 B．8π cm3
C． cm3 D．9π cm3
答案　C
解析　设圆锥的底面圆半径为R cm，圆柱形冰块的底面圆半径为x cm，高为h cm，由题意可得，×(2R)2＝16，解得R＝4，h≤tan·(R－x)＝(4－x)(00，当4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)
A． B．
C． D．2
答案　C
解析　设底面边长为x，高为h，∴x2·h＝V，∴h＝＝．∴表面积S(x)＝2·x2＋3x·h＝x2＋(x>0)，S′(x)＝x－，令S′(x)＝0，可得x＝，x3＝4V，x＝．当00)，S′(x)<0；当x>时，S′(x)>0，∴当x＝时，S(x)最小．
5．(多选)某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则(　　)
A．当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低
B．当箱底是边长为8 m的正方形时，箱子的总造价最高
C．箱子的最低总造价为816元
D．箱子的最低总造价为960元
答案　AC
解析　设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为w元．根据题意，得w＝15×＋12×2＝240＋72(x>0)，w′＝72．令w′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当04时，w′>0．故当x＝4时，w有最小值816．因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选AC．
二、填空题
6．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
答案　800
解析　设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800．当0200时，y′>0．所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
7．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
答案　6 cm　3 cm　4 cm
解析　设底面两邻边长分别为x cm，2x cm，高为y cm，则72＝2x2·y，所以y＝＝，所以表面积S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋(x>0)．所以S′＝8x－，令S′＝0，得x＝3．当03时，S′>0，所以当x＝3时，S取得最小值．即当长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时，箱子的表面积最小．
8．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．
答案　25
解析　设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250000，所以p2＝，p＝，x>0．设总利润为y万元，则y＝·x－1200－x3＝500－x3－1200．求导数，得y′＝－x2．令y′＝0，得x＝25．当00；当x>25时，y′<0．所以当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．即产量定为25件时，总利润最大．
三、解答题
9．某地需要修建一条通过120千米宽的沙漠地带的大型输油管道，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需在两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x3＋x)万元，设总的工程费用为y万元．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)需要修建多少个增压站才能使总工程费用y最小？
解　(1)设需要修建k个增压站，
则(k＋1)x＝120，即k＝－1，
所以y＝432k＋(k＋1)(x3＋x)＝432＋(x3＋x)＝＋120x2－312．
因为x表示相邻两增压站之间的距离，
所以0故y与x的函数关系式为y＝＋120x2－312(0(2)设f(x)＝＋120x2－312(0则f′(x)＝－＋240x＝(x3－216)．
由f′(x)＝0得x3＝216，
即x＝6，又0所以f(x)在(6，120)上单调递增，在(0，6)上单调递减．
所以当x＝6时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时k＝－1＝19，故需要修建19个增压站才能使总工程费用y最小．
10．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0．1x2－3．2 ln x＋3．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；
(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
解　(1)由题意，得所获得的利润为
y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12)．
(2)由(1)知，y′＝＝．
令y′＝0，得x＝6或x＝－(舍去)．
当4≤x＜6时，y′＞0，函数在[4，6)上为增函数；
当6＜x≤12时，y′＜0，函数在(6，12]上为减函数，
所以当x＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元)．
故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为96ln 6－78万元．
1．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝560＋48x＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N)，f′(x)＝48－，
令f′(x)＝0，得x＝15或x＝－15(舍去)．
当x>15时，f′(x)>0；当10≤x＜15时，f′(x)<0．
因此，当x＝15时，f(x)取得最小值f(15)＝2000．
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
2．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造价格为每米400元，中间两条隔墙建造价格为每米248元，池底建造价格为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
解　(1)∵污水处理池长为x m，
∴宽为 m．
由题意，得
解得≤x≤16，
y＝×400＋2××248＋200×80＝800x＋＋16000，定义域为．
(2)由y′＝800－＝0，
解得x＝18或x＝－18(舍去)．
当x∈(0，18)时，y′<0，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，y′>0，函数y为增函数．
又≤x≤16，∴当x＝16时，ymin＝45000．
∴当且仅当长为16 m、宽为12．5 m时，总造价y最低，为45000元．
12

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