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高三数学周考卷
20261109
一、单选题（5*8）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知 为虚数单位，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 满足 ，若 ，则数列 的
前 10项和为（ ）
A． B． C． D．
6．记 ， ， 分别是 的内角 A，B，C的对边，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．设 是定义在 上的奇函数，且 ．若 在 上单调递减，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，设 ， ， 则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（3*6）
9．已知函数 ，则（ ）
试卷第 1页（共 3页）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上的值域为 D． 在 上单调递减
10．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则（ ）
A．数列 可以是等比数列 B．数列 是递减数列
C．任意 ， D．
11．已知 是定义在 R上的奇函数，且当 时， ，则（ ）
A． B．当 时，
C． 当且仅当 D． 是 的极大值点
三、填空题（3*5）
12．若函数 是奇函数，则 ______．
13．若函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围是_______
．
14．过点 有三条不同直线与曲线 相切，则满足条件的实数 的一个值为
________．
四、解答题（13+15+15+17+17）
15．已知向量 ， ，函数 ．
(1)求 的单调增区间；
(2)已知 为锐角三角形， ， ， 为 的内角 ， ， 的对边， ，且
，求 面积的取值范围．
16．已知数列 中， ， .
(1)令 ，求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式和它的前 项和 .
试卷第 1页（共 3页）
17．已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 上的最值；
(2)若关于 的方程 有解，求实数 的取值范围.
18．记 为数列 的前 n项和，已知 ， ，数列 满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)记数列 的前 项和为 ，若对任意 ，求实数 的取值范围.
19．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若方程 存在 个不同的实数根 ， ，证明： ．
试卷第 1页（共 3页）
《高三数学周考卷 20261109》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C C A B D AB BCD
题号 11
答案 ABD
8．D【详解】由 ，令 ，则 ，
由 ，故 为偶函数，
当 时， 在 上单调递增，
，
，
因为 ， ，
所以 ，所以 ,
所以 即 .
9．AB
10．BCD
【详解】因为 ，整理有 ，又 ，由此可得 ，
对于 A选项，若 是等比数列，则由 可知 为定值，
又因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
与 矛盾，所以数列 不可以是等比数列，所以 A错误；
对于 B选项，因为 ，所以 ，即数列 为递减数列，所以 B正确；
对于 C，因为 ，且 ，所以 ，
又 为递减数列，所以 ， ，所以 C正确；
对于 D，由 ， ，两边取倒数有 ，
整理有： ，
即 ， ， ， ， ，
累加得：
答案第 1页（共 2页）
，
即 ，又 ，所以 ，
整理得： ，所以 D正确.
故选：BCD
11．ABD【详解】对 A，因为 定义在 上奇函数，则 ，故 A正确；
对 B，当 时， ，则
，故 B正确；
对 C， ， 故 C错误；
对 D，当 时， ，则
，令 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，则 是 极大值点，故 D正确；
故选：ABD.
12． / 13．
【详解】函数定义域 ，
对 求导 ，
令 ，得 ，即 ，
结合 ，解得 ，即 的单调递增区间为 ，
函数 在 内单调递增，则 是 的子集，
故 ，解得 ，则 a的取值范围是 .
14． ( 中的任意实数均可为答案.)
【详解】设 切线切点为 ，则 ，过点
切线方程为：
，
答案第 1页（共 2页）
代入 ，可得 ，为使过点 的切线有三条，
则方程 有三个根，令
.
，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 时取极小值，在 时取极大值，为使方程 有三个根，
则 与 图象有三个交点，从而 .
则取 满足题意.
15．(1)
(2)
【详解】（1）
，
由 ，可得 ，
所以单调增区间为
（2）由 可得 ，
因 ，则 ，故 ，解得 ，
由正弦定理， ，则 ，
于是 的面积
，
因 为锐角三角形，则 ，解得 ，则 ，
故 ，即 面积的取值范围为 .
16．(1)
因为 ， ，所以 ，
再由 ，
答案第 1页（共 2页）
因为 ，所以 ，代入上式得：
，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
(2) ，
【详解】（1）略
（2）由（1）可得： ，
则
.
17．(1)最小值为 ，最大值为 0
(2)
【详解】（1）当 时， .
令 ，则 ， ，函数开口向上，对称轴为 ，
则 时， ；
时， ，
则函数 在 上的最小值为 ，最大值为 0.
（2）由 ，得 ，即 ，
令 ， ，则 ，
因为函数 开口向上，对称轴为 ，且 时， ，
则 时， ，
因为关于 的方程 有解，
所以函数 与 在 上有交点，则 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
18．(1)
答案第 1页（共 2页）
(2)
(3)
【详解】（1）令 ，则 ，
化简得 ，又 ，所以
由题意
于是两式相减可得
化简可得
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 为首项为 3，公差为 2的等差数列.
所以数列 的通项公式为 .
（2）由上可知，当 为奇数时，设 ，则 ，
.
当 为偶数时，设 ，则 ，
所以当 为偶数时, .
（3）由上可知，当 为偶数时，设 ， ,
,即
考虑二次函数 的性质，对称轴在 ，且开口向上，
最接近对称轴的整数为 ，所以当 时,有最小值 ，即 .
当 为奇数时，设 ， .
，化简得
考虑二次函数 的性质，对称轴在 ，且开口向上
最接近对称轴的整数为 ，所以当 时有最小值 .即 .
综上所述，
答案第 1页（共 2页）
19．(1)
(2)不妨设 ， 的定义域为 ， .
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， , 在 上单调递增.
所以 在 处取得最小值 ，且 .
当 时， ，所以 ，当 时, .
若 ，则 至多有一个实数根；
若 ，则只有 一个实数根.
这与方程有两个不同的实数根矛盾，所以 .
又 ，而 时， ，所以两个根都在 内，
结合两段上的单调性，得 ， .
因为 ，所以 ， .
于是 ，所以 .
又 ，所以 ，即 .
设 ， ，则 .
当 时， ；
当 时， .
所以 在 处取得最小值 ，即 .
因此对任意 ，都有 .
由 得 ，即 .
又 ，所以 .
所以 .
【详解】（1） 的定义域为 ， .
所以 ，所以切线的斜率为 .
答案第 1页（共 2页）
由点斜式得切线方程为 ，即 .
（2）略.
答案第 1页（共 2页）

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