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2026-2027学年河北省廊坊联衡高级中学高三（上）阶段检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼在同一铅垂面内的楼，，在同一水平直线上，现测得，在楼底点处测得楼的顶点的仰角为，在点处测得楼的顶点的仰角为，则( )
A.
B.
C.
D.
2.若点为直线上任意一点，过点总能作圆的切线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知点为直线上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，轴截面的面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，以边长为的正六边形的六条边为直径向外作六个半圆，是这六个半圆弧上的一动点，则的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，，是，，，的某种排列，集合，，，，且，则这样的有序数对的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，，，，则的面积可以为( )
A. B. C. D.
10.设首项为的数列前项和为，已知，则下列结论正确的是( )
A. 数列为等比数列 B. 数列的前项和
C. 数列的通项公式为 D. 数列为等比数列
11.已知抛物线：的焦点为，的准线与轴的交点为，直线与交于，两点，是上一点，则下列结论正确的是( )
A. 若直线过点，则的准线上存在点使得为钝角
B. 若线段的中点横坐标为，则的最大值为
C. 的最大值为
D. 若四边形为平行四边形，则直线过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.已知数列中，，，则不超过的最大整数是 ．
14.设是等腰直角为直角顶点内的一个动点，已知，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为．
求，的值；
求的值．
16.本小题分
已知正四棱柱中，，，点，分别是棱，的中点，过，，三点的截面为．
作出截面保留作图痕迹；
设截面与平面交于直线，且截面把该正四棱柱分割成两部分，记体积分别为，
(ⅰ)求证：；
(ⅱ)求的值．
17.本小题分
如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点．
在线段上找一点，使得直线平面，并证明你的结论；
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
某果园种植了三个品种的苹果树共计棵，其中品种棵、品种棵、品种棵现在要用随机抽样的方法估计苹果产量，试分析下面的抽样方法属于简单随机抽样还是分层随机抽样：
将每棵树按进行编号，并从这个号码中随机抽取个号码，得到这个号码对应的棵苹果树；
从三个品种的苹果树中分别随机抽取棵、棵、棵．
19.本小题分
某公司对其开发的软件进行测试，拟定让软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为现经过测试得到测试数据，软件答对语文问题的概率为，软件答对数学问题的概率为．
若从该指定题库中随机选取道题让软件回答，且道问题是否答对相互独立，设表示软件回答正确的题数，求的期望；
若从该指定题库中随机选取几道题让软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并规定连续答对题或连续答错题则停止答题，设表示软件回答问题的题数，求．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由点的横坐标为，且，
可得，
结合点在第二象限，可得舍负；
原式
．
16.【答案】解：在正四棱柱中，
连接并延长交的延长线于点，连接交于，连接，
则四边形是过，，三点的平面截正四棱柱的截面，如图：
证明：在正四棱柱中，平面平面，
平面平面，平面平面，
所以．
(ⅱ)由及已知，平面，平面，
由是中点，，得是的中点，又，
则，
，
，
所以．
17.【答案】解：当为中点时，平面，理由如下：
取中点，取中点，连接、、，
所以，，因为四边形是矩形，是的中点，
所以，，
所以，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：因为，
以为坐标原点，，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面，所以平面平面，
，，所以，
则，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
又，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
，．
所以二面角的余弦值为．
18.【答案】解：某果园种植了三个品种的苹果树共计棵，其中品种棵、品种棵、品种棵，
要用随机抽样的方法估计苹果产量，
将每棵树按进行编号，并从这个号码中随机抽取个号码，
得到这个号码对应的棵苹果树，
这种抽样方法是简单随机抽样；
从三个品种的苹果树中分别随机抽取棵、棵、棵，
这种抽样方法是分层随机抽样．
19.【答案】；
．
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