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2026-2027学年重庆市兼善中学高三（上）质量检测
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为和，高为器皿厚度忽略不计现将该器皿水平放置后上底位于上方注入盐酸溶液，若溶液高度恰为，则溶液体积为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则的公比为( )
A. B. 或 C. D. 或
6.已知函数为偶函数，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，已知角的内角平分线长为，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B. 的虚部为
C. 复数为纯虚数 D.
10.中国的四大名著是红楼梦西游记水浒传三国演义这四部经典文学作品小明和他的两位同学共人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则( )
A. 人选择的作品均不同的方法总数为
B. 恰有人选同一部作品的方法总数为
C. 恰有人选红楼梦的概率是
D. 若小明已选择读西游记，其余两位同学至少有一人选择读西游记的概率为
11.已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则
C.
D. 若，在上单调递减且，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
13.已知是第二象限角，且，则 ．
14.等差数列的通项公式，前项和为，则数列的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
的最小正周期及单调减区间；
若任意的，都有，求的取值范围．
16.本小题分
某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布，不低于的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱件包装出厂某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于的为“一等品”，其余的为“二等品”
从一箱产品中任取件，求该产品是“一等品”的概率；
从一箱产品中任取件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
已知数列满足，，．
证明：数列为等比数列并求的通项公式；
记，求数列的前项和．
18.本小题分
在中，角，，所对边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若是线段的中点，且，，求；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，，曲线在点处的切线与轴垂直．
求的单调区间；
若，，使得，求实数的取值范围；
设，，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意，可得，
可得函数的最小正周期是，
令，，
解得，，
可得函数的单调递减区间是；
当时，，
所以当，即时，，
又任意的，都有，
所以．
16.【答案】解：，，
记事件为该产品为合格品，事件为该产品是一等品，
所以，
所以该产品是一等品的概率为；
的所有可能取值为，，，，
，
，
所以的分布列如下：
的数学期望，
或由的二项分布．
17.【答案】解：证明：数列满足，，，
可得，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
由，可得时，，
上式对也成立，
则；
，，
前项和
18.【答案】

19.【答案】单调增区间为，单调减区间为 证明：由知，时，在上恒成立，
即，，
由知在处取得极小值，即最小值，最小值为，
即恒成立，即，
所以当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以
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