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2026-2027学年海南省琼海市嘉积中学高三（上）随堂练习
数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为：：现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研，已知从开发区抽取的人数为，则从核心区抽取的人数为( )
A. B. C. D.
4.方程的根所在区间为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是( )
A. B. 为周期函数
C. D. 在上单调递增
10.若，其中，，，，为实数，则( )
A. B.
C. D.
11.一个箱子中装有大小、形状均相同的个小球，其中白球个、黑球个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出个球，第二次再从箱子中随机取出个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某中学每次升国旗仪式由名旗手和名护旗手进行，旗手需要掌握擎旗、展旗等技术，每名护旗手也各有不同的职责现安排甲、乙、丙、丁、戊人升国旗，其中甲和乙能担任旗手或护旗手，其他人只能担任护旗手，则不同的安排方法种数为 ．
13.已知随机变量若，则 ，若，则的方差为 ．
14.已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”已知等差数列的首项为，公差不为，且数列为“吉祥数列”：非零数列满足，，且．
求数列，的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图．
按照分层随机抽样，从和中随机抽取了名学生．现从已抽取的名学生中随机推荐名学生参加体能测试．记推荐的名学生来自的人数为，求的分布列；
由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求精确到．
参考数据：当时，，，．
参考数据：，．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于，两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
若与恰有两个交点，求的取值范围．
当时，，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】

14.【答案】
15.【答案】解：已知等差数列的首项为，公差不为，且数列为“吉祥数列”，
可得为常数，即，
化为，即有，且，解得，，
则；
非零数列满足，，且，
可得数列是等比数列，且公比为，
则；
由，
则数列的前项和
．
16.【答案】解：由频率分布直方图知，
运动时间在内的频率为，人数为；
在内的频率为，人数为．
按分层抽样共抽取人，则在内抽取人，
在内抽取人．
所以这人中来自的有人、来自的有人，从中随机抽取人，
记来自的人数为，则的可能取值为，，，．
，，
，．
所以的分布列为：
由频率分布直方图估计平均数．
因为，，
所以．
由正态曲线的对称性得．
所以或，
即从全体学生中随机抽取人、其运动时间在之外的概率为．
于是，
所以．
17.【答案】解：证明：在中，因为，分别是，的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，，平面，所以，．
因为，所以，，两两垂直．
以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，，，分别是棱，，的中点，
所以，，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则令，则，，所以．
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
由得，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离．
18.【答案】解：依题意得，，解得，
椭圆的方程为；
设直线的方程为，，，
联立方程组可得，，则，即，
，
所在直线与所在直线关于轴对称，
，即，
，
化简得，即直线的方程为，
直线恒过定点．
19.【答案】解：由题意函数，
当时，，，
令，则恒成立，
所以在单调递增，
又，
所以当时，，单调递增．
当时，，单调递减，
即函数在上单调递减，在上单调递增；
，
令，问题转化为有两个零点，
求导，
若，则，单调递增，在上至多有一个零点，不符合题意；
若，令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
所以，
由零点存在定理可得要使有两个零点，则，
当时，，，则；
当，由指数爆炸模型可知，
所以的取值范围为；
当时，，即，整理可得，，
当时显然成立；
当时，分离参数可得，
令，求的最大值即可，
求导，
令分子为，
则，
再令，
则，
所以当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增；
又，
故存在，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
又，，
所以时，，即，单调递增；
时，，即，单调递减，
所以．
所以的取值范围为．
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