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12 速算与巧算
例1 计算:
1 1 1 1 1
1+36+512+720+930+1142
解析 本题可以先把每个分数的整数部分和分数部分分别相加,并注意分数部分中
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6=2×3=2-
, , , ,
3 12=3-4 20=4-5 30=5-6 42=6-7
答案 原式 (
1 1 1 1 1
= 1+3+5+7+9+11)+ 6+12+20+30+42
=36+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12-3+3-4+4-5+5-6+6-7
=36+ 1 12-7
5
=3614
例2 计算:
1 1 1 1
1×3×5+3×5×7+5×7×9+
…+2001×2003×2005
解析 1 原式=4×
1 1 1 1 … 1 1
1×3-3×5 + 3×5-5×7 + + 2001×2003-2003×2005
1 1 1 1004003
=4× 3-2003×2005 =12048045
例 1 1 1 1 13 计算:1+1+2+1+2+3+1+2+3+4+
…+1+2+3+…+99+100
解析 这道式子中的每一项的分子都是1,分母是n 个数的和,而不是相邻两个自然数的积。但
(1+n)×n
是各项的分母都是从1开始的连续若干个自然数的和,我们就可以知道分母为 ,那么2
1 2
… = ( )。所以题目中的每一项都变成了一个分子为2,分母为两个自然数乘1+2+ +n n× n+1
积的形式。
答案 原式
2 2 2 … 2 2=1×2+2×3+3×4+ +99×100+100×101
=2× 1 1 1 … 1 11×2+2×3+3×4+ +99×100+100×101
1 1 1 1 1=2× 1- + - + - +… 1 1 1 12 2 3 3 4 +99-100+100-101
1
=2× 1-101
100
=2×101
23
200
=101
99
=1101
例 147 14 340= 1
a+ 1
b+ 1
c+d
设,其中a,b,c,d 都是非零自然数,则a+b+c+d= 。
解析 147 1 1 1 340= 46= 1 = 1
2+147 2+ 9 2+ 1
3+46 3+ 1
5+9
因此a=2,b=3,c=5,d=9
所以a+b+c+d=2+3+5+9=19
例5 求下列所有分母不超过40的真分数的和。
1 1 2 1 2 3 … 1 2 … 38 39
2+ 3+3 + 4+4+4 + + 40+40+ +40+40
解析 可以看出在每个括号内与首尾等距离的数相加,和为1,因此可把括号内各项颠倒次序排
列后相加。
答案 设 1 1 2 1 2 3 … 1 2 … 38 39 s=2+ 3+3 + 4+4+4 + + 40+40+ +40+40
则 1 2 1 3 2 1 39 38 2 1s=2+ 3+3 + 4+4+4 +…+ 40+40+…+40+40
上下两式同分母的括号上下对齐相加,得
2s=1+2+3+…+39
39×(1+39)
= 2
=780
所以s=390
1.计算:
1 1 1 1 1
5×7+7×9+9×11+11×13+13×15
24
计算:1 1 12. + + +…
1
20 30 42 +132
3.计算:
1 1 1 1 1 20 10 26 38 27
2+3+30+31+41+51+119+120+123+124
4.计算:
1 1
1+ …
1
1+2+1+2+3+ +1+2+…+100
2 3 4
5. 和 式 …1×(1+2) + (1+2)×(1+2+3) + (1+2+3)×(1+2+3+4) + +
100
( … ) ( ,计算化简后得到一个最简分数,求分母与分子之差。1+2+3+ +99×1+2+…+100)
计算:5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 256. 6-12+20-30+42-56+72-90+110-132+156
1 1 1 1 1 1 1
7.计算:1128+264+432+816+168+324+642
计算: 1 1 1 1 1 1 1 18. 3+6+12+24+48+96+192+384 ×128
25就把自然数分成了7类,即:除以7余0,1,2,3,
第10天 百分数
4,5,6,因此,可以把它看成是7个抽屉,至少要有
1.(1)百分之十三点五 0.07% (2)64 300 8个数,才能必然有一个抽屉里有两个数,而这两
(3)15 9 3 5(前两空答案不唯一) 60 个数除以7的余数相同,也就是差是7的倍数,根
2 据上述分析,至少任意取8个连续的自然数,就能(4)8 (5)0.6<0.65<66%<3
(6)150 40
保证其中必有两个数,它们的差是7的倍数。
(7)3825 (8)84000 4200
2.(1)C (2)D (3)B (4)C (
第 天 速算与巧算
5)B (6)B 12
(7)A (8)C
解:原式 1 2 2 2 21. = × + + + +
3.(79-52)
÷79≈34.2% 2 5×7 7×9 9×11 11×13
4.500÷(5000-500)≈11.1% 2
13×15
5.甲店:10×30×90%=270(元);乙店:30÷(5+ 1 1 1 1 1 1 1 1
= × - + - + - + -
1)=5(组),需买:5×5=25(本),需花:10×25= 2 5 7 7 9 9 11 11
250(元);丙店:10×30=300(元),300÷100= 1 1 1
13+13-15
3(个),300-12×3=264(元),250<264<270,所
1 1 1
以李老师到乙书店购买最划算,最少需要250元。 =2× 5-15
1
第二部分 智力比拼 =15
解:原式 1 1 1 12. =4×5+
…
5×6+6×7+ +11×12
第11天 鸽巢问题
1 1 1 1
= - + - + 1 1- +…
4 5 5 6 6 7
1.8×(5-1)+1=33(本) 所以至少有33本练
1 1
习本。 + 11-12
2.6+1=7(本) 6×2=12(本) 所以这些书的本 1 1
= -
数可能是可能有7,8,9,10,11, 。
4 12
12
3.12-6+1=7(种) 60÷7=8(人)……4(
1
人) =6
8+1=9(人) 所以他们当中至少有9人的年龄
解:原式 1 1 1 1 1 1 13. = + + + + + + +
相同。 2 3 30 31 41 3 17
4.(1)3×2+1=7(本) 至少要取出7本。 1 1 1 1 1 17-17 + 4-30 + 3-41 +
(2)8+12+1=21(本) 所以要想取出的书一定 1 1
-
有3个种类,至少要取出21本。 4 31
5.426÷5=85(分)……1(分) 85+1=86(分) 所 1=27
以总有一名同学的得分不低于86分。
解:原式 2 2 … 2
6.自然数除以7的余数为:0,1,2,3,4,5,6,因此7 4. =1+2×3+3×4+ +100×(1+100)
53

1 1 … 1 127=1+2× 2×3+3×4+ +100×101 =127128
=1+2× 1 1 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + + - 8.解:设x=3+6+12+ + +2 3 3 4 100 24 48 96+192+384
1 ①101
则 2 1 1 1 1 1 1 12x= +
1 1 3 3
+6+12+24+48+96+192
=1+2× 2-101 ②
99
=1 ②-①,得101
2 1 85
: 1 1 1 1 … x= - =5.解 原式=1-1+2+1+2-1+2+3+ +
3 384 128
1 1 所以原式
85
=128×128
1+2+…+99-1+2+…+100
=85
1
=1-1+2+…+100
第13天 分数与百分数
2
=1-100×(100+1)
1.分析:要求这个乡去年一共种活了多少棵树,只要
1 5049
=1- = 分别求出春季和秋季分别种活了多少棵树,春季5050 5050
种活 的 树 是 直 接 可 求 得 的,只 要 求 得 秋 季
分母与分子之差=1
种活的树的数量,或者求得秋季种的树的数量,问
解:原式 1 1 1 1 1 16. = 2+3 - 3+4 + 4+5 - 题就解决了。
1 1 … 1 1 解:春季植树未种活的树的数量是5+6 + + 12+13
450×(1-80%)=90(棵)
1 1
=2+13 春季植树共死了90棵
15 秋季植树共死了90-18=72(棵)
=26 已知秋季植树的成活率是90%,去年秋季共植树
7.解:原式
1
=(1+2+4+8+16+32+64)+ + 72÷(1-90%)=720(棵)128
从而求得去年一共种活的树的数量是
1 1 1 1 1 1
64+32+16+8+4+2 450×80%+720×90%=360+648=1008(棵)
=(1+1+2+4+8+16+32+64)+ 答:这个乡去年共种活了1008棵树。
1 1 1 1 1 1 1 2.
解:选派360名学生中,有男生
128+128+64+32+16+8+4+ 360×40%=144(名)
1 1-1- 其余的是女生,女生有2 128
360-144=216(名)
1
=128+1-1-128 女生比男生多
54

216-144=72(名) 因此,男生人数的一半是
因此,只要增派72名男生,就可使男生占全体人 63÷3=21(人)
数的50%。 故男生人数为21×2=42(人)
答:被增派的男生有72名。 女生人数为21+13=34(人)
1 1 1 1 男生比女生多 42-34=8(人)
3.解: 1÷ 1-5-3- 3-5 ×3 答:这个年级的男生比女生多8人。
1 1 2
=1÷ 1-5-3-5 第14天 圆的面积
1
=1÷ 15 1.解:因为大圆直径是小圆直径的3倍,所以大圆半
=15(只) 径是小圆半径的3倍,故可得到:
4.解:设各倒出了x 毫升盐水。 小圆面积 1 2 1
大圆面积= 3 =9
最后,甲容器内的盐水浓度为
所以一个小圆面积是
[(90-x)×10.5%+11.7x%]÷90×100%
1 2
=[(90×10.5)+(11.7-10.5)x]÷100÷ 36× =4(cm )9
90×100% 所余下的边角料的总面积是:
1.2x= 10.5+ ÷100×100%; 36-4×7=8(cm2)90
答:所余下的边角料的总面积是8cm2。
乙容器内的盐水浓度为
2.分析:由 已 知 大 圆 纸 片 的 直 径 比 小 圆 纸 片 大
[(210-x)×11.7%+10.5x%]÷210×100%
20%,设小圆纸片直径为1,则大圆纸片为1.2,小
=[(210×11.7)-(11.7-10.5)x]÷100÷
圆纸片直径与大圆纸片的直径的比是5∶6,这就
210×100%
是说小圆纸片的半径与大圆纸片的半径比是
= 1.2x11.7-210 ÷100×100%。 5∶6。
因为两容器内的盐水浓度相同,所以 它们的面积比是25∶36。
解:设大圆纸片面积为 2,由圆的面积比等于
1.2x 1.2x xcm
10.5+ 90 =11.7-
,
210 其半径平方比,得
解得x=63。 50∶x=25∶36
答:各倒出63毫升盐水。 故x=72
5.分析:13名女生与男生的一半参加数学竞赛,剩 大圆纸片比小圆纸片大72-50=22(cm2)
下的男女生人数相等。显然,剩下的是男生的一 答:大圆纸片面积比小圆纸片面积大22cm2。
半,而女生的人数与男生一半的人数相等,据题 3.解: 3.14×12×4+3.14×(42-22)+ 8×8-
意我们可以先求男生一半的人数,从而得到下面
1
的解法。 3.14×8
2×4
解:男生人数一半的3倍是76-13=63(人) =3.14×4+3.14×12+(64-50.24)
55

=12.56+37.68+13.76
第15天 整除问题
=64
答:总面积为64cm2。 1.解:被4整除的最大的三位数是996。
4.分析:四个扇形的半径依次为:AD=1cm,BE= 又因为这个四位数被9整除,设末位数字为a,则
1+1=2(cm),CF=1+2=3(cm),DG=1+3= 9+9+6+a
4(cm)。求阴影部分的面积就是求四个半径各不 被9整除,即6+a 被9整除,所以a=3。
1 答:所求末位数字是3。相同的 圆的面积和。
4 2.解:因为36=4×9,所以C 只可能是1,3,5,7,9。
解: 1 ×3.14×(12+22+32+42) 要使商最小,首先A 应尽可能小,于是取A=0,4
又因为
1
=4×3.14×30 1+5+6+A+B+C=9+3+B+C
=23.55(cm2)。 能被9整除,即B+C+3是9的倍数。C 只能是
答:阴影部分的面积为23.55cm2。 1,3,5,7,9,而 B 应尽可能小,因此 B 取1,C
5.解:如图,四部分的面积分别用字母 A,B,C,D 取5。
表示,那么(C+B)+(B+D)是一个以1cm 为 答:A,B,C 分别是0,1,5。
半径的圆的面积,A+B+C+D 是以2cm为半 3.解:所求四位数被5整除,因此可以确定它的个位
1 数字是5。径的圆的面积的 。
4 又因为这个四位数被3整除,它的数字和是3的
倍数,从6,7,8,9选出的3个数字与5的和应该
是3的倍数。
经试验,只有6,7,9合适。
(C+B)+(B+D)=π 由5,6,7,9组成的没有重复数字的最大的四位数
1 是 。
A+B+C+D= (π·22)=π 97654
且9765=7×1395
因此有A+B+C+D=C+B+B+D
所以9765即为所求的最大的四位数。
这样可推得A=B。
答:最大四位数是9765。
A 的面积等于半径为2的圆的
1减去半径为1的 4.分析:设n 个少年儿童排成一圈,每个儿童的左4
, 右相邻的都恰好是一个男孩子和一个女孩子,则半圆 再减去边长为1的正方形,即
一定是两个男孩子两个女孩子依次相邻:……男
1
A= ×π·22
1 π
4 - 2π
·12 -1= 2 -1= 男女女男男女女……地排成一圈,所以n 是偶
0.57(cm2) 数。令n=2k。将相邻两个男孩子记为A,相邻
A+B=2A=0.57×2=1.14(cm2) 两个女孩子记为B,则A,B,A,B,A,B,…共有
答:阴影部分的面积是1.14cm2。 k个相间排列成一圈,所以A,B 的个数相等,于
56

是k是偶数,令k=2l,所以n=2k=2(2l)=4l。 7
7∶2 2
也就是n 可以被4整除。由于n 不超过50,所以
4
这队少年儿童最多有48人。 5.黄 沙:60×4+3+5=20
(吨) 水 泥:60×
答:这队少年儿童最多有48人。 3
=15(吨) 石子:4+3+5 60-20-15=25
(吨)
5.解:五位数能被55整除,即被5和11整除,而被5
整除的数末位数字只能是0或5。 6.560÷8=70(千米/时) 甲:
4
70× (千4+3=40
(1)末位数是0时,□6910要能被11整除
米/时) 乙:70-40=30(千米/时)
(□+9+0)-(6+1)=□+2
7.连环画:
1
应是 的倍数,显然 。即符合题意的五位 540× =180
(本) 文艺书:(3 540-11 □=9
数是96910。 3180)× =216(本) 科技书:3+2 540-180-
(2)末位数是5时,□6915要能被11整除
216=144(本)
(□+9+5)-(6+1)=□+7
2 3
应是11的倍数,显然□=4。所以符合题意的五 8.14÷ - =48(人)3 8
位数是46915。
答:
第
所有符合题意的五位数是96910和46915。 17天 比例的意义和基本性质
6.解:由1+2+3+…+99+100=101×50=101× 1.(1)相除 两个比相等的式子 (2)比例的基本性
52×2。由于连续三个数中至多只有一个含有因
质 (3)正 b (4)3 2 (5)
16
(6)
3 3
a= b
子5,因此,三个连续正整数中必有一个要含有质 3 4 5
() ()
因数101,另一个含约数52,可选100,第三个选 7100 11 83 2 6 6 4 1.7
(9)14
99即可。其乘积为999900。 7 4 14 14 4 7 14
(10)14 15
答:这样的三个连续正整数最小一组为(99,100, 2.
(1)C (2)B (3)C (4)C (5)B
), 。 3.x=54 x=5 x=241.92101 其乘积为999900
4.5-3=2(份) 600÷2=300(m) 5+3=8(份)
第三部分 探究先飞 300×8=2400(m)
第一单元 比和比例关系 第18天 比例的应用(1)
第16天 比的意义和基本性质 1.(1)1∶400 (2)32 60 (3)1∶5 8 (4)200
(5)18 6
1
1.(1)20 75 16 0.16 (2)1 4 (3)5 2.(1)A (2)A (3)A (4)A5
()长 ,宽 ()
() () () 3.1 12cm 8cm 21∶2000→2cm
,1∶
46 5 6 5 524 67 5
1000→4cm (3) 图上面积12cm2
2.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
3.(1)C (2)C (3)C 第19天 比例的应用(2)
1 7 1
4.1∶4 4 7∶6 6 7∶1 7 1∶3
3 1.(1)2.5 15 (2)6 (3)240 (4)72 8 (5)3
57

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