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2026-2027学年山东省济南市平阴县高级中学高三（上）阶段测试
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知，是实数，则“且”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知实数，则( )
A. 无最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 无最小值
6.函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.若，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则有关函数的说法正确的是( )
A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为
11.已知定义在上的函数满足，，且为奇函数，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 是一个周期为的周期函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的定义域，则的定义域是 ．
13.已知，且，则的最小值为 ．
14.记函数的最小正周期为若，为的零点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简求值：
；
若角的终边经过点，求的值．
16.本小题分
回答下列问题：
若不等式的解集为，求，的值；
求关于的不等式其中的解集．
17.本小题分
已知函数的最大值为，最小值为．
求和的值；
把的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间．
在的条件下，求在上的值域．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
19.本小题分
对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”．
已知函数．
设函数若，且为“型函数”，求的取值范围；
设函数证明：当，为“型函数”；
若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：
．
角终边过点，
，
则，，
．
16.【答案】解：不等式的解集为，
方程两根为，且，
将代入，得，
，．
不等式可化为，
即，
当时，，不等式的解集为或，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为或，
综上所述，原不等式解集为
当时，或，
当时，，
当时，或
17.【答案】解：因为函数的最大值为，最小值为．
所以，解得．
由得，所以，
由，，得，，
所以的单调递减区间为．
因为，则，
那么，即
则的值域为．
18.【答案】；
的取值范围是
19.【答案】解：时，．
因为为“型函数”，
所以恒成立，即恒成立．
设，则恒成立，
所以在上单调递减，
所以，
所以的取值范围是；
证明：当时，要证为“型函数”，
即证，即证．
令，则，
方法一：当时，，，则；
当时，，，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，又，所以，
所以为“型函数”．
方法二：令，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
以下同方法一．
证明：函数为“型函数”等价于恒成立，
当时，，不合题意；
当时，，不合题意；
当时，
方法一：，
当或时，；
当时，，由知，
所以，
综上，存在唯一整数，使得为“型函数”．
方法二：，，
记，则，
所以在上单调递减．
易得，
所以；
又因为，
所以存在唯一零点，使得，
且为的最大值点，
所以，
注意到在上单调递增，
所以，所以．
综上，存在唯一整数，使得为“型函数”．
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