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2026-2027学年北京市十一学校高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B.
C. ， D. ，
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则下列关于函数的说法正确的是( )
A. 为奇函数且在上为增函数 B. 为偶函数且在上为增函数
C. 为奇函数且在上为减函数 D. 为偶函数且在上为减函数
5.若，，分别为的三个内角，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在正项等比数列中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和点是直线上一个动点，过点作，点、在线段上运动包括端点且，若的面积为则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
9.某考古团队利用古木中一种有机成分的含量估算其死亡年代古木死亡后，该成分含量每经过年减少检测系统先将样本产生的信号放大，再记录输出信号强度在放大倍数一定时，输出信号强度与该成分含量成正比年，团队检测一个该成分含量等于初始含量的标准样本；此后三年中，系统每年升级一次，每次将信号放大倍数提高年，检测某古木样本，输出信号强度与年的标准样本输出的信号强度相同若两种样本的初始含量相同，则该古木的死亡年代属于参考数据：，
春秋战国 秦汉时期 魏晋南北朝 隋唐时期
公元前年
至公元前年 公元前年
至公元年 公元年
至公元年 公元年
至公元年
A. 春秋战国 B. 秦汉时期 C. 魏晋南北朝 D. 隋唐时期
10.已知数列满足，，其前项和为则下列结论错误的是( )
A. 对任意符合条件的数列，都有
B. 对任意正整数，都存在符合条件的数列，使是该数列中的某一项
C. 存在符合条件的数列，使有无穷多项为的非负整数次幂
D. 存在符合条件的数列，使从某项起均为的倍数
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.某正方形网格纸是由个边长为的小正方形构成，点，，，的位置如图所示，动点在正方形网格纸内包含边界，记当时， ；当时，若动点在小正方形的顶点上，则满足的点的个数为 ．
13.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且，，依次成等差数列，则的面积为 ．
14.如图，函数点是其图象在原点左侧与轴最近的交点，点是其图象在原点右侧与的第二个交点，点是其图象在原点右侧的第一个最低点，若，则 ．
15.已知函数，其中，其定义域为给出下列四个命题：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
恰有两个零点的充要条件是；
当时，存在实数，使方程的四个不同实数解按从小到大排列后成等差数列；
当时，函数的图象上恰有一对关于原点对称的点．
其中所有正确命题的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知等差数列的公差为，首项为正数将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序排列为等比数列的前项．
求数列与的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，且在上单调，从以下三个条件中选择一个，作为补充条件完成解答．
的最大值为；
函数在区间上的最小值为；
的图象关于直线对称．
求函数的单调增区间．
已知，且，求的最小值．
18.本小题分
已知函数，，其中，．
当时，已知是函数的极值点，求的值；
当时，若存在，使得，求的取值范围．
19.本小题分
第届世界大学生夏季运动会，是继年北京大运会、年深圳大运会之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会，也是中国西部第一次举办世界性综合运动会．共设篮球、排球、田径、游泳等个体育项目．届时将有来自约个国家和地区的万余名运动员及官员赴蓉参加．现某学校决定将一个直角三角形的空地划分为多个部分，为该校运动员打造一个训练场地．已知直角中，，，经过全校海选后，现有以下两种设计方案：如图，在内部取一点，使得，；如图，在斜边上，取两点，，且．
Ⅰ求方案中折线跑道，，的长度之和；
Ⅱ求方案中训练场地的面积的取值范围．
20.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求方程的解的个数；
证明：曲线上存在唯一的两点，，使得以原点为直角顶点，且斜边中点在轴上当时，求面积的最大值．
21.本小题分
给定整数，数列，，，是，，，的一个排列若互不相同，则称该数列具有性质．
判断以下数列是否具有性质，并说明理由；
：，，，，，；
：，，，，，
若数列具有性质，且，求；
从，，，中删去一个数，将剩余的数排成数列，，，记若互不相同，求的所有可能取值，并求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】

13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：根据题意，设等差数列的首项为，公差，
则的前项依次为，，，．
由数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序排列为等比数列的前项，分种情况讨论：
若抽去第项，剩余，，为等比数列，则有，
变形可得，即，明显错误，舍去；
若抽去第项，剩余，，为等比数列，则有，
变形可得，解得，符合条件；
若抽去第项，剩余，，为等比数列，则有，
变形可得，解得，不符合首项为正数的条件，舍去；
若抽去第项，剩余，，为等比数列，则有，
变形可得，即，明显错误，舍去．
因此，故，
此时等比数列的前项为，，，公比，
因此．
综上，，；
根据题意，．
则，
因此是首项，公差为的等差数列．
所以．
17.【答案】解：
．
选择条件：的振幅为．
因为的最大值为，所以，解得．
若，，
当时，，正弦函数在该区间不单调，舍去；
若，则，
当时，，正弦函数在该区间单调递增，符合要求，
故．
选择条件：，其中，．
最小正周期，则，均为半个周期．
函数在上单调，的振幅为．
若在区间上的最小值为，则或．
当时，，此时，
当时，，正弦函数在该区间单调递增，符合要求．
当时，，则，
此时，
当时，，正弦函数在该区间不单调，舍去．
故．
选择条件：的振幅为．
若的图象关于直线对称，则为最值．
又，
所以，整理得，即，解得．
所以．
令，，解得，，
故函数的单调增区间为，．
由得，即，
所以，，整理得或，，
相邻两个解的最小差值为，故的最小值为．
18.【答案】解：当时，，定义域为，
可得，
由，可得，解得或，
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
故不是函数的极值点，不符合题意；
当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故是函数的极小值点，符合题意；
综上所述，；
当时，，，
当时，由得，
化简得，
令，
当时，即，使，
等价于存在，使得，
可得，
令，可得，解得或，
因为，所以舍去，
当时，，所以当时，即时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时，
可知，所以，即，
则，所以无解；
当时，即时，当时，，在上单调递减，
此时，解得，
可知，可得，
综上所述，的取值范围为．
19.【答案】解：Ⅰ，，，
，
又，，
，，
，
，
故跑道，，的长度之和为米．
Ⅱ设，则，
由Ⅰ得：，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，故，
，
故训练场地面积的取值范围是
20.【答案】解：当时，，得，即切点为，
，，故切线的斜率为，
因此在点处的切线方程为，整理得．
由，，，得，
整理得，所以，
令，
原方程解的个数等价于直线与函数图象的交点个数．
，
令，，
令，则，
那么，当且仅当时取等号，
因此时，，故在上单调递增，
又，，，
因此存在唯一使，
当，，单调递增，当，，单调递减，
因此当时，取得最小值为，
将两边同时平方得，
展开得，
故，
因为，开方得，
所以，
，令，方程化为，即，
解得正根，因此，
现在只需证明，
构造函数，，
因此在上严格单调递减，故，
即对任意，恒有，令，代入得，
因此，
故时，即，
令，，故在上单调递增，
又，，故时，结合，得，
因此对所有成立，即在上严格单调递增．
当时，，，故；
当时，增长远快于，故；
结合严格单调递增，可知的值域为，
因此对任意，直线与的图象有且仅有个交点，
即原方程在时有且仅有个解．
证明：因为斜边的中点在轴上，故，两点横坐标互为相反数，不妨设，，其中不计，的次序，
由于以原点为直角顶点，故，即，
代入坐标得，
整理得，，
因此乘积为，
将上式代入得，
由，可知，，两边均为正数，开方得，
整理得，
令，
由第问已证在上严格单调递增，且值域为，
因此对任意，存在唯一的正实数满足，
对应唯一一对点，，
即曲线上存在唯一一对点，不计，的次序满足条件．
设斜边的中点为，由斜边中点在轴上，可知点在轴上，
根据中点坐标公式，、的中点坐标为，
将分割为和两部分，
两个三角形共享底边，因，均为正，
点到轴直线所在直线的水平距离为，
点到轴的水平距离也为，，，
因此的总面积为，
，
代入面积公式得，
，得，
代入得面积关于的函数，
，
当时，且，故第一项；
且，故第二项，
因此对所有恒成立，即在上严格单调递增，
已知，且，严格递增，
代入得，
由结合单调性，得，
因为严格单调递增，故面积在处取得最大值，
综上，曲线上存在唯一一对点，不计，的次序满足条件；
当时，面积的最大值为．
21.【答案】解：中数列具有性质，中数列不具有性质，理由如下：
对于中数列有，，，，，，
且，，，，互不相等，中数列具有性质；
对于中数列有，，中数列不具有性质．
数列，，，是，，，的一个排列，
若互不相同，
则是个互不相同的正整数，且均不超过，
这些数恰为，，，，
，
又，，，是，，，的一个排列，，
对于，，，，由绝对值不等式可得，
将上述不等式逐项相加，结合前两式及，
得，
，，．
数列，，，由，，，删去后排列而成，且，
是个互不相同的正整数，且均不超过，
这些数恰为，，，，从而，
整数与其绝对值的奇偶性相同，并且，
为偶数，
由前面相邻差的和式知是偶数，而是奇数，因此是偶数，
记，，，，，
，，
由，结合前两式及，得，
解得，
的最大值不超过．
对，取、，并定义
令，，并令，，．
即所构造的数列为，，，，，，，，，．
其中，，，全部出现一次，，，恰为，，中除去后的所有整数，
因此这是从，，，中删去得到的一个排列．
下面核对各相邻差的绝对值．
对于，，，，有，．
当时，这两个差依次为，，
随着从取到，它们恰好取遍，，，．
当时，这两个差依次为，，
它们恰好取遍，，，；
当时，这一部分为空．
此外，数列末尾及首尾相接的两个差为，．
综上，所有个相邻差的绝对值恰好为，，，，互不相同，满足题意．
因此对每个正偶数，均可取到．
综上，的所有可能取值为为正整数，的最大值为．
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