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2026-2027高一上学期期中检测
数 学 试 卷
本卷满分 150分，考试时间 120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．设 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若函数 在区间 上不具有单调性，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”。设 ，用
表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数。例如： ， 。已知函数
，则下列选项中，正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 在 上的值域为
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6．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．用 表示 与 的最大者，记 ，其中 ， 都是正数，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数 ，函数 在定义域 内是单调函数，且对于任意 ，
都有 ，则 在区间 上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．设全集为 ，在下列条件中，是 的充要条件的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 、 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A．
B． 是奇函数
C．若 ，则
D．若当 时， 单调递减，则当 时，不等式
的解集为
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第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．已知关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的
解集为______．
13．已知函数 在区间 上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则 的取值范
围是______．
14．已知函数 的定义域为 ，若存在区间 ，使得 同时满足下列条件：（1）
在 上是单调函数；（2） 在 上的值域是 。则称区间 为函数
的“倍值区间”。下列函数中存在“倍值区间”的有______．
① ② ③ ④
四、解答题（共 5小题，共 77分）
15．（13分）已知全集 ，集合 ，集合 ，其中 。
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分条件，求 的取值范围。
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16．（15分）计算
（1） ；
（2）已知 ，求 以及 的值。
17．（15分）已知函数 。
（1）当 时，求关于 的不等式 的解集；
（2）求关于 的不等式 的解集；
（3）若 ， 为真命题，求实数 的范围。
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18．（17分）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， 。
（1）求 的值；
（2）写出函数 在区间 上的解析式，并画出函数在这区间上的图像；
（3）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围。
19．（17分）已知 为非空有限集，且任取 ，均有 ，称 为非空有限整数集。定义：
， 。
（1）若 ，分别写出 和 （用列举法表示）；
（2）若 ， ， ，求集合 中所有的元素；
（3）对于非空有限整数集 、 ，若 ， ， 中的元素均为非负整数， 为整数，求
证：① 、 中元素的个数相同；②若集合 中的元素个数为奇数，则 为偶数。
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2026-2027高一上学期期中检测
数学试题参考答案与评分标准
一、选择题（每小题 5分，共 40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A C A B A
二、选择题（每小题 6分，共 18分）
题号 9 10 11
答案 ABD AD BCD
三、填空题（每小题 5分，共 15分）
（12）
（13）
（14）①②④
四、解答题（共 77分）
15．（13分）解：（1）当 时， ，所以 ； ......................... 4分
所以 或 ； .............................................................................................................................. 7分
（2）“ ”是“ ”的充分条件，即 ； ........................................................................................................ 9分
当 ，即 时， ，满足 ； ............................................................................................ 11分
当 时，需 且 ，解得 ； ................................................................................. 13分
综上， 的取值范围为 ． ...................................................................................................................................... 15分
16．（15分）解：（1）原式 ； ........................................................... 5分
； .................................................................................................................................................... 8分
； ........................................................................................................................................................................ 10分
（2）由 得 ； ................................................................................................ 12分
又 ； ........................................................................................................ 14分
所以所求值为 ． .......................................................................................................................................................... 15分
高一数学（参考答案） 第 1页（共 3页）
17．（15分）解：（1）当 时， ，得 或 ； .............. 3分
所以解集为 ； .............................................................................................................................................. 4分
（2） ； ............................................................................................................................................ 6分
当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ； ....................................... 10分
（3） ， 恒成立； ................................................................................................................... 12分
令 ，当 即 时， 在 上递增，且 ； ......... 14分
当 时，需 ，解得 ，即 ； ............. 16分
综上， ． ............................................................................................................................................................... 17分
18．（17分）解：（1）由 得 ； ............................................................ 2分
， ......................................................................................................................................................... 4分
所以 ， ； .................................................................................. 6分
（ 2） 当 时 ， ； 当 时 ， ，
； ............................................................................................................................... 8分
当 时， ， ；图像略（见试卷所给方格
纸）．
............................................................................................................................................................................................ 12分
（3）在 上 ；在 上 ； ......................................................................... 14分
在 上，令 得 或 ，故当 时 ； .................... 16分
又 时 恒成立，所以 ． ................................................................................................. 17分
19．（17分）解：（1） ， ； ....................................................................................................... 3分
（2）由 得 ； ........................................................................................................................... 5分
由 知，对任意 ， ，即 ，所以 ； ... 8
分
所以 ． .................................................................................................................................................................... 10分
高一数学（参考答案） 第 2页（共 3页）
（3）①因为 中不同的元素加 后仍互不相同，所以 与 的元素个数相同，由 得
；又 中元素均为非负整数，不同的 对应不同的 ，所以由 得 ，故
； ..................................................................................................................................................................................... 13分
②记 为奇数，则上述两个单射都是双射，从而 是 到 的双射； 14分
于是 对 的和等于 对 的和，记 中元素之和为 、平方和为 ，得
； ..................................................................................................................................................... 15分
模 2得 ，又 ，故 为偶数． ......................................................................................... 17分
高一数学（参考答案） 第 3页（共 3页）

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