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分课时学案
课题 22章 小结与评价 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1. 自主构建本章知识结构图，理清相似相关概念之间的逻辑关系，区分相似、全等、位似。 2. 熟练运用相似三角形判定、性质进行推理论证，规范几何证明书写，提升演绎推理能力。 3. 能在复杂图形中识别相似基本模型，借助图形分析线段、面积关系。 4.会建立相似三角形模型，解决高度、距离测量等实际问题。
重点 1.构建本章知识体系，梳理相似三角形判定、性质； 2.相似三角形的判定、性质的综合应用； 3.理解位似的概念，区分相似变换与全等变换。
难点 1.在复杂图形中识别相似三角形，选择合适的判定定理； 2.相似三角形性质综合运用（线段、周长、面积），区分相似比与面积比；
教学过程
导入新课 知识图谱
新知讲解 知识点一：成比例线段 1.对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 (或a∶b＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例. 2.如果，那么ad＝bc.如果ad＝bc，那么.以上结论称为比例的基本性质. 3.平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 跟踪训练 1.下列四组线段中，成比例的是(　　). A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a＝3，b＝4，c＝5，d＝8 D．a＝4，b＝5，c＝6，d＝7 2.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(　　). A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 知识点二：相似多边形和相似三角形 1.定义：两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似. 2.性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等. 3.两个相似多边形对应边的比称为它们的相似比. 4.对应边成比例、对应角相等的三角形是相似三角形. 跟踪训练 1.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为 ． 2.如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则a∶b＝ . 知识点三：相似三角形的判定及性质 1.平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 2.相似三角形的判定定理1　两角分别相等的两个三角形相似. 3.相似三角形的判定定理2　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 4.相似三角形的判定定理3　三边成比例的两个三角形相似. 性质： 1.相似三角形对应高的比等于相似比. 2.相似三角形对应角的平分线的比等于相似比. 3.相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 4.相似三角形的周长的比等于相似比. 5.相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 跟踪训练 1.【新趋势·开放性问题】如图，已知∠BAD＝∠CAE，添加一个条件： ，使得△ABC∽△ADE. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中，E是AC上一点，且CE＝DE，ED的延长线与CB的延长线交于点F. 求证：△FDC∽△FBD. 3.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD＝OA，则△ABC与△DEF的周长之比为(　　). A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2 知识点四：图形变换与坐标变化 图形变换引起的点的坐标的变化 跟踪训练 1.在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A的对应点为点C.若点A(a，b－2)，B(a－3，5)，C(0，b)，则点D的坐标为(　　). A. （3，3）B. （3，7）C. （-3，3）D. （-3，7） 2.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2,4），点E的坐标为（-1,2），则点P的坐标为 ．
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1．现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值是(　　). A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 0.25 2.若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝50°，∠C＝80°，则∠B′的度数为( 　) A．30° B．50° C．40° D．70° 3.如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，若OA∶AA′＝1∶2，四边形ABCD的周长为2，则四边形A′B′C′D′的周长为(　　). A．4 B．6 C．16 D．18 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按下列图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是(　　) 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF.连结EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM的长为(　　) A. 6.5B．7 C. 7.5D．8 6．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，相似比为2∶1，若△ABC的面积为5，则△A′B′C′的面积为________． 【综合拓展类作业】 7.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m，已知王华的身高是1.5 m，那么路灯A的高度AB是多少？
答案：
跟踪训练
知识点一：成比例线段
1.下列四组线段中，成比例的是(　B　).
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝3，b＝4，c＝5，d＝8
D．a＝4，b＝5，c＝6，d＝7
2.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(　D　).
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
知识点二：相似多边形和相似三角形
1.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为甲和丁．
2.如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则a∶b＝2∶1.
知识点三：相似三角形的判定及性质
1.【新趋势·开放性问题】如图，已知∠BAD＝∠CAE，添加一个条件：
∠B＝∠ADE(答案不唯一)，使得△ABC∽△ADE.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中，E是AC上一点，且CE＝DE，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
求证：△FDC∽△FBD.
证明：∵DE＝CE，∴∠CDE＝∠DCE.
∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，
∴∠CDE＋∠BDF＝180°－90°＝90°.
∵∠DCE＋∠DCF＝∠CDE＋∠BDF＝90°，
∴∠BDF＝∠DCF. ∵∠F＝∠F，∴△FDC∽△FBD.
3.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD＝OA，则△ABC与△DEF的周长之比为(　D　).
A．1∶6
B．1∶5
C．1∶4
D．1∶2
知识点四：图形变换与坐标变化
跟踪训练
1.在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A的对应点为点C.若点A(a，b－2)，B(a－3，5)，C(0，b)，则点D的坐标为(　D　).
A. （3，3）B. （3，7）C. （-3，3）D. （-3，7）
2.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2,4），点E的坐标为（-1,2），则点P的坐标为（-2,0）．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值是(　B　).
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 0.25
2.若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝50°，∠C＝80°，则∠B′的度数为(　B　)
A．30° B．50° C．40° D．70°
3.如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，若OA∶AA′＝1∶2，四边形ABCD的周长为2，则四边形A′B′C′D′的周长为(　B　).
A．4 B．6 C．16 D．18
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按下列图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是(　D　)
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF.连结EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM的长为(　C　)
A. 6.5B．7 C. 7.5D．8
6．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，相似比为2∶1，若△ABC的面积为5，则△A′B′C′的面积为_____20___．
【综合拓展类作业】
7.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m，已知王华的身高是1.5 m，那么路灯A的高度AB是多少？
解：如图，由题意可知，当王华在C处时，
Rt△DCG∽Rt△DBA，则＝，
当王华在E处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，
则＝.∵CG＝EH，∴＝，
∴＝.设AB＝x m，BC＝y m，
则BD＝BC＋CD＝(y＋1)m，
BF＝BC＋CE＋EF＝(y＋5) m，
∵＝，∴＝，
解得y＝3，经检验，y＝3是所列方程的根．
∴BD＝3＋1＝4(m)．
∵＝，∴＝，解得x＝6.
经检验，x＝6是所列方程的根．
所以路灯A的高度AB是6 m.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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