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同步探究学案
课题 31.2.2 三角形相似的判定 （第1课时） 单元 第三十一章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．掌握“两角分别相等的两个三角形相似”． 2．掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”． 3．会运用判定定理证明三角形相似；知道两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似．
重点 判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”及其运用．
难点 两个判定定理的证明中构造桥梁三角形的思路．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1：判定两个三角形全等有哪些方法？ 问题2：我们已学过哪个与平行线有关的相似定理？
新知探究 本节课来研究： 本节我们类比判定三角形全等的研究思路，研究三角形相似的判定。 探究1：直观上，如果保持一个三角形三个角的大小不变，改变这个三角形的大小，那么这个三角形的形状不变，得到的三角形与原三角形相似．由此你能得到三角形相似的判定方法吗？证明你的结论． 分析：在两个三角形中，如果它们的两个角分别相等，那么它们的三个角分别相等．结合“探究”可以发现，两个角分别相等的两个三角形相似． 猜想：两个角分别相等的两个三角形__________． 理由如下： 已知：如图所示，在和中，，． 求证：． 证明：∵， 如图所示，可以移动，使顶点与重合，顶点，分别落在边，上的点，处， 又∵ 即 ∴． ∴， ∵， ∴． 即：两个角分别相等的两个三角形__________． 归纳：利用两角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形__________． 几何语言： ， 例：如图所示，是等腰三角形，，，，平分，且交于点． （1）求证：． （2）求的长． 阅读：顶角为36°的等腰三角形常称为黄金三角形，它的底边与腰的比为，称为黄金分割数．点把分为，两段，与的比值为，点称为黄金分割点． 再来看两边一角的情况． 探究2：类比判定三角形全等的“边角边”方法，两边和它们的夹角满足什么条件的两个三角形相似？能证明你的结论吗？ 分析：根据与“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”相对应，我们猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形__________． 理由如下： 已知：如图所示，在和中，，． 求证：． 证明：如图所示，在的边（或其延长线）上截取，过点作，交于点．可得． ． 又 ，， ． ． 又 ， ． ． 注意：是联系和的桥梁． 归纳：这样，我们得到如下利用两边及其夹角判定两个三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形__________． 几何语言： ， 思考：两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似吗？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在和中，已知，则这两个三角形（ ） A．不一定相似 B．一定相似 C．全等 D．无法判定 2．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 3．如图，在四边形中，点F在上，且，求证：． 选做题： 4．正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如图，点是线段的黄金分割点（即）．已知，则的长为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 2．如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 3．如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 选做题： 4．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数．
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同步探究学案
课题 31.2.2 三角形相似的判定 （第1课时） 单元 第三十一章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．掌握“两角分别相等的两个三角形相似”． 2．掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”． 3．会运用判定定理证明三角形相似；知道两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似．
重点 判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”及其运用．
难点 两个判定定理的证明中构造桥梁三角形的思路．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1：判定两个三角形全等有哪些方法？ 答案：（边边边）、（边角边）、（角边角）、（角角边），直角三角形还有． 问题2：我们已学过哪个与平行线有关的相似定理？ 答案：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
新知探究 本节课来研究： 本节我们类比判定三角形全等的研究思路，研究三角形相似的判定。 探究1：直观上，如果保持一个三角形三个角的大小不变，改变这个三角形的大小，那么这个三角形的形状不变，得到的三角形与原三角形相似．由此你能得到三角形相似的判定方法吗？证明你的结论． 分析：在两个三角形中，如果它们的两个角分别相等，那么它们的三个角分别相等．结合“探究”可以发现，两个角分别相等的两个三角形相似． 猜想：两个角分别相等的两个三角形相似． 理由如下： 已知：如图所示，在和中，，． 求证：． 证明：∵， 如图所示，可以移动，使顶点与重合，顶点，分别落在边，上的点，处， 又∵ 即 ∴． ∴， ∵， ∴． 即：两个角分别相等的两个三角形相似． 归纳：利用两角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似． 几何语言： ， 例：如图所示，是等腰三角形，，，，平分，且交于点． （1）求证：． （2）求的长． 解：（1） 是等腰三角形，，， ． 又 平分， ． ，， ． （2）在中， ， ． 又 ， ． ， ，即． 设，可得，即 ， 解得，（舍去）． ． 阅读：顶角为36°的等腰三角形常称为黄金三角形，它的底边与腰的比为，称为黄金分割数．点把分为，两段，与的比值为，点称为黄金分割点． 再来看两边一角的情况． 探究2：类比判定三角形全等的“边角边”方法，两边和它们的夹角满足什么条件的两个三角形相似？能证明你的结论吗？ 分析：根据与“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”相对应，我们猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 理由如下： 已知：如图所示，在和中，，． 求证：． 证明：如图所示，在的边（或其延长线）上截取，过点作，交于点．可得． ． 又 ，， ． ． 又 ， ． ． 注意：是联系和的桥梁． 归纳：这样，我们得到如下利用两边及其夹角判定两个三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 几何语言： ， 思考：两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似吗？ 答案：不一定相似． 例如：对于△ABC和△A′B′C′，如果＝，∠B＝∠B′，如图所示，△ABC与△A′B′C′相似；△ABC与△A′B′C′′不相似． 即：两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在和中，已知，则这两个三角形（ ） A．不一定相似 B．一定相似 C．全等 D．无法判定 答案：B 2．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 答案：①②或①③ 3．如图，在四边形中，点F在上，且，求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 选做题： 4．正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如图，点是线段的黄金分割点（即）．已知，则的长为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 解：(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2)在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ． ， ， ， ， ．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 答案：D 2．如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 答案：，，. 3．如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 选做题： 4．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类作业】 5．如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 证明：(1)如图：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． (2)∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴．
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