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第3章 一次方程与方程组
3.4.1 二元一次方程组
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及二元一次方程组的解的概念，能正确识别二元一次方程（组）；
2.能根据实际问题中的两个等量关系，设两个未知数，列出二元一次方程组；
3.经历从实际问题抽象出方程组的建模过程，体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型，感受建模与化归思想。
学习重点：正确识别二元一次方程（组）；根据题意设两个未知数、列二元一次方程组。
学习难点：从实际问题中正确找出两个等量关系，并列出二元一次方程组。
预习自测
一、知识链接
1.方程：含有未知数的等式叫作方程。
2.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1的方程，如 x 4=6、2x+3=40。
3.等式基本性质：等式两边同加、同减、同乘，或同除以一个不为0的数，结果仍是等式。
4.尝试：设鸡x只、兔（35 x）只，列一元一次方程 2x+4(35 x)=94，可求出鸡兔只数（小学/上节已接触）。
自学自测
1.（选择）下列方程中，是二元一次方程的是（　）
A. x+y=5　B. 2x 3=7　C. x +y=1　D. x 1
2.（填空）含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是____的方程叫二元一次方程。
3.（填空）由两个一次方程组成、且含有____未知数的方程组叫二元一次方程组。
4.（选择）下列是二元一次方程组的是（　）
A. 　B. 　C. 　D. x+y=5
教学过程
一、创设情境、导入新课
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何。提问：若设鸡x只、兔y只，能否列出两个方程？这两个方程要同时满足，怎样把它们联立起来？由此引出本节对“二元一次方程组”的研究。
二、合作交流、新知探究
探究一：二元一次方程与二元一次方程组的概念
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何。
设鸡有x只，兔有y只，由“上有三十五头”，得 x+y=35 ①；又由“下有九十四足”，得 2x+4y=94 ②。
这里的x、y既要满足“上有三十五头”，又要满足“下有九十四足”，即必须同时满足①②两个方程。因此，把上面两个方程加上括号联立在一起，写成方程组 。
【归纳】像①和②这样，含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程；几个方程联立在一起，称为方程组；由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组。
【强调】判断二元一次方程的两个要点：①含有两个未知数；②含未知数的项的次数都是1，且为整式方程。判断二元一次方程组须同时满足“由两个一次方程组成”和“含两个未知数”，并且两个方程联立。
探究二：根据题意列二元一次方程组
某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵，已知樟树苗每棵10元，白杨树苗每棵8元，购买这些树苗用了410元，樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵。由“共45棵”得 x+y=45；由“购买用了410元”得 10x+8y=410。所以列方程组。
【强调】列二元一次方程组的关键：①审题找两个等量关系；②设两个未知数；③分别列两个一次方程并联立。切忌只列一个方程。
做一做
检验 是否是方程组的解。
探究三：二元一次方程组的解
教材第110页　思考
思考：方程组中x、y的值怎样求？
【归纳】使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。
【变式1】（概念变式）若关于 x、y 的方程 (a 2)x|a| 1 ＋3y＝5 是二元一次方程，求 a 的值。
【易错点】只令指数等于1 而忽略“未知数系数不为0”，会把 a＝2 也算进去，得到 a＝±2 的错误答案。
【变式2】（易错点辨析）方程组是二元一次方程组吗？它有几组解？
【易错点】看到“方程组”就默认解唯一。二元一次方程组不一定有唯一解：两个方程本质相同时解不唯一，这也是“必须有两个独立的等量关系才列方程组”的原因。
【强调】二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，缺一不可；它是一对有序的值（x的值与y的值），通常写成的形式。
三、课堂练习、巩固提高
1.（选择）下列方程中是二元一次方程的是（　）
A. 3x y=7　B. x 2=5　C. x +y=3　D. =2
2.（填空）二元一次方程 2x+y=8 中，当 x=3 时，y=____。
3.（计算）判断 是否是方程组的解。
4.（填空）若 x=2, y= 1 是方程 ax+3y=1 的解，则 a=____。
5.（计算）已知 是方程组的解，求 a、b 的值。
6.（解答）甲、乙两人共植树30棵，甲植树棵数是乙的2倍。列出二元一次方程组，并判断 是否是该方程组的解。
7.（情境）小华到商店买笔记本和圆珠笔共10件，共付35元。笔记本每本5元、圆珠笔每支2元。设笔记本x本、圆珠笔y支。（1）列出二元一次方程组；（2）判断是否是该方程组的解。
8.（创新）请写出一个二元一次方程，使它的一组解为。
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.知识点：①二元一次方程——含有两个未知数的一次方程；②二元一次方程组——由两个一次方程组成、含两个未知数的方程组；③二元一次方程组的解——同时满足每个方程的两个未知数的值。
2.数学思想方法：从实际问题中抽象出方程组的建模思想。
3.注意事项：判断二元一次方程要同时满足“两个未知数、次数为1、整式方程”；方程组的解要同时满足每个方程。
五、作业布置
1.（解答）根据题意列方程组（不求解）：一个长方形的周长是24 cm，长比宽多4 cm。设长为x cm、宽为y cm，列出方程组。
2.（填空）若 x|m|＋(n＋1)y＝3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＝____，n 应满足的条件是____。
3.（选择）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　）
A. 　B. 　C. x+y=3　D.
4.（计算）写出一个二元一次方程组，使它的解为 x= 1、y=2。
5.（解答）已知是方程组 的解，求 a＋b 的值。
6.（填空）二元一次方程 3x＋2y＝12 的正整数解有____组。
7.（实践）二元一次方程 2x+y=10 有多少个正整数解？请一一列举。
8.（情境）学校为班级购买笔记本和钢笔共 20 件作为奖品，笔记本每本 5 元，钢笔每支 8 元，共花去 124 元。设笔记本 x 本、钢笔 y 支，请列出二元一次方程组（不求解）。
答案：
自学自测
1.【解析】A
2.【解析】1
3.【解析】两个
4.【解析】选A。B中x 为二次，C中x 1=0只含一个未知数，D只含一个方程，故选A。
课堂练习、巩固提高
1.【解析】A
2.【解析】2。把x=3代入：2×3+y=8，6+y=8，y=2。
3.【解析】代入①：5+10=15，成立；代入②：2×5+3×10=10+30=40，成立。两个方程都成立，所以是方程组的解。
4.【解析】2。把x=2、y= 1代入：2a+3×( 1)=1，2a 3=1，2a=4，a=2。
5.【解析】代入：2+b=5，得b=3；2a 1=3，得a=2。所以 a=2，b=3。
6.【解析】设甲植树x棵、乙植树y棵，列方程组。检验：20+10=30成立；20=2×10成立，所以是该方程组的解。
7. 【解析】(1)笔记本和圆珠笔共10件,。(2) 把x=5、y=5代入：5+5=10，成立；5×5+2×5=25+10=35，成立。两个方程都成立，所以是该方程组的解。
8.【解析】答案开放。如 x+y=5。检验：3+2=5，成立。只要把x=3、y=2代入能使方程成立即可。
作业布置
1.【解析】周长关系：2(x+y)=24，即 x+y=12；长比宽多4：x y=4。列方程组。
2.【解析】二元一次方程要求含未知数的项的次数都是1，故 |m|＝1，即 m＝1 或 m＝ 1；同时未知数的系数不能为0，故 n＋1≠0，即 n≠ 1。
答：m＝±1；n≠ 1。
3.【解析】选A。B中x 为二次；C只含一个方程；D中2x 3=1只含一个未知数。故选A。
答：B。
4.【解析】答案开放。如。检验： 1+2=1，成立； 1 2= 3，成立。
5.【解析】因为方程组的解同时满足两个方程，把 x＝2、y＝ 1 分别代入：2a＋( 1)＝3，即 2a＝4，a＝2；2＋b×( 1)＝5，即 2 b＝5，b＝ 3。所以 a＋b＝2＋( 3)＝ 1。
答：a＋b＝ 1。
6.【解析】要求 x、y 都取正整数：x＝1 时 y＝4.5，不是正整数；x＝2 时 y＝3，符合；x＝3 时 y＝1.5，不符合；x≥4 时 3x≥12，y≤0，不符合。所以只有 x＝2、y＝3 这一组。
答：1 组。
7. 【解析】由 2x+y=10 得 y=10 2x。当x取1、2、3、4时，y分别为8、6、4、2，均为正整数；x=5时y=0，不是正整数。所以正整数解共4组：,,,。
8.【解析】找两个等量关系：①件数关系——笔记本本数＋钢笔支数＝20，即 x＋y＝20；②费用关系——5x＋8y＝124。把两个方程联立即得方程组。
答：。
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