资源简介

2026-2027学年河北省保定市高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知某圆锥的侧面积为，且其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，在闭区间上的最大值不小于，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在上的值域为 D. 在上单调递减
10.在正方体中，棱长为，则( )
A. 异面直线与互相垂直
B. 点，，，分别为棱，，，的中点，则，，，四点共面
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 点在直线上运动，点在直线上运动，则线段长度的最小值为
11.九连环是我国古典益智玩具，一根环柄上有个环，编号依次为，，，，每个环有两种状态：在环柄上、被卸下符号约定：表示环在环柄上；表示环被卸下初始状态为个环均在环柄上，即最终状态时个环全部卸下，即装卸规则：
每次仅可装卸个环，且装上或者卸下每个环的过程是可逆的；
号环可自由装卸；
装卸号环的充要条件：号环在环柄上；
当时，装卸第号环的充要条件：第号环在环柄上，且前个环都被卸下．
设为从初始状态卸下前个环的最少步数，已知，．
状态：，
状态：．
下列说法正确的是( )
A.
B. 状态比状态更接近全部卸下个环的目标
C. 数列满足递推关系
D. 从状态出发，全部卸下个环最少需要步
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最大值为 ．
13.过点有三条不同直线与曲线相切，则满足条件的实数的一个值为 ．
14.若平面四边形中，，，，则当四边形的面积最大时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在区间上的所有对称中心的横坐标从小到大依次为，，，，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
判断的形状并证明；
若，，为边上一点，且，求．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若方程存在个不同的实数根，，证明：．
18.本小题分
如图，三棱锥的侧棱均相等，在底面中，为中点，，．
证明：；
若，的面积为，求二面角的正弦值；
在第问的条件下，若内不含边界存在一动点，满足，求直线与平面所成角的正切值的范围．
19.本小题分
已知函数的定义域为对于正实数，定义集合．
若，判断是否是中的元素，请说明理由；
若，若，求的取值范围；
若是偶函数，当时，，且对任意，均有．
写出，解析式；
若，讨论函数，在上的零点个数．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】中的任意实数均可为答案
14.【答案】
15.【答案】解：令，
解得，
且横坐标从小到大排列，得，，，，，
．
由题意得，
，
，
，
．
16.【答案】解：证明：由已知可得，，
则，化简得，，
因为，，所以或，因此或，
当时，，则，都成立，
此时是等腰三角形；
当时，则，此时是直角三角形；
综上所述，是等腰三角形或直角三角形；
根据题意，画出如下草图，
当为等腰三角形时，
为等腰顶角的角平分线，则，为的中点，
所以，即．
当为直角三角形时，
为直角中直角的角平分线，即，
设，，则，
所以的面积，
同时，
所以，解得．
综上所述，当是等腰三角形时，线段长；
当是直角三角形时，线段长．
17.【答案】解：的定义域为，．
所以，所以切线的斜率为．
由点斜式得切线方程为，即；
证明：不妨设，的定义域为，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以在处取得最小值，且，
当时，，所以，
当时，，
若，则至多有一个实数根；
若，则只有一个实数根；
这与方程有两个不同的实数根矛盾，所以，
又，而时，，所以两个根都在内，
结合两段上的单调性，得，，
因为，所以，，
于是，所以，
又，所以，即，
设，，则，
当时，；
当时，；
所以在处取得最小值，即，
因此对任意，都有，
由得，即，
又，所以，
所以．
18.【答案】解：证明：已知三棱锥的侧棱均相等，在底面中，为中点，，
所以，
因为，所以，
又因为，，
所以，
所以，
在平面中，，
所以，
即，，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
由可知，
所以，
所以，
由可知，，，平面，平面，
所以平面，
取中点，连接，，
因为且为中点，
所以为直角三角形，即，
所以，且平面平面，
所以二面角的平面角为，
在等腰直角三角形中，，
所以，
所以，
所以，
所以，
即二面角的正弦值为；
由可如图建立空间直角坐标系，
则，，设，
又，所以，即，
直线
因为动点在内，所以，
所以，
即．
所以．
平面的一个法向量为，
设直线与平面的线面角为，
则，
所以．
因为，
所以函数在上单调递增，
所以
即直线与平面所成角的正切值的范围为．
19.【答案】解：是的元素，理由如下：
因为，，
所以，因此是的元素．
因为，所以，有，
即方程无解，
若时，要使无解，
即无解，则；
若时，要使无解，
即无解，则所有正实数满足；
若时，要使无解，即无解，
化简得，设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
又，；当时，，
且，，
所以在区间上的值域为
要使方程无解，则，
综上所述，正实数；
因为是偶函数，且当时，，
可知当时，，
则对任意，当时，满足，即，
因为，所以，
即对任意成立，
故对任意，成立，
因此当时，．
当时，同上述过程可得当时，
，则的图象如下：
在区间上，
若，则函数的图象与轴没有交点，即函数没有零点；
若，则函数的图象与轴有个交点，即函数有个零点；
若，则函数的图象与轴有个交点，即函数有个零点；
若，则函数的图象与轴有个交点，即函数有个零点；
若，则函数的图象与轴没有交点，即函数没有零点．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑