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2026-2027学年吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，为前项和，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.设函数，则( )
A. B. C. D.
6.在同一坐标系中，函数且与的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.在学习解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是( )
A.
B. 的面积为
C.
D. 点在点的北偏西方向上
8.如图，是的中线，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则( )
A. B. 是数列中的项
C. D. ，，成等差数列
10.关于函数的四个结论，其中正确的结论有( )
A. 最大值为
B. 在单调递增
C. 图象的对称中心为
D. 将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到
11.已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中正确的有( )
A. 函数的周期是
B. 直线是函数的一条对称轴
C.
D. 函数在的零点有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
14.已知数列满足，则的前项和的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
云南作为中国的旅游大省，以其独特的自然景观和丰富的民族文化吸引着大量游客，加快推动全省旅游高质量发展，坚决守护好云南旅游这块金字招牌成为了云南省人民政府的重要任务大理市对来旅游的部分游客发起满意度调查，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分绘制成如下频率分布直方图．
求；
根据频率分布直方图，估计游客综合满意度得分的第百分位数；
若规定综合满意度得分不低于分为对大理市非常满意，用样本频率估计总体概率，从进行满意度打分的游客中随机抽取人，记其中“对大理市非常满意”的人数为，且各满意度得分相互独立求的分布列并计算数学期望与方差．
17.本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且．
求角的大小；
若，，求的值；
若，，点是线段上一点，求内角平分线的长．
18.本小题分
已知椭圆的方程为，其长轴长为，且点在上．
求的方程；
设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于，两点，为坐标原点．
若，且的重心在轴上，求的方程；
若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为：，求的值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若在时恒成立，求的取值范围；
若在时恒成立，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
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10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：由，解得，
故；
分以下的频率为，分以下的频率为，
所以第百分位数落在之间，设其为，
则有，解得，
所以游客综合满意度得分的第百分位数为；
从进行满意度打分的游客中随机抽取人，记其中“对大理市非常满意”的人数为，
通过频率分布直方图计算得“对大理市非常满意”的概率为，
由题意可知服从二项分布，即，
的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
根据二项分布的期望公式可得，
根据二项分布的方差公式可得．
17.【答案】解：已知的三个内角，，所对的边分别为，，，
的面积为，且，
根据余弦定理和三角形的面积公式可得，
又 ，故；
由，得，
又，则，
由余弦定理得，
解得负根舍去；
因为，
所以根据平面向量数量积公式可得：
，
因为是的平分线，
所以，
所以，
则，
故．
18.【答案】 ；
19.【答案】解：因为，，
求导得，，
时，，在上单调递增；
时，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
易知，
由易得当时或，即时，在上单调递增，
此时，成立；
当，即时，在上单调递减，因此，矛盾．
综上所述，的取值范围为．
，即，，
即，
即，
即，
由得时，在上单调递减，在上单调递增，
此时，即，
因此有，
当，即时，成立；
当，有，
此时若，即可证明矛盾，
若，则有，
令，，
则有，，
由零点存在定理可知在上存在使，
此时，
即与矛盾，
综上，，即的最大值为．
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