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2026-2027学年山东省实验中学高三（上）第二次诊断性
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某登山景区共有条不同的登山路径，若游客从任意一条路径上山，从其余的路径下山，则不同的上下山方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.定义一种运算：设集合，，则( )
A. 或 B.
C. 或 D.
3.已知复数，则( )
A. B. C. D.
4.已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.设函数、、是常数，，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和存在最大值，，，且当时，取得最大值若使得成立的的最大值为，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，均为正实数，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于回归分析，下列结论中正确的是( )
A. 若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
B. 残差图中，残差点比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄，表示模型拟合效果越好
C. 若回归直线的斜率估计值为，且样本点的中心为，则回归直线方程为
D. 以模型去拟合一组数据时，令，得到线性回归方程为，则，的值分别是和
10.如图所示，在边长为的等边三角形中，，为半圆圆心，点在以为直径的半圆上含，两点，若，则( )
A.
B.
C. 的取值范围是
D. 的最大值为
11.设集合，，从到的函数：，其中，则( )
A. 函数的值域为
B. 是方程的解
C. 曲线是轴对称图形
D. 是函数的极小值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角为锐角，且，则 ．
13.若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ．
14.已知数列的前项和为，且，若，则正整数的所有可能取值的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列满足，，，等差数列满足，，．
求和的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
求的值；
设边上的中点为，记，求的最大值．
17.本小题分
甲、乙两人参加科普知识抢答赛，每道题两人抢到答题权的概率均为；抢到答题权者答对则自己得分，答错则对方得分已知甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且各题答题结果相互独立比赛规定：当其中一人得分领先另一人分，或答满道题时，比赛立即结束．
求答完第道题后甲得分的概率；
求答完前道题后，甲的得分恰好比乙多分的概率；
设比赛结束时两人的答题总个数为，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知函数，函数．
求曲线过原点的切线方程；
讨论函数的极值；
定义表示，中的最小值已知函数，若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
将编号为，，，的张卡片随机放入编号为，，，的个盒子中，每个盒子恰好放一张若卡片编号与所在盒子的编号相同，则称该位置为匹配位；不存在匹配位的放法称为全错位放法，记张卡片的全错位放法总数为，例如，．
当时，求，并求此时随机放置卡片恰好为全错位的概率；
求证：对任意整数，有，并求数列的通项公式；
证明：对任意正整数，恒为奇数．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：根据题意，数列是等比数列，设其公比为，
由于，，则，则，
又由，则，
故，
数列是等差数列，设其公差为，
若，，
即，解可得，
则，
故，
．
16.【答案】解：由，结合正弦定理得，
在中，，
所以，整理得，
即，结合、为三角形的内角，可得，故；
由得，故AC，
若，则，
在中，由正弦定理得，即，
结合，化简得，即，
可得，
所以
，
因为为锐角，、均为正数，
所以，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为，结合为锐角，可得的最大值为．

17.【答案】解：根据题意，记“答完第道题后甲得分”为事件，
答完第道题后甲得分，有种情况，
甲抢到答题权并且回答正确，其概率，
乙抢到答题权并且回答错误，其概率，
故；
根据题意，各题答题结果相互独立，且答完第道题后甲得分的概率为，
则回答每道题目时，甲得分的概率均为，则乙得分的概率为，
每次答题，甲得分为事件，乙得分为事件，答完前道题后，甲的得分恰好比乙多分为事件，
则，
则；
根据题意，比赛结束时两人的答题总个数为，则可取的值为、、，
每次答题，甲得分为事件，乙得分为事件，
若，即一共答了道题目，为事件，则，
若，即一共答了道题目，为事件，则，
则，
故的分布列为


．
18.【答案】解：对求导，
得，设切点为，
则切线方程为，
将代入得或，
当时，切线方程为；
当时，切线斜率为，切线方程为；
综上，切线方程为或；
的定义域为，求导得，
当时，恒成立，在上单调递减，无极值；
当时，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故的极小值为，无极大值；
令，解得，
即在上仅有个零点，且恒成立，
要使在上恰有个零点，
需在上有个不为的零点，
由知，当时，最多有个零点，不符合要求，
故，且需满足的最小值，解得，
此时，时，，时，，
故在和上各有个零点，共个零点，符合要求；
综上，的取值范围是．
19.【答案】解：由题意，全错位放法数为总放法减去至少有个匹配位的放法，
即，
张卡片总放法共种，
故全错位的概率为；
证明：考虑编号为的卡片，它可放入除第个盒子外的任意一个盒子，共种选择，
不妨设它放入第个盒子，此时分两类：
若编号为的卡片恰好放入第个盒子：
剩余张卡片构成个元素的全错位，共种放法；
若编号为的卡片不放入第个盒子：
可将第个盒子视为第张卡片的“新位置”，
剩余张卡片构成个元素的全错位，共种放法；
由计数原理得：，
令，代入递推式得：，
，，
由累乘法，结合，，得：，
再由累加法得：，故；
证明：当时，为奇数，结论成立；
假设当时，为奇数，
则当时，，
由递推得，
因为为偶数，所以为偶数；
结合归纳假设为奇数，得为奇数；
又为奇数，奇数乘奇数仍为奇数，所以为奇数；
综上，对任意正整数，恒为奇数．
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