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2026-2027学年浙江省金华十校高三（上）模拟数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列复数中，属于纯虚数的是( )
A. B. C. D.
3.某正方体的棱长为，则它的内切球体积为( )
A. B. C. D.
4.过点作曲线的切线，则切点的横坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，离心率为，为坐标原点点在上且满足，若平分，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列共有项，其中，且，，记的值为随机变量，则的数学期望为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某市年月中旬连续天的最高气温单位：摄氏度分别为：，，，，，，则这个数据的( )
A. 极差为 B. 众数为
C. 第百分位数为 D. 平均数为
10.三棱柱中，，，点，分别为，的中点，记过直线的平面截三棱锥的外接球所得截面圆面积为下列结论正确的是( )
A. B. 面
C. 线段的长度为 D.
11.在平面中，为坐标原点，单位向量，为一组基底，夹角为定义：
点集；
是以，为邻边的菱形．
已知，，且下列说法中正确的是( )
A. 当时，若为定点，则存在六个满足条件的点
B. 对于任意，且恒成立
C. 边长为的正十边形可以由若干个拼成
D. 用若干个与拼成一个边长为的正八边形，则与的数量之比唯一
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列的前项和为，若，则公差为 ．
13.若是函数的极值点，则 ．
14.已知，为平面直角坐标系中两定点，为动直线：上的一点，且满足对于任意点，，记点形成的轨迹为曲线，若圆心在轴上的圆与曲线有且仅有三个公共点，则该圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，，延长至点，连接．
求的长；
若，求的长．
16.本小题分
如图，三棱锥中，，，，，平面平面．
求证：平面；
若为直线上的动点，求直线与直线所成角的余弦值的最大值．
17.本小题分
某箱子中有个白球和个红球，每次从箱子中取出个小球，观察颜色后放回，同时再放入个同色球，如此操作次，记取到白球的次数为随机变量．
若，求随机变量的分布列；
求．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，为坐标原点，点满足，直线，分别与交于另外的点，记与面积分别为，，四边形面积为．
求抛物线的标准方程；
证明：垂直轴；
当时，求直线的方程．
19.本小题分
对于定义域为的函数，定义，其中，分别表示函数在上的最小值和最大值．
若写出，；
设是以为周期的连续函数，且在区间上递减，在区间上递增，记．
证明：存在唯一的，使得；
对实数，若对任意，三个数，，中至少有一个属于集合，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意得，
即，可得，解得，
在中，由余弦定理得
，解得舍负；
因为，且是三角形内角，
所以，即，
在中，由正弦定理得，
所以．

16.【答案】证明：在中，，，，
由余弦定理知，，
所以，即，
由，知，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
而平面，所以，
又，、平面，
所以平面．
解：以为原点，，所在直线分别为，轴，在平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，，
则，
而，
设直线与直线所成角为，
则，
，
当时，；
当时，，此时当，即时，取得最大值，为，
综上，直线与直线所成角的余弦值的最大值为．
17.【答案】解：某箱子中有个白球和个红球，每次从箱子中取出个小球，
观察颜色后放回，同时再放入个同色球，
如此操作次，记取到白球的次数为随机变量，
当时，的所有取值为，，，
，
，
，
则随机变量的分布列为：
，
表示取到个红球，由上计算得，
则．
18.【答案】解：由题意抛物线的焦点为，即，解得，
因此抛物线的标准方程为；
证明：设，，，，直线：，
由，得，
由，，三点共线，故，即，
抛物线上两点连线的斜率满足，
又点在抛物线上，，因此，
于是，则，
所以，即，
同理可得，
由，即，
所以，两点的横坐标相等，故直线垂直轴；
联立，整理得，则，，
由可得，焦点，，
因此，
由第问结论可知轴，且，，
于是，即，
所在直线横坐标，点横坐标，
因此到直线的水平距离为，
，
，所以，
又，
于是，因此，
根据题设条件，
对四边形进行面积拆分：，
则，
将上式进一步等价变形，等式两边同时加上，
可得，
将面积表达式代入，由，两边约去公因子：
，
即，
解方程，得，
所以直线的方程为．
19.【答案】解：表示在所有包含且长度为的闭区间上，分别求函数的最小值，再取这些最小值中的最大值．
故；．
证明：令，因为连续，所以也连续．
由于在上严格递减，
的周期为和，
由零点存在定理，使得，即．
再证唯一性．从增加到时，严格递减，严格递增，
故方程在上至多有个解．故唯一．
先研究的结构，记．
先证时．
对，，在上严格递增；
对，在区间上严格递减因此，故对，．
另一方面，任取一个包含且长度为的闭区间，由于，故这样的区间必包含端点，中的一个．
故因此．
再证时．
当时，考察长度为的区间，在上由单调性，；
在上，由周期性平移到上，由单调性，，随递减，随递增，时相等
故，结合．
当时，令，考察区间．
在上，；在，平移至，最小值为，而．
综合可得．
以为周期，平移不影响题意．
我们称为“好区间”，的补集为“坏区间”．
题目要求等价于其逆否命题：不存在，使得，，均属于．
Ⅰ若三点同在同一个坏区间内，，要满足题意，须．
Ⅱ若三点跨越两个坏区间，不妨假设，在第一个坏区间，在第二个坏区间．
则且，矛盾
Ⅲ若三点跨越三个坏区间，，要满足题意，需．
综上分析，，即．
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