资源简介

例说中考数学探究性试题的解答策略
长沙中学 吴敦林
中考数学试卷中的探究性试题，因为综合程度高，解答时要用到众多的数学思想方法，考生往往感到束手无策。现以某些省市中考数学探究性试题为例，谈谈这类问题的解答策略。
1.从“特殊”到“一般”，拾阶而上。
某些探究性试题一般给出几问，其中第一问在具体的数据或特殊情形下求解，其他几问则要求在一般情形下探究。解决问题的方法是：顺着解“特殊” 问题的思路，并注意 “一般”与“特殊”的转化，便能迎刃而解。
例1．如图1，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C。
(1)当AB= 4，DC=1，BC= 4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD？如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。
(2)设AB= a，DC=b，AD=c，那么，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P使AP⊥PD？
简析：第(1)题在具体的数值情形下探究点P是否存在，用相似三角形的知识就能顺利解决。第(2)题在一般情形下探究三条线段满足何种关系，才存在结论AP⊥PD，其探究的方法有多种，这里仅探讨顺着解第(1)题的思路，贯彻“特殊到一般”的思想，继续用相似三角形的知识拾阶而上来研究。首先，求出BC=，再设存在这样的点P，且BP=x，则PC=－x， 由AP⊥PD得，△ABP∽△PCD，则，化简，得x+ab=0，△=，由△≥0，得 c≥a+b，方程有解，点P存在；由△＜0得c＜a+b，方程无解，点P不存在。所以当c≥a+b时，在直线BC上存在点P使AP⊥PD。
例2．数学课上，老师出示图2和下面框中条件，
如图2，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点坐标为（1，0），点B在x轴上且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数的图象于点C和D。直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H。记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。
同学发现两个结论：①；
②数值相等关系：=－。
请你验证结论①和②成立；
请你研究：如果将上述框中条件“A点坐标为（1，0）”改为“A点坐标为（t，0），（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）
进一步研究：如果将上述框中条件“A点坐标为（1，0）”改为“A点坐标为（t，0），（t＞0）”，又将条件“” 改为“（a＞0）”，其他条件不变，那么和有怎样的数值关系？（说明理由）
简析：题（2）把题（1）中的点A由特殊条件（定点）改成一般条件（动点），两题在研究问题的方法上相同（把一般条件t当着特殊值参与运算），结论①仍成立。题（3）点A和抛物线都由“静”变“动” ，结论②虽然发生了变化，研究问题的方法仍没变，但必须体会“从特殊到一般”的数学思想，要懂得“动和静、变和不变是相对的”的辩证思维方式。
2．化“动”为“静”，分而治之。
有些以动态为情景的探究性试题，条件中涉及到点、线、面的运动，图形的全等、相似以及特殊三角形的关系。解决这类问题时，首先，化“动”为“静”，其次，根据运动的特征找准分类讨论的“临界点”，再则，有序的找出全等、相似以及特殊三角形中各种可能的“对应”，分别进行探究。
例3．如图3，在直梯形ABCD中，∠D=∠C=，AB=4，BC=6，AD=8。点P、Q同时从A点出发，分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位。当这两个点达到自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两个点从出发运动了t秒。
动点P与Q哪一点先达到自己的终点？此时t为何值？
当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切
以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明理由。
简析：题（1）、（2）只是为题（3）作铺垫。我们从两方面来探究题（3）首先，点P运动速度快故先达到终点，且它折线上运动，分类讨论只能以它为标准，由AB=4，BC=6，点P的速度为每秒2个单位，则0、2、5秒是三个“临界点”；其次，点P、Q运动的“路程”（动态线段或折线长），其数学思想上是t的一次函数，我们在方法上化“动”为“静”，把它当“常数”处理。所以分类讨论如下：①当点P沿AB运动时0＜t＜2，以PQ为直径的圆不可能与CD相切；②当点P沿BC运动时2≤t≤5，设以PQ为直径的圆与CD相切于点K，交AD于点Q、H（如图4）。则DK=，DH=CP=10－2t，DQ=8－t，由切割线定理，得=DH·DQ。即 =(10－2t)(8－t),2t－26t+77=0，解之,得t=＞5(舍去)，t=≈4.56＜5，所以，当t=时，以PQ为直径的圆与CD相切。
例4．在直角坐标系xoy中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0），B（0，4），C（-1，0）。点M和点N在x轴上（点M在点N的左边），点N在原点右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合），直线MP与y轴交于点G，MG=BN。
求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求点M的坐标；
（3）设ON=t，△MOG的面积为s，求s与t的函数关系式，并求自变量t的取值范围。
点B作直线BK∥x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形，若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由。
简析：题（2）、（4）都隐含着分类讨论，其中题（2）要按点M在原点左边和在原点右边分别探究（如图5），再考虑△BON≌△MOG，便能解之。探究题（4）时，首先确定以等腰三角形的顶角作为分类标准，那么∠O、∠A、∠R都可以作为顶角，其次再进行二级分类，以∠O、∠A为顶角的等腰三角形又分别有两种情况，这样五个解就不会遗漏，这就是所谓的“有序的找出各种可能的情况”。
3.寻“变”中之“不变”，随机应变。
在直线形或圆中，某些几何结论可能随着图形位置的变化而变化，也有的图形位置变化而几何结论不变，但是无论几何结论变化与否，探究问题方法的基本思路不变，仅在某些方面略有差异。因此，把握解决第一问的解题规律，注意前后问的差异，就能探究成功。
例5．如图6四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别是a、b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果可用a、b的代数式表示）。
求；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45得如图7，求图7中的；（3）把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转的过程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
简析：题（1）求△BDF的面积以DF为底，AB为高计算虽然简便；若从探究问题（2）、（3）考虑，抓住正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转的过程中DB始终不变，△BDF的面积随DB上高的变化而变化，求DB上的高成为问题的关键。据此，解题（1）时以DB为底，用解三角形求DB上的高，但是，此求高的方法对探究问题（2）、（3）不利。我们细心观察图6发现EF∥DB，联想到等积变形，把求△BDF的面积转化成求△BDE的面积，在寻找△BDE边DB上高的过程中又发现A、E、C在一直线上，OE就是高，此时已知DB上高与对角线AC相关（这就是随机应变）。显然探究问题（2）成了（1）的翻版（只是AF∥DB，△BDF与△BDA等积变形, 这就是本题的“变”中之“不变”）。解决问题（3）的关键是，要看到正方形AEFG绕点A旋转任意角度，点F的轨迹是以A为圆心，AF为半径的圆（如图8），当b＞2a时，在位置时△BDF的面积最小（b=2a时，没有最小值）；在位置时△BDF的面积最大，高仍与对角线AC相关。

展开更多......

收起↑