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2026-2027学年上海师范大学附属中学高三（上）10月月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，最小正周期是的是( )
A. B. C. D.
2.若是定义在上的函数，则“是增函数”是“对任意，恒成立”的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
3.若函数是偶函数且，则有序实数对有组．
A. B. C. D. 无数
4.已知实数、、、、、同时满足：，，；；，则下列选项中恒成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设函数的导函数为，若，则 ．
6.若，，，则 ．
7.在中，若，，，则面积 ．
8.扇形的面积可以用其半径、周长表示为 ．
9.函数的驻点为 ．
10.若向量与平行，则 ．
11.若关于的方程在内有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
12.若对任意，总是存在，使成立，则正实数的取值范围是 ．
13.若对任意的，总是存在唯一的，使成立，则实数的取值范围是 ．
14.若函数在上严格增，在上严格减，则正实数的值是 ．
15.若函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
16.若关于的不等式的解集中有且仅有两个整数，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，已知，判断的形状；
在中，已知，求的值．
18.本小题分
已知是定义在上的周期为的奇函数，当时，．
求当时，的解析式；
求在上的值域．
19.本小题分
在矩形中，，，动点、分别在线段、上，线段恰与以为圆心、为半径的圆相切，设．
用表示与的长，并求的取值范围；
求梯形面积的最小值．
20.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
当时，画曲线的大致图像，判断该曲线的斜率为的切线有几条；
就实数的不同取值，讨论函数的严格增区间．
21.本小题分
设是定义在上的函数定义性质：若对任意，，当时，，则称函数具有“性质”．
判断函数是否具有“性质”；
若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；
已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】，
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：由正弦定理及已知条件，得：，
因为，
所以，
代入上式得：，
移项得：，
即，
因为，，
所以，
即，
所以为等腰三角形．
由正弦定理及已知条件，得：，
因为，
所以，
移项合并同类项得：，
所以，
即，
所以．
18.【答案】解：是定义在上的周期为的奇函数，则且，
则有，
同时，，
则有，，
当，则有，故，
又由是定义在上的周期为的奇函数，则，
则，
综合可得：；
根据题意，当时，，
设，易得，
则，则，
又由，则，
又由为奇函数，则时，有，
又由，
则上，的值域为，
而是周期为的周期函数，
故的值域为
19.【答案】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
以为圆心、为半径的四分之一圆方程为，
设切点处半径与轴正方向的夹角为，切点为，
由，得，
化简可得，
因为，在轴正方向上，所以与轴正方向的夹角为，
又点在直线上，其纵坐标为，
于是在由，，构成的直角三角形中，，
切线与交于点，令得，，故，
切线与交于点，
令，得，于是，
即，
由于，均为锐角，故，
代入的表达式，得，
由点在线段上，得，即，，
由切点在第一象限的四分之一圆弧上，得，
即，，
由，得，
再与取交集，故的取值范围为；
在梯形中，与为两底，高为，
所以其面积，
令，由，得，，，
于是，
由基本不等式，，当且仅当，即时取等号，
此时，落在内，满足条件，故．
20.【答案】解：当时，，
所以求导得，
令，即，
因为对于任意实数，都有，所以只需，解得或，
当时，，，则，函数单调递增；
当时，，，则，函数单调递减；
当时，，，则，函数单调递增，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，
极大值为，极小值为，
所以函数的极大值为，极小值为；
曲线的斜率为的切线有几条方程有几个实数根，
由知，，则方程为：，
因为，等式两边同乘并移项，得：，
构造新函数并求导令，则原问题转化为求函数的零点个数，
求导得，因为和在上均单调递增，
所以在上单调递增．
令，即，观察可知，当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以在处取得最小值，最小值为，
又因为，且，
根据零点存在性定理，函数在区间和内各有一个零点．
结合的单调性可知，共有个零点，
因此，方程有个实数根，即该曲线的斜率为的切线有条．
因为，
所以求导得，
令，得，
因为恒成立，所以不等式等价于，即，
当时，不等式化为，解得，此时的严格增区间为；
当时，二次函数的图象开口向上，对应方程的两根为，，
若，则，解不等式，得，
此时的严格增区间为；
若，则，不等式化为，无解，此时无严格增区间；
若，则，解不等式，得，
此时的严格增区间为；
当时，二次函数的图象开口向下，对应方程的两根为，，
因为，所以，解不等式，得或，
此时的严格增区间为和．
综上，当时，的严格增区间为和；
当时，的严格增区间为；
当时，的严格增区间为；
当时，无严格增区间；
当时，的严格增区间为．
21.【答案】不具有性质 ， 先证充分性：不妨设，由于函数在上为严格增函数，
所以得，
又因为且，
所以得到，所以函数具有性质，
再证必要性：利用反证法，假设函数不是偶函数，
则存在，使得，
不妨设，由于函数在上为严格增函数，
则存在，使得，
因为，所以，
由于函数具有性质，所以得到，
可见不能同时成立，所以矛盾，
原假设不成立，函数为偶函数，
当时，同理可证，
综上所述：函数具有性质的充要条件是为偶函数
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