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2026-2027学年湖南省郴州市桂阳县第一中学高三（上）月考
数学试卷（3）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，计算( )
A. B. C. D.
3.已知是公差为的等差数列，是其前项和，若，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
6.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为若此三棱台存在内切球球与棱台各面均相切，则此棱台的表面积是( )
A. B. C. D.
8.将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，用表示没有出现连续三次正面朝上的概率，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，集合，若，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知直线与轴、轴交于，两点，点为圆：上的动点，则( )
A. 直线与圆 相切
B. 若点到直线的距离为，这样的点有个
C. 当 最小时，
D. 的最大值为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则下列结论一定正确的有( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 没有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则此圆锥的表面积为 ．
13.已知椭圆：的上、下焦点分别为，，右顶点为，为锐角三角形且面积为，则椭圆的离心率为 ．
14.设，若对任意，存在，使得在处的切线与在处的切线垂直，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别是内角，，所对的边，且满足，若为边上靠近的三等分点，
，求：
求的值；
求的最大值．
16.本小题分
如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，．
求证：平面；
若平面平面，，且四棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
判断函数极值点的个数；
若函数有两个极值点，，证明：．
18.本小题分
给定正实数和定点，已知，两点分别在轴和轴上运动，且满足，为坐标原点．
求动点的轨迹方程用表示；
过点作直线与点的轨迹交于，两点．
求的最小值；
过点作的垂线与点的轨迹交于，两点，求的取值范围用表示．
19.本小题分
设无穷数列满足：，，且对任意，有．
若，，求数列前项的和；
求证：对任意，有；
求值：；
是否存在正整数，使得对任意，均存在互不相同的，，，，使得请给出证明．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，
利用正弦定理得到，
即，
由余弦定理可得．
作交延长线于，
则，相似比，则，，
，可得，
所以，
所以，可得，
所以，可得，当且仅当时取等号，
所以，
所以，即的最大值为．
16.【答案】证明：因为平面，过的平面交平面于，
所以，又，
所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
因为四边形为菱形，所以，
平面，平面，
所以平面；
，，平面，
所以平面平面，
而平面，所以平面．
解：连接交于，连接，
因为，，所以四边形是菱形，且，，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为四棱锥的体积是，所以，
所以，所以，
所以，
设，则由余弦定理得：，得，
在中，由余弦定理得：，
，
所以，
因为，
所以点到平面的距离为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.【答案】解：的定义域为，，
当时，有一个正根，
则在上单调递减，在上单调递增，此时有个极值点；
当时，有两个不等正根，，记，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时有个极值点；
当时，恒成立，则在上单调递增，此时没有极值点；
证明：若函数有两个极值点，，由可知，
此时的两个不等正根，，满足，，
则
，
令，，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故，即．
18.【答案】解：设点，且点在轴上，点在轴上，
，，，
由，可得，即，
故动点的轨迹方程为；
因为直线与点的轨迹交于，两点，
故直线不与轴重合，可设直线：，
联立化简得，
设，，由韦达定理得，，
，，
，
，
当且仅当，即直线垂直于轴时等号成立，
故的最小值为；
，
而，同理，
，
同理设直线：，有，
，，，
．
19.【答案】解：依题意，若，，
则，，，，，，，
所以数列前项的和为；
证明：依题意，显然可得对任意，有，
若，则，则，
所以；
若，则，则，
所以，
综上，对任意，有，证毕；
令，由可知，
则，，，，
，原式，
又，
，
当时，右边，，，
原式；
存在，证明如下：
将，，，拆成组，第组为，
由题可知，若，有，
则；
若，有，
则，
所以对任意，有
这意味着每组连续三项的和，一定等于本组内某一项的倍，
即可适当选取，使得，
所以，
即，
所以存在，使得等式成立，证毕．
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