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2026-2027学年陕西省西安市创新港中学高三（上）第三次大练习
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若点为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为( )
A. B. C. D.
4.图为元代瓷器白地褐彩龙凤纹罐，高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成，如图圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为( )
A. B.
C. D.
5.如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱安排人，梦天实验舱安排人若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.若定义在上的函数满足，是奇函数，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，，，的平均数为，方差为，令，则下列说法正确的是( )
A. 数据，，的平均数为 B. 数据，，的方差为
C. D. 原数据补入后，方差为
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知数列满足，，记为其前项和，则对任意正整数，下列说法正确的是( )
A. B. 数列是公差为的等差数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的首项，公差，则该数列的前项和为 ．
13.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为 ．
14.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧含端点上的一点，则的范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校从甲、乙两组共名学生中随机选出名参加科技展示，其中甲组名、乙组名，每种选法等可能．
求选出的名学生中恰有名来自甲组的概率．
设随机变量表示选出的名学生中来自甲组的人数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面满足，，，．
证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若点满足，且，求面积的最大值．
18.本小题分
过圆：上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，的中点为，
证明：直线与的斜率之积为定值；
求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求在点处的切线方程；
Ⅱ若时，恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ当时，若是在的零点，比较与的大小，并证明你的结论．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：某校从甲、乙两组共名学生中随机选出名参加科技展示，其中甲组名、乙组名，每种选法等可能，
从人中选人的等可能选法数为，
恰有人来自甲组的选法数为．
选出的名学生中恰有名来自甲组的概率为．
随机变量表示选出的名学生中来自甲组的人数，则随机变量的可能取值为、、，
则，
，
，
随机变量的分布列为：
．
16.【答案】证明：因为，，所以，
因为平面，，，平面，
所以，，．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间坐标系，
由题意知，，，，，，，
所以，，
所以，即，
又因为，，平面，，
所以平面
17.【答案】解：根据，结合正弦定理得，
去分母、整理得，
结合，又，可得．
记，，则，，
根据，可得，
因为，所以，
化简得，
结合，可得，
即，
化简得，
所以，
可得，当且仅当，即，时取等号，
故，
当时，面积的最大值为．
18.【答案】解：设，，则，
所以，，
又，所以，
即，解得，
又点在圆上，所以，
故动点的轨迹的方程为．
证明：由题可设：，，
联立，消去整理得，
，即，
所以，，
所以，则，
又为的中点，故，
所以直线的斜率，
显然，所以直线的斜率为，
故直线与的斜率之积为定值．
解：由可知，
又点到直线的距离，
所以，
令，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
当时，，符合题意．
故面积的最大值为．

19.【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，，
当时，，从而，
因为，从而，
代入切线方程，化简得，
综上，在点处的切线方程为；
Ⅱ由题意：对任意，，
设，．
则，．
再设，，
则，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，不等式恒成立；
当时，，所以在上单调递增，
从而，所以在上单调递增，
所以，不等式恒成立；
当时，因为，所以在上单调递增，
因为，且，
所以由零点存在定理，存在唯一，使得，因为当时，单调递减，
所以，矛盾
综上，实数的取值范围是．
Ⅲ，证明如下：
当时，因为是在的零点，
即，因此，
要证，即证，
代入，
即证，
即证，
即证，
设，．
则，因为，
所以在上单调递增，从而，
所以，不等式成立，进而原不等式成立，
综上，．
第1页，共1页

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