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2026-2027学年陕西省汉中市仁德学校高三（上）第三次模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量，不共线，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知为等比数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A.
B. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象
C. 点是函数的图象的一个对称中心
D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
7.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列选项正确的是( )
A. B. 与夹角的余弦值为
C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则
10.函数的最大值为，则( )
A.
B. 图象关于点中心对称
C. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D. 在上的值域为
11.已知函数的定义域为，且，，，则( )
A. B. 是偶函数
C. 的一个周期 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，直线和垂直，则的最小值为 ．
13.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则 ．
14.已知函数，若关于的方程有个不同实根，则实数取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期及其单调递增区间；
当时，求的值域．
16.本小题分
已知，，与的夹角为．
求；
求及；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知数列的前项和为，满足，记．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，证明：．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
求角的大小；
若为锐角三角形，，求的取值范围；
设的面积为，边上的中线长为，求的长．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
判断函数的零点个数；
若对任意的，都有成立，求整数的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意得
，
可得的最小正周期 ，
由 解得 ，
所以的单调递增区间为 ；
当 时，．
由正弦函数性质，可知，即时，有最大值，
当，即时，函数有最小值为，
所以 在上的值域为 ．
16.【答案】解：．
由得，
．
由向量与的夹角为锐角，得，且向量与不共线，
则，即，
解得且，
所以实数的取值范围是．
17.【答案】解：因为，
所以，所以．
当时，，
所以，即．
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
证明：由得，，
所以，
所以
，
因为，
所以，
所以．
又和均随的增大而增大，
所以随的增大而增大，
所以当时，取得最小值，最小值为，
所以．
18.【答案】
19.【答案】 两个零点
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