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第5章一次函数单元测试卷
一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高．这个过程中自变量和常量分别是（　　）
A．水的质量，食盐水的浓度 B．水的质量，食盐水的质量
C．食盐水的质量，食盐的质量 D．食盐的质量，水的质量
2．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．一次函数（是常数，）一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第一、四象限 D．第三、四象限
4．直线与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
5．要从直线得到直线，就要把直线（　　）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
6．已知一次函数，下列描述该函数的四个结论中，错误的是（　　）
A．函数图象必经过 B．y的值随着x值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限 D．当时，
7．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（　　）
A． B． C． D．
9．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
10．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．一次函数的图象与轴的交点坐标是 ．
12．已知是一次函数，则的值为 ．
13．同一温度的华氏度数与摄氏度数之间的函数关系是．如果某一温度的摄氏度数是，那么它的华氏度数是 ．
14．若点在一次函数的图象上，则的大小关系是 ．
15．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ．
16．平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ．
三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求这个一次函数的关系式；
（2）试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由．
18．（6分）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米．
（1）写出关于的函数表达式；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）求当时所对应的函数值；
19．（8分）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示：
人次 180 220 325 356 420 …
元 360 440 650 712 840 …
（1）表中的自变量为___________，因变量为___________；
（2）已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润）
20．（8分）已知一次函数的图象经过点和点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象；
（3）当时，求出y的取值范围．
21．（10分）随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：
收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元）
A 12 40 0.5
B m n 0.6
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为
（1）如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填： ； ．
（2）求出与之间的函数关系式 ．
（3）如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标．
23．（12分）根据以下信息，探索完成任务：
素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元
素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人．
素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍．
问题解决：
（1）每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？
（2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．
（3）若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？
24．（12分）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标．
数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题．
①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值．
②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小．
③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论．
第1页（共1页）第5章一次函数单元测试卷
一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高．这个过程中自变量和常量分别是（　　）
A．水的质量，食盐水的浓度 B．水的质量，食盐水的质量
C．食盐水的质量，食盐的质量 D．食盐的质量，水的质量
【答案】D
【分析】此题考查的是常量与变量的概念，掌握其概念是解决此题的关键．根据对浓度的认识解答本题，水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可．
【详解】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度．
故选：D．
2．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. 是正比例函数，是一次函数，不符合题意；
B. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意；
C. 不是正比例函数，是一次函数，符合题意；
D. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意；
故选：C．
3．一次函数（是常数，）一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【分析】此题考查一次函数的图象的性质，根据题意可得一次函数的图象与轴交于点，位于轴正半轴，且无论 或 ，图象都会经过第一和第二象限．
【详解】解：一次函数中，，
∴ 函数图象与轴交于点，位于轴正半轴，
当时，图象经过第一、二、三象限，
当时，图象经过第一、二、四象限，
∴ 无论为何值（），函数图象一定经过第一、二象限．
故选：A．
4．直线与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】C
【分析】此题考查了一次函数平移中两直线的位置关系，根据，，，
即可判定位置关系，解题的关键是正确理解直线平行时的值相等．
【详解】∵，，
∴直线与直线两直线平行，
故选：．
5．要从直线得到直线，就要把直线（　　）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．先将一次函数的解析式整理为，再根据平移的规律“上加下减，左加右减”，即可求解．
【详解】解：∵将一次函数的解析式整理，得，
将一次函数向下平移个单位，平移后的一次函数的解析式为；
将一次函数向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式为，
故一次函数向下平移个单位或向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式均为．
故选：D．
6．已知一次函数，下列描述该函数的四个结论中，错误的是（　　）
A．函数图象必经过 B．y的值随着x值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限 D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
根据一次函数图象的性质，逐项判断即可．
【详解】解：一次函数为，
选项A、当时，，图象经过点，故A正确；
选项B、斜率，所以随的增大而减小，故B正确；
选项C、，，∴图象经过第一、二、四象限，故C正确；
选项D、当时，；当时，，故D错误；
综上，错误的是D．
故选：D．
7．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项．
【详解】解：点在函数图象上，代入得：
∵，
∴，即，
∵，即，
∴
∴，．
故选：A ．
8．已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键．
根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解．
【详解】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，，
∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线（为常数）中，当时，，当时，，
∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为，
∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，
∴，，
解得，，
故选：C ．
9．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式是解题的关键．
先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关系式并确定时间范围．
【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为秒，得乙跑步所用时间为秒，则甲跑的路程为米，乙跑的路程为米．
由题意可得．
当乙追上甲时，，即，
解得；
当乙刚要出发时，
，所以的取值范围是．
所以甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（），
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标．
【详解】解：当时，，
所以点的坐标为．
当时，，
所以点的坐标为．
同理可得，，，，，，，
所以，，，（为自然数）．
因为，
所以点的坐标为，即．
故选：C．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．一次函数的图象与轴的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象．
将代入计算即可．
【详解】解：将代入得，
即，
∴一次函数的图象与轴的交点坐标是，
故答案为：．
12．已知是一次函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如 的函数叫做一次函数；由题意得：且，据此即可求解；
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：
13．同一温度的华氏度数与摄氏度数之间的函数关系是．如果某一温度的摄氏度数是，那么它的华氏度数是 ．
【答案】77
【分析】本题主要考查了求函数值．把代入计算即可．
【详解】解：当时，，
即它的华氏度数是．
故答案为：77
14．若点在一次函数的图象上，则的大小关系是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查一次函的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键．
根据题意判断出函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵一次函数，
∴，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
15．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．分别令和可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，可求得答案．
【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，
在中，令，可得，
令，可得，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
整理可得，
∴或，
故答案为：2或．
16．平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论．
【详解】解：，
直线经过点，
如图，
当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得；
当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
则，解得；
当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，
则，解得；
直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
因此，当 且 时，区域中只有四个整点．
故答案为 且 ．
三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求这个一次函数的关系式；
（2）试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由．
【答案】（1）
（2）点在一次函数的图象上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键．
（1）利用待定系数法，将点，代入一次函数，解方程组求和即可；
（2）将点的横坐标代入函数解析式，计算值，与点的纵坐标比较即可判断．
【详解】（1）解：设一次函数关系式为，
把，代入得：
，解得，
这个一次函数的关系式为；
（2）解：点在一次函数的图象上，理由如下：
当时，，
点在一次函数的图象上．
18．（6分）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米．
（1）写出关于的函数表达式；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）求当时所对应的函数值；
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小．
（1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解；
（2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解；
（3）把x的值代入函数关系式计算即可得解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
整理得，，
即关于的函数表达式为；
（2）解：因为宽为米，长为米，
所以，
所以，
解得，
所以自变量的取值范围为；
（3）解：当时，．
19．（8分）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示：
人次 180 220 325 356 420 …
元 360 440 650 712 840 …
（1）表中的自变量为___________，因变量为___________；
（2）已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润）
【答案】（1）每周乘坐9路公交车的人次；9路公交车每周的收入
（2）每周需要有900人次乘坐该路公交车
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，找准两个变量之间的关系，是解题的关键：
（1）直接根据表格进行作答即可；
（2）由表格可知，每人次乘坐的票价为2元，根据收入支出利润，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，公交车每周的收入随着乘坐人次的变化而变化，
故自变量为：每周乘坐9路公交车的人次，因变量为：9路公交车每周的收入；
（2）由表格可知，每人次乘坐的票价为元，
由题意，得：，
解得：；
答：每周需要有900人次乘坐该路公交车．
20．（8分）已知一次函数的图象经过点和点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象；
（3）当时，求出y的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析
（3）
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据待定系数法可进行求解；
（2）根据描点、连线可进行作图；
（3）根据（2）中函数图象可进行求解．
【详解】（1）解：将点和点分别代入上式，得：，
解之，得：，
∴这个函数解析式为：；
（2）解：所作函数图象如下：
（3）解：当时，；当时，，结合（2）中函数图象可知：
∴y的取值范围是：．
21．（10分）随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：
收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元）
A 12 40 0.5
B m n 0.6
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为
（1）如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填： ； ．
（2）求出与之间的函数关系式 ．
（3）如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？
【答案】（1）10，50
（2）
（3）如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由见解析
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察函数图象，即可作答．
（2）先求出方案B的超时费元，再结合函数图象的信息进行列式化简，即可作答．
（3）分别算出当每月上网时间60小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答．
【详解】（1）解：由函数图象可知，，，
故答案为：10，50；
（2）解：由图象知：，，超时费（元/h）；
当时，，
故答案为：；
（3）解：如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下：
依题意，当时，，
，
∵，
∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为（2）（3）或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法．
（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可；
（3）设点，求出，，根据题意得到，求解即可．
【详解】（1）解：∵直线：与相交于点，
∴，
解得，
∴，
设直线的表达式为，
把点，代入得：
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴直线与y轴的交点D的坐标为，
∴，
当时，，，
∴直线与x轴的交点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：设点，则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得或，
∴点M的坐标为或．
23．（12分）根据以下信息，探索完成任务：
素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元
素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人．
素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍．
问题解决：
（1）每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？
（2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．
（3）若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？
【答案】（1）每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人
（2）当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元
（3）该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，二元一次方程的应用
（1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据素材2列二元一次方程组求解即可；
（2）由素材3求出a的取值范围，求出总租金的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可；
（3）设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生，根据题意列出二元一次方程，得到，结合题意得到或，求出n的值，进而判断是否符合n为整数且即可．
【详解】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，
由素材2得：，
解得：，
∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人；
（2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
由素材3得：，
，
，
，
∵a为整数，
∴，
总租金，
∵，R随a增大而增大，
∴当时，R最小，
此时B型车数量为辆，
（元），
∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元；
（3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生，
由题意：，
，
∵n为整数，且（B型车最多搭载20人），
∴为整数，是23的因数，
∵23为质数，
∴或，
即或，
当时，，不合理，
当时，，合理，
学生数，
∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动．
24．（12分）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标．
数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题．
①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值．
②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小．
③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）①证明见解析，定值为-1；②当时，；当时，；当时，；③当时，
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键．
（1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可；
（2）①联立解析式，求出的值，根据，均不为0，且，得到为定值即可；
②令，则，得；令，则得；
③两解析式相加得），即时，不论，如何取值，．
【详解】解：（1）选择（Ⅰ）时函数和的图象的交点坐标是；
选择（Ⅱ）时函数和的图象的交点坐标是；
选择（Ⅲ）时函数和的图象的交点坐标是．
（2）①由题意，得，
所以，
因为，
所以．
所以不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．
②由题意，得，
因为，所以，
所以当时，，；
当时，，；
当时，，．
③当时，．
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