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2026-2027学年上海市向明中学高三（上）学科检测
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数的定义域集合为，值域集合为，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，则数列( )
A. B. C. D.
3.已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，，对任意实数，都有，成立．若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线的准线方程为 ．
6.已知直线：，：，若，则实数的值为 ．
7.已知复数满足其中为虚数单位，则 ．
8.函数的定义域是 ．
9.展开式中的系数为 用数字作答．
10.已知、两人同时射击目标、是否射中之间相互独立，已知射中的概率为，射中的概率为，则至少有一人击中目标的概率是 ．
11.已知，的最小值为 ．
12.已知圆锥的侧面积为，底面半径为，则该圆锥的体积是 ．
13.已知，为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率 ．
14.在平行四边形中，，，为的中点．若，则的长为 ．
15.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为，宽均为点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为为了使，则、两点间距离为 精确到
16.如图，在棱长为的正方体中，是它的一条体对角线将底面对角线绕直线旋转一周，则所扫过区域的面积为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，三棱锥中，点在上，，，．
证明：；
若，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
若．
若过，解方程；
若存在使得、、成等差数列，求的取值范围．
19.本小题分
为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，学校统计了甲、乙两组学生的阅读量单位：本，统计结果用茎叶图记录如图所示十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”．
分别写出甲、乙两组阅读量的第百分位数；
从甲、乙两组学生中随机抽取人，求其中恰有人的阅读量超过本的概率；
为使两组人数相同，在甲组中增加一名阅读量为的组员，若加入后甲组阅读量的均值增大，但方差没有增大，求的所有可能取值．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知曲线：，点、分别为上不同的两点，．
求所在椭圆的离心率；
若，在轴上，若到直线的距离为，求的坐标；
是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
三个互不相同的函数，与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”．
设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求所有的二次函数用表示；
若，且存在实数，，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，且，，平面，
所以平面，
因为平面，所以
18.【答案】；

19.【答案】甲，，乙 ，，，，，
20.【答案】解：因为椭圆的方程为，
所以，
则椭圆的离心率为；
若到直线的距离为，
可得以为圆心，为半径的圆与过的直线相切，
且切线与有交点，
显然切线斜率存在，
设切线为，
此时，
整理得，
解得或，
当时，切线方程为，
联立，
解得或，
即，满足题意；
当时，切线方程为，
同理得或，
即，不满足题意；
综上所述，；
易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
，
所以且，
可得，
当时，且，
则，
此时，满足题意；
当，
易知的中点为，
又，
所以，
即，
因为，
，
所以，
即，
解得，
此时，
所以，
解得．
综上所述，．

21.【答案】解：因为恒成立，且恒成立，
所以恒成立，
故是与在区间上的“分割函数”．
又因为，当与时，其值分别为与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在区间上的“分割函数”．
因二次函数是与在上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立，由，
当时，，可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为．
关于函数，令，可得，
当与时，；
当与时，，
可知是函数极小值点，是极大值点，
该函数与的图象如图所示．
由为与在区间上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标，此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，，
则由可得，
所以
，
令，
仅当时，，
所以严格减，故的最大值为，可知的最大值为，
所以的最大值为．

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