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2026-2027学年高三年级上学期期中检测
数学A试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A A C C D B
8．【解析】根据三角形面积公式， ，所以 ，
又由余弦定理，得 ，代入得
，
令 ，则 有解，因 ,其中 ,
故有 ,解得 ，故 ．选 B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BCD ABC ABC
11．【解析】选项A， 时， ，由 得， ，由图知 与 有3个交
点，所以 有3个零点；
选项B， 时， 为偶函数，所以在 必存在最大值和最小值，所以在 上必存在最大值和最
小值；
选项C， ， ，当 时 单调递减；当 时，
单调递增。 ， ，
所以存在 ， ，使得， 单调递增；
， 单调递减； ， 单调递增。
且 。存在 ， 图象如图所示，有5个极值点；
选项D，如图所示， 可能有4个、5个或6个不同实数解，所以错误。
选ABC。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 或 （填一个即可）；13．3；14．348502．
14.【解析】方法一.公差为 ,共 个；公差为 ，共 个；公差为 ，共 个；……公差为 ，共 个；
个数构成等差数列，求和可得共 个.公差为负时，构成等差数列个数相同，所以总共 个.
方法二.集合 中的元素按照与 的关系可以分为三个集合 ， ，
，所以等差数列总个数为 .
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】(1) , 2 分
所以 ， 4分
令 ，解得 ，
所以单调递增区间为 6分
综上：最小正周期为 ，单调递增区间为 .
(2)因为 ，所以 ， 9分
所以当 ，即 时 取得最大值， ； 11 分
当 ，即 时 取得最小值， . 13 分
16．【解析】(1) , 1 分
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 . 3 分
(2)因为 ，所以 ， 5分
所以 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ， 7分
所以 . 9 分
(3) 由余弦定理可得 ，
因为 ，
所以 ， 11 分
又 ， 13 分
因为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 . 15 分
17．【解析】（1） ， ， 1分
由 得， .
单调递减； ， 单调递增.
， 3分
所以，当 时，取得最小值 ； 4分
当 时，取得最大值 . 5分
（2） ，
当 时， ， 单调递减； 单调递增，
所以f(x)在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 6分
当 时，由 得， ,
① 时， ,
单调递增； , 单调递减；
单调递增,
所以f(x)在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增. 7分
② 时， , 单调递增
所以f(x)在区间 上单调递增. 8分
③ 时， ,
单调递增； , 单调递减；
单调递增,
所以f(x)在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增. 9分
综上，当 时，f(x)在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；
当 时，f(x)在区间 上单调递增；
当 时，f(x)在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；
当 时，f(x)在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 10分
（3）因为 ，所以 . 12分
令 ，则
单调递减，且 ，所以 . 15分
18．【解析】(1)因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ， 2分
且 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列， 3分
所以 ，所以 . 5 分
(2) , 8 分
所以
10 分
(3)因为 恒成立，
所以 恒成立， 12 分
所以 恒成立，
令 ， ，
当 ，即 时， 单调递增， ，解得 ；
当 ，即 时， ，符合题意；
当 ，即 时， 单调递减，不成立； 15 分
综上： . 17 分
19．【解析】(1)因为 ，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且为偶函数，
所以 ， 1分
当 时,令 ， 则 ， ，
故 在 上单调递增，又 ，故
所以 在 上单调递增， ，故 ， 成立； 3分
当 时，令 ， ， ，
故 在 上单调递减，又 ，故
所以 在 上单调递增， ，故 ， 不成立；
故 . 5 分
(2)由（1）易知函数 在 上单调递增，
由 ，则 ，
即 ，解得 ， 8分
因为 是递增数列，故 ，
所以要证明 即 ，即证明 ，
即证明 ，令 ，
即证明 ， 设 ，
， 所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增． 10 分
因为 ，所以 ，
即有 成立，命题得证． 11 分
（3）由 ，整理得 ，
解得 或 ， 12 分
所以 或 ，
若 ，则 ，显然成立 13 分
若 ，因为 ， 15 分
所以 ，
所以 ，
所以
对任意 ，由均值不等式可得： ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
所以 ． 17 分

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