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2026-2027学年云南师范大学附属中学高三（上）第七次学科体验
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
2.已知，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.在中，为边的中点，，则( )
A. B. C. D.
4.为检验两个分类变量是否有关，提出零假设：两个分类变量相互独立在成立的条件下，统计量满足该等式表示( )
A. 若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为
B. 若两变量相互独立，则由随机样本算得的小于的概率为
C. 若某次检验得不小于，则两变量相互独立的概率为
D. 若某次检验得不小于，则两变量不相互独立的概率为
5.已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，所对的边分别为，，已知，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则可以是( )
A. B. C. D.
10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是( )
A. 图的平均数中位数众数 B. 图的众数平均数中位数
C. 图的众数中位数平均数 D. 图的中位数平均数众数
11.如图，半圆面平面，是圆的直径，多边形是正六边形，，，分别是弧，线段上的动点均不含端点，，则( )
A. 平面平面 B. 不存在点，，使得
C. 点的运动轨迹长度为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
13.已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为 ．
14.若函数在上恰有个零点，则符合条件的为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求证：数列是等比数列；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
为迎接年北京冬奥会，某校组织一场冰雪运动知识竞赛，规则如下：有，两类问题，每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束，若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分：类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．小明参加了本次冰雪知识竞赛，已知他能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
Ⅰ若小明选择先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
Ⅱ为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
17.本小题分
如图，平行六面体中，底面是边长为的菱形，，．
求平行六面体的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求函数在处的切线方程；
若函数在区间单调递增，求实数的取值范围；
已知函数有个极值点，，，且，证明：．
19.本小题分
已知直线与椭圆：交于，两不同点，且的面积，其中为坐标原点．
Ⅰ证明和均为定值；
Ⅱ设线段的中点为，求的最大值；
Ⅲ椭圆上是否存在点，，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：证明：数列的前项和为，且满足，
可得，
当时，由，可得，
相减可得，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
由等比数列的通项公式可得，，
，
则，
上面两式相减可得，
则．
16.【答案】解：Ⅰ由题意可知：的所有可能值为，，；
；
；
；
所以的分布列为：
Ⅱ由Ⅰ知；
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，；
；
；
；
所以；
，
所以小明应选择先回答问题．
17.【答案】； ．
18.【答案】解：因为的定义域为，
所以求导得，
当时，，，
所以切点为，斜率为，
所以切线方程为．
因为在单调递增，所以，所以，
设，则，
若即，则存在，使得，，
故，总有，矛盾；
故，此时，
设，则，
故在为增函数，故，故此时恒成立，
综上，的取值范围是．
证明：由题意得：，
极值点满足，即，
将代入，等式成立，所以是方程的根，
结合，得，
令，，则极值点满足，
，
，
设，
，在单调递增，，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以在上仅有一个根，所以，
需证，
代入，，可得：，
又因为，所以只需证：，，
令，，
则，
分母，只需证分子小于零，设，
则，，
设，则，
设，则，
设，则，
当时，，当时，，
所以，
所以在上恒成立，故在上单调递增，故，
故在单调递减，故，故在上单调递增，
所以，故在上单调递减，，
故即．
19.【答案】解：Ⅰ当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，
所以，，
在椭圆上，

又，

由得，此时，；
当直线的斜率存在时，是直线的方程为，
将其代入得，
即，
又，，
，
点到直线的距离为，
，
又，
整理得，此时，
；
综上所述，结论成立．
Ⅱ当直线的斜率不存在时，
由Ⅰ知，，
因此．
当直线的斜率存在时，
由Ⅰ知 ，
，
，
所以
．
当且仅当，
即时，等号成立．
综合得的最大值为；
Ⅲ椭圆上不存在三点，，，使得，
证明：假设存在，，，使得
由Ⅰ得
，，；，，
解得；．
因此，，只能从中选取，
，，只能从中选取，
因此点，，，只能在，，，这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾．
所以椭圆上不存在满足条件的三点，，．
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