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2026-2027学年甘肃省兰州市第三十三中学、第五十一中学高三（上）第三次建标考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知为第二象限角，，则( )
A. B. C. D.
5.设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则实数( )
A. B. C. D.
7.若函数的图象如图所示，则实数，的值可能为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第四层有个球，，设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足，其前项和为，且，则( )
A. B. 是递减数列
C. D. 是等比数列
10.在正四棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的有( )
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 无论，取何值，三棱锥的体积均为定值
C. 当时，点的轨迹长为
D. 当时，四棱锥的体积为定值
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有( )
A. 当时，曲线与轴有个交点
B. 曲线的图象关于对称
C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为
D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面内单位向量，，满足，则 ．
13.函数的部分图象如图所示，是等边三角形，其中，两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则 ．
14.，的极值点为，在直线的下方，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对边分别为，，，已知，．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
16.本小题分
如图，已知菱形中，，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
学校举办“书香校园”读书节，现场进行抽奖活动一等奖的奖品是“精装典藏版”书签，二等奖的奖品是“平装普及版”书签平装书签根据内容又分为“文言文”及“现代文”两类已知奖箱中共有个标记一等奖、个标记二等奖的标签二等奖标签中又有个标记“文言文”，其余标记“现代文”，所有标签除了内容不同，其余完全相同若从箱中一次性随机抽取个标签，恰好获得的奖品是一枚标有“文言文”和一枚标有“现代文”的书签的概率是获得枚均标有“文言文”书签概率的倍．
求的值；
若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取个标签，抽完后放回箱中表示甲三次抽奖中每次恰好获得一枚“精装典藏版”书签和一枚“平装普及版”书签的次数，求的分布列及数学期望；
若乙从箱中一次性随机抽取个标签，已知其中至少获得一枚“平装普及版现代文”书签，求获得的枚书签中恰有两枚“精装典藏版”的概率．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求在区间上的最大值和最小值；
Ⅱ若是函数的极值点．
证明：；
(ⅱ)求在区间上的零点个数．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，以椭圆与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为，离心率为．
求椭圆的方程；
设，，点在第三象限且在椭圆上直线与轴交于点，直线与轴交于点．
是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
求四边形面积的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：Ⅰ由正弦定理以及，得，
故，
因为中，，所以，
因为，所以，
因为，，所以；
Ⅱ因为，所以，
在中由余弦定理可得，，，
所以，得或，因为，所以．

16.【答案】证明：在菱形中，，，
所以，均是边长为的等边三角形，
所以，
翻折后，，为的中点，且，
所以，且，
因为，，所以，即，
又是的中点，所以，
所以，即，
又，且，平面，
所以平面．
解：由知是边长为的等边三角形，
所以，
在中，，，所以，
由知平面，且，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，解得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17.【答案】解：设从箱中一次性随机抽取个标签，
恰好抽到一个标有“文言文”一个标有“现代文”的概率为，抽到个均为“文言文”的概率为，
因为，，其中，
因为，所以，
所以，解得；
甲每次抽取个签，恰好获得一枚“精装典藏版”书签和一枚“平装普及版”书签的概率为，
因为随机变量可以取，，，，
其中，，
，，
所以的分布列如下，
所以．
设事件：乙从箱中一次性随机抽取个签，其中至少有一枚是“平装普及版现代文”书签，
设事件：乙从箱中一次性随机抽取个签，抽到的个签中恰有两枚“精装典藏版”．
则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率，
由知，个标记二等奖的标签中，有个标记“文言文”，有个标记“现代文”，
则，，
所以，
所以已知其中至少有一枚“平装普及版现代文”书签，抽到的个签中恰有两枚“精装典藏版”的概率为．
18.【答案】解：Ⅰ，
令，得，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因此在处取得极大值，也是最大值，最大值，
而，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
Ⅱ证明：已知，则，
因为是极值点，
所以，
解得，即，
令在上连续，则，
所以在上单调递增，
由，
所以方程在区间内有且仅有一个实根，即得证；
由可知，因此，求零点即求的解，
令，则，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
又，
所以在上恒成立，
故F在上单调递减，
因为，所以，
故区间上无零点；
当时，；
当时，令，即，
由在上单调递增，在上单调递减，
令，则，即在上单调递减，其中，，，
所以区间内、的图象有一个交点，
所以有一个零点，且先正后负，即先增后减，
又，且，
所以在内先正后负，先增后减，
因为，且，
所以在上恒成立，故区间上无零点；
当时，，在上单调递减，
因为，所以恒成立，在上单调递减，
又，，
由零点存在定理在内有且仅有个零点；
综上所述，在区间上的零点个数为个．
19.【答案】 存在，；
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