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第3章 一次方程与方程组
3.4.2 代入消元法
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解“消元”的基本思想，掌握代入消元法的步骤；
2.能熟练运用代入法解二元一次方程组，并会检验；
3.体会“把二元转化为一元”的化归思想，发展运算能力。
学习重点：用代入法解二元一次方程组的步骤。
学习难点：正确用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，并准确代入、回代。
预习自测
一、知识链接
1.一元一次方程的解法：移项、合并、系数化为1。
2.等式基本性质。
3.由 x+2y=3，用含y的代数式表示x：移项得 x=3 2y。
4.二元一次方程组的解：同时满足每个方程的两个未知数的值。
二、自学自测
1.（填空）由 x+y=35，用含x的代数式表示y：y=____。
2.（填空）由 x+2y=3，用含y的代数式表示x：x=____。
3.（填空）方程 2x+y=7 变形为 y=____。
4.（填空）二元一次方程组 {x+y=10；x y=4} 中，由①得 x=10 y，代入②可消去未知数____。
教学过程
一、创设情境、导入新课
上节课我们得到方程组。提问：怎样求出其中x、y的值呢？观察两个方程，能否把一个未知数用另一个未知数表示，再代到另一个方程中，从而消去一个未知数？由此引出“代入消元法”。
二、合作交流、新知探究
探究一：代入消元法解鸡兔同笼方程组
教材第110页　思考
课本过程完整呈现：由①，得 y=35 x ③（这一步就是用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数）。
把③代入②，得 2x+4(35 x)=94，这是一个一元一次方程。
【归纳】上面解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法。
【强调】代入法四步：①变形（用含一个未知数的代数式表示另一个未知数）；②代入（代入另一个方程，得到一元一次方程）；③求解（解这个一元一次方程）；④回代（把求出的值代回，求出另一个未知数）。最后要把解代入原方程组检验。
探究二：例1（代入法）
教材第110-111页　例1
例1　解方程组：
【分析】考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。方程②中x的系数是1，可以先将方程②变形，用含y的代数式表示x，再代入方程①求解。
【强调】选系数为1（或 1）的未知数进行变形更简便；代入时要把整个代数式加括号代入，防止符号错误；求出解后要检验。
做一做
用代入法解方程组。
探究三：课本思考与做一做
教材第111页　思考
课本思考：本节例1中可以用x表示y吗？试试看。
【解析】可以。由① 2x+3y= 7，得 y=( 7 2x)/3，再代入②也可求解，只是出现分数、计算稍繁。说明变形时应选择系数较简单的未知数。
做一做：用代入法解方程组。
【变式1】（解法变式）用代入消元法解方程组。
【易错点】代入时忘记给 5 x 加括号，写成 2x 5 x＝1，符号出错，会得到 x＝2、y＝… 的错误结果。
【变式2】（变形易错点）按要求变形：
①由 x y＝3 得 x＝____；
②由 2x＋y＝5 得 y＝____；
③由 3x 2y＝6 得 3x＝____。
【易错点】移项不变号是最常见的错误：由 x y＝3 错写成 x＝3 y；由 2x＋y＝5 错写成 y＝5＋2x。变形后可用代入原方程验证。
【强调】变形方向的选择：哪个未知数的系数简单，就把它表示成含另一个未知数的代数式；代入后解一元一次方程要细心，注意去括号、移项时符号的变化。
三、课堂练习、巩固提高
1.（选择）用代入法解，由①得 x=10 y，代入②所得方程正确的是（　）
A. (10 y) y=4　B. 10 y=4　C. (10 y)+y=4　D. 10+y=4
2.（填空）由方程 2x+y=7，得 y=____。
3.（计算）用代入法解方程组。
4.（填空）用代入法解，把②代入①得 3x+2(2x 3)=8，解得 x=____。
5.（计算）用代入法解方程组。
6.（解答）用代入法解方程组 。
7.（情境）某班同学到劳动基地种树，男生每人种3棵、女生每人种2棵，全班45人共种110棵树。设男生x人、女生y人。（1）列出方程组；（2）用代入法求出x、y。
8.（创新）用代入法解方程组，并说说第一步你是怎么想的。
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
根据课堂教学内容，从本节知识点（本节课主要知识点提炼）、数学思想方法（如果有）、注意事项（如果有）这三方面进行总结
1.知识点：代入消元法——变形→代入→求解→回代→检验；消元思想。
2.数学思想方法：化归思想（把“二元”转化为“一元”）。
3.注意事项：变形时选系数简单的未知数；代入时整体加括号；求解后务必检验。
五、作业布置
1.（解答）用代入法解方程组。
2.（填空）用代入消元法解方程组 时，把 y＝2x 1 代入第二个方程，得到关于 x 的一元一次方程是____。
3.（选择）用代入消元法解方程组时，下列变形正确的是（　）
A. 由①得 y＝x 3
B. 由①得 y＝x＋3
C. 由①得 x＝y 3
D. 由①得 x＝3 y
4.（计算）用代入法解方程组。
5.（解答）用代入消元法解方程组。
6.（填空）用代入法解方程组，由第一个方程得 x＝7 y，代入第二个方程得____＝1，解得 y＝____。
7.（实践）已知二元一次方程组的解为，请你写出两个不同的二元一次方程组。
8.（情境）甲、乙两人共植树 30 棵，甲植树的棵数比乙的 2 倍少 3 棵。设甲植树 x 棵、乙植树 y 棵，列出方程组并用代入消元法求解。
答案：
自学自测
1.【解析】35 x。
2.【解析】3 2y。
3.【解析】7 2x。
4.【解析】x。
课堂练习、巩固提高
1.【解析】选A。把 x=10 y 整体代入② x y=4，得 (10 y) y=4。
2.【解析】7 2x。
3.【解析】把y=2x代入①，得 x+2x=15，3x=15，x=5；把x=5代入y=2x，得y=10。所以。检验：5+10=15，成立；10=2×5，成立。
4.【解析】2。3x+4x 6=8，7x=14，x=2。
5.【解析】把x=y+10代入①，得 (y+10)+y=300，2y=290，y=145；把y=145代入x=y+10，得x=155。所以。检验：155+145=300，成立；155=145+10，成立。
6.【解析】由①得 y=3x 5；代入②，得 x+2(3x 5)=4，x+6x 10=4，7x=14，x=2；把x=2代入y=3x 5，得y=1。所以。检验：3×2 1=5，成立；2+2×1=4，成立。
7.【解析】(1)。(2) 由①得x=45 y，代入②得 3(45 y)+2y=110，135 3y+2y=110， y= 25，y=25；x=45 25=20。所以 x=20、y=25。检验：20+25=45，成立；3×20+2×25=60+50=110，成立。
8.【解析】把y=3x 5代入②，得 x+2(3x 5)=4，x+6x 10=4，7x=14，x=2；把x=2代入y=3x 5，得y=1。所以。检验：6 5=1，成立；2+2×1=4，成立。第一步是把①中已给出的y的表达式整体代入②，从而消去y、化为一元一次方程。
【作业布置】
1.【解析】把x=5 y代入②，得 2(5 y)+3y=12，10 2y+3y=12，y=2；把y=2代入x=5 y，得x=3。所以。检验：3=5 2，成立；2×3+3×2=6+6=12，成立。
2.【解析】把 y＝2x 1 代入 3x＋y＝9，得 3x＋(2x 1)＝9，去括号合并得 5x 1＝9。
答：5x 1＝9。
3.【解析】由 x y＝3 移项得 x＝y＋3；再把 x＝y＋3 变形为 y＝x 3，两者等价。A 正确；B 移项没有变号；C、D 解错了未知数。故选 A。
答：A。
4. 【解析】由①得y=2x 5，代入②得 x+3(2x 5)=13，x+6x 15=13，7x=28，x=4；y=8 5=3。所以:x=4；y=3。检验：8 3=5，成立；4+9=13，成立。
5.【解析】选系数最简单的 y 表示出来：由①得 y＝5 2x ③；把③代入②：3x 4(5 2x)＝2，去括号得 3x 20＋8x＝2，合并得 11x＝22，x＝2；把 x＝2 代入③得 y＝5 4＝1。所以方程组的解为 。
答：。
6.【解析】把 x＝7 y 代入 x y＝1，得 (7 y) y＝1，即 7 2y＝1，2y＝6，y＝3。
答：7 2y；3。
7.【解析】答案开放。如 。检验：把x=2、y=3分别代入每个方程，都成立即可。
8.【解析】等量关系：①两人共植 30 棵，x＋y＝30；②甲比乙的 2 倍少 3 棵，x＝2y 3。第二个方程已经把 x 用含 y 的式子表示，宜用代入法：把 x＝2y 3 代入①得 2y 3＋y＝30，3y＝33，y＝11；x＝2×11 3＝19。
答：，即甲植树 19 棵，乙植树 11 棵。
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