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八下第一章《二次根式》
§1．1 二次根式
1A．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
2A．当x是多少时，在实数范围内有意义？
1B． 已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2B．若+有意义，则=_______．
1C．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2C.已知、b为实数，且+2=b+4，求、b的值．
答案：
1A. 二次根式有：、（>0）、、-、（≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．
2A. 由3x-1≥0，得：x≥
当x≥时，在实数范围内有意义．
1B．C
2B.
1C. 设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=．
2C.a=5，b=-4
§1．2 二次根式的性质(1)
1A．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）
（1）（）2=- （ ）;（2）=- （ ）
（3）（-）2=- （ ）;（4）（2）2=2×=1 （ ）
2A．计算：+
1B．计算：
2B. 数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．
A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
1C． 把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
2C．在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9
答案:
1A．× × × ×
2A.
1B.
2B．非负数
1C.（1）5=（）2 （2）3.4=（）2
（3）=（）2 （4）x=（）2（x≥0）
2C.（1）x2-2=（x+）（x-）
（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-）
§1．2 二次根式的性质(2)
1A．下列运算正确的是（ ）
A．=-=5-4=1; B．=×=-4×（-5）=20
C．=+=;D．=×=4
2A．下列化简错误的是（ ）
A．== B．=×=0.1×0.7=0.07
C．== D．=·=1×=
1B.计算：(1) (2)
2B.已知等腰三角形的底边长为10cm，腰为13cm，则此等腰三角形的面积为________cm2．
1C.-=________．
2C．在直角坐标系中，已知点A（1，-2），B（5，-7），C（5，-2）是三角形的三个顶点，求AB的长．
答案:
1A. D
2A. D
1B. (1) (2)
2B. 60
1C.
2C.
§1．3 二次根式的运算(1)
1A．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）
（1）×=2×= （ ）;（2）÷===1 （ ）
（3）×===6（ ）;（4）===20
2A． 已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1B. 下列各式正确的是（ ）
A．已知ab>0，则=·; B．2×3=（2×3）=5
C．= D．÷==
2B.解方程：-2X=．
1C．一个三角形的面积为2，若它的一条边上的高为，求这条边长．
2C．如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=，BC=，求斜边AB上的高CD．
答案:
1A. ∨ × × ×
2A. D
1B. D
2B.
1C.
2C.
§1．3 二次根式的运算(2)
1A．填空：
（1）+-=_______； （3）3+4-=_______；
2A．下列各式计算正确的是（ ）
A．2+3=5 B．2-=1 C．2×3=6 D．2×3=6
1B．下列各式计算正确的是（ ）
A．=4+3=7 B．（2+）（1-）=2-6=-4
C．（+）2=（）2+（）2=3+5=8
D．（-+）（--）=（-）2-（）2=2-3=-1
2B．如果·= ，则（ ）
A．a≥4 B．a≥0 C．0≤a≤4 D．a为一切实数
1C． 已知：是两个连续自然数，且．设，则（　　）
Ａ．总是奇数 Ｂ．总是偶数
Ｃ．有时是奇数，有时是偶数 Ｄ．有时是有理数，有时是无理数
2C．求当a=-1时，代数式（a+1）2-（a-）（a+1）的值．
答案:
1A. 0 ,
2A . C
1B. D
2B. A,
1C. A
2C.
§1．3 二次根式的运算(3)
1A．在Rt△ABC，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b．若a：b=：，C=2，则b的值
2A一道斜坡的坡比为1：8，已知水平AC=16，则斜坡AB的长为______m．
1B．在等腰中，两边长为4，10，则这个三角形的面积为______．
2B．从一张斜边长为18cm的等腰直角三角形纸板中剪出一个尽可能大的正方形，则正方形的边长为多少cm？
1C．如图，架在消防车上的云梯AB的坡比为1：0.8，已知云梯AB的长为16m，云梯底部离地面1.5m（即BC=1.5m）．求云梯顶端离地面的距离AE．
2C．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向南行驶到B处，再向西北方向行驶，共经过2小时回到O港，已知快艇的速度是45km/h，问AB这段路程是多少km？
答案：
1A.
2A.
1B. 或40
2B.
1C.
2C.
八下第三章《频数及其分布》
§3．1 频数与频率（1）
1A、全班50人，期中考试最高分为100分，最低分为67分，如果组距是5分，那么应分成
组．
2A、某校八年级共有学生400人，为了解这些学生的视力情况，抽查20名学生的视力，对所得数据进行整理，在得到的频数分布表中，各小组频数之和等于________
1B、已知样本：8，6，10，13，10，8，7， 10，11，12，10，8，9，11，9，12，10，12，11，9．在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应分成_________组；9.5～11.5这一组的频数是___ ___．
2B、为了解某小区居民的日用电情况，居住在该小区的一名同学随机抽查了l5户家庭的日用电量，结果如下表：
日用电量
(单位：度)
5
6
7
8
10
户 数
2
5
4
3
l
则关于这l5户家庭的日用电量，下列说法错误的是
(A)众数是6度 (B)平均数是6.8度
(C)极差是5度 (D)中位数是6度
1C、某养鱼专业户去年在鱼塘中投放一批鱼苗，为了了解鱼苗的长势，从中捞取20条，测得其长度如下:（单位：厘米）18，19，14，17，16，18，15，19，22，21，18，21，16，18，19，23，17，20，20，19．
（1）填写 频数分布表中的空格栏：
（2）由频数分布表可知：
① 长度不小于20厘米的鱼苗所占的百分比为 ；
②在这批鱼苗中，有40℅的鱼苗长度在 厘米 厘米之间．
组别（厘米）
频数
13.5 ～ 15.5
15.5 ～ 17.5
17.5 ～ 19.5
8
19.5 ～ 21.5
21.5 ～ 23.5
2
合计
2C、红星养猪场400头猪的质量频数分布表如下，其中数据不在分点上
组别
频数
45.5 ～ 50.5
40
50.5 ～ 55.5
80
55.5 ～ 60.5
160
60.5 ～ 65.5
80
65.5 ～ 70.5
30
70.5 ～ 75.5
10
（1）这一组数据的中位数落在哪一个组别内；从中任选一头猪，可能性最大的是落在哪一个范围？
（2）质量在60.5千克以上的猪占总数的多少？
答案：
1A、7组
2A、20
1B、4组；8。
2B、D
1C、（1）填写 频数分布表中的空格栏：2、4、4、20。
（2）由频数分布表可知：
① 长度不小于20厘米的鱼苗所占的百分比为 30% ；
②在这批鱼苗中，有40℅的鱼苗长度在 17.5 厘米 19.5 厘米之间．
2C、（1）55.5 ～ 60.5; 55.5 ～ 60.5.
（2）30%.
§3．1 频数与频率（2）
1A、将一个有40个数据的样本经统计分成6组，若某一组的频率为0.15，则该组的频数为 ( )
A．6 B．0．9 C．6．67 D．1
2A、 将50个数据分成3组，其中第一组和第三组的频率之和是0.7，则第二组的频数是____.
1B、已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2∶4∶3∶1，则第二小组和第三小组的频率分别为 ( )
A．0.4和0.3 B．0.4和9 C．12和0.3 D．12和9
2B、一个样本，分组后落在第二组的频数是12，频率是0.24，则这个样本的容量是　　　　　.
1C、已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，第四组、第五组的频率分别是0.15，0.10，则第六组的频率为________.
2C、数据6，8，x，14的平均数是9，则数据8出现的频率是_________.
答案：
1、A
2A、0.3
1B、A
2B、50
1C、 0.2
2C、0.5
§3．2 频数分布直方图
1A、一组数据，，，，的极差是，那么的值可能有
2A、将某样本数据分析整理后分成6组，且组距为5，画频数分布折线图时，求得某组的组中值恰好为20，则该组为（ ）
A 、 16.5~21.5 B、 18.5~21.5 C、、16.5~23.5 D 、17.5~22.5
1B、某班50名学生期末考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，其中数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下判断：
成绩在49.5～59.5分数段的人数与89.5～100
分数段的人数相等；
②从左到右，第四小组的频率是0.3；
③成绩在79.5分以上的学生有20人；
④本次考试成绩的中位数落在第三小组。
其中正确的判断有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2B、在一组160个数据的频数分布直方图中，共有11个小长
方形，若中间一个小长方形的高等于其它10个小长方形
高的和的，则中间一组的频率是( ) 　　　
A．32 B．0.2 C．40 D．0.25
1C、据《生活报》报道，我省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课表．为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的频数和频率是多少？
（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
2C、为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示：
组别
次数
频数（人数）
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的　　　　；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第 　 组；
（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（）达标要求是：不合格；为合格；为良；为优．根据以上信息，请你给学校或八年级同学提一条合理化建议：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
答案：
1A、6或-2
2A、D
1B、A
2B、B
1C、（1）40人
（2）频数是18人，频率是0.45
（3）200÷（1-24﹪-26﹪-30﹪）=1000
1000×(8÷40)=200（人）
答: 全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为200人。
2C、（1）12
（2）
八年级（1）班学生一分钟跳绳次数频数分布直方图
（3）第3组
（4）不合格的人数较多，要加强中学生体育锻炼等
§3．3 频数分布折线图
1A、如图是护士统计一位病人的体温变化折线图，这位病人中午12时的体温约为 （ ）
A．39.0℃ B．38.5℃
C．38.2℃ D．37.8℃
2A、为选派一名学生参加杭州市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图表所示（单位：mm）
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1） 考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为 的成绩好些；
（2） 考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，
你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由。
1B、某中学部分同学参加全国初中数学竞赛，取得了优异的成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都是整数，试题满分120分），并且绘制了频数分布直方图。
请回答：
(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少名同学？
(2)如果成绩在90分以上（含90分）的同学获奖，那么该中学参赛同学的获奖率是多少？
（3）请在所给频数分布直方图上画频数分布折线图
2B、甲、乙两人在某公司做见习推销员，推销“3G”手机，他们在1～8月份的销售情况如下表所示：
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
甲的销售量（单位：只）
7
8
6
7
6
6
7
7
乙的销售量（单位：只）
5
6
5
6
7
7
8
9
（1）在右边给出的坐标系中，绘制甲、乙两人这8个月的月销售量的折线图：（甲用实线；乙用虚线）
（2）请根据（1）中的折线图，写出2条关于甲、乙两人在这8个月中的销售状况的信息. ① ；
② .
1C、“虎年春节”期间，杭州市某风景区共接待游客约22.5万人．为了了解该景区的服务水平，有关部门从这些游客中随机抽取500人进行调查，请他们对景区的服务质量进行评分（满分为100分），评分结果的统计数据如下表：
分值a（分）
50≤a<60
60≤a<70
70≤a<80
80≤a<90
90≤a＜100
人 数
25
85
125
200
65
根据表中提供的信息
（1）画出频数分布直方图和频数分布折线图
（2）若评分不低于70分为“满意”，试估计“虎年春节”期间对该景区服务“满意”的游客人数．
2C、小明和小白参加某体育项目训练，近期的8次测试成绩(分)如下表：（满分18分）
测试
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
小明
10
10
11
10
16
14
16
17
小白
11
13
13
12
14
13
15
13
(1)根据上表中提供的数据填写下表：
平均数(分)
众数(分)
中位数(分)
方差
小明
10
8.25
小白
13
13
(2) 根据表中提供的数据在右边
的所给的图中画出频数分布折线图
（小明用实线；小白用虚线）
(3)若从中选一人参加市中学生运动会，
你认为选谁去合适呢？请说明理由.
答案：
1A、C
2A、⑴ B
（2）从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，
但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，可选派A去参赛。
不唯一。说法合理即可。
1B、(1)4+6+8+7+5+2=32人
(2)90分以上人数：7+5+2=14人

(3)略（画频数分布折线图时注意两边的虚拟组）
2B、（1）略
（2）①乙的月销售量总体上呈上升趋势；
②甲的月销售量总体上呈平稳态势；等等.
1C、（1）略（画频数分布折线图时注意两边的虚拟组）
（2）满意率为78%，估计有17.55万游客表示满意
2C、（1）
平均数(分)
众数(分)
中位数(分)
方差
小明
13
l 2.5
小白
13
1.25
(2)略
(3)小明和小白成绩的平均数均为13分，但小白的方差比小明的
方差小，说明小白的成绩比小明的成绩稳定，且得13分的次数多，所以让小白去较合适．
或：小明成绩总体上呈现上升趋势，且后几次的成绩均高于13分，所以让小明去较合适．
八下第二章《一元二次方程》
§2.1一元二次方程（1）
1A、方程（+1）2 -3-2=0的一次项系数为 ，常数项为 。
2A、关于的方程是否是一元二次方程?请说明理由。
1B、关于的一元二次方程的解为（ ）
A、 B、 C、 D、无解
2B、已知是方程的一个不为零的根，求下式的值：
1C、若方程是关于的一元二次方程，求的值。
2C、请根据所给方程：（16-2）(10-2)=112，联系实际，编写一道应用题
（ 要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）。
答案：
1A、-1，-1，
2A、不是，由m+1=2得m=1，此时
1B、C
2B、2010
1C、m=-1,n=-3或m=0,n=-2，或m=1,n=0
2C、略（答案不唯一）
§2.1一元二次方程（2）
1A、已知代数式的值为5，则代数式的值为
2A、方程与方程的解相同，则的值是 。
1B、 方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
2B、 关于的两个方程与有一个解相同，则 ．
1C、方程（x-2）(x-4)=0的根为 ；方程5（x-2）(x-4)=0的根为 ；以-3,4为两个根且二次项系数为2的一元二次方程为 。
2C、设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求这个直角三角形的斜边长。
答案：
1A、-13，47，
2A、 1
1B、D
2B、-5
1C、2，4；2，4；2(x+3)(x-4)=0
2C、
§2.2 二元一次方程的解法（1）
1A、解方程：
2A、 将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ．
1B、解方程：-4（x+2）2+9（x-1）2=0
2B、X2+mx+m是完全平方式，则m=
1C、已知方程x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7的形式，那么x2-6x+q=5可以配方成
2C、x2-x+1有没有最大值或最小值，若有，请求出这个最大值或最小值。-x2+4x-5呢？
答案：
1A、x1= x2=
2A、
1B、x1= 7 x2= -0.2 ；
2B、m=0或4
1C、（x-3）2=12；
2C、有最小值、当x=0.5时，最大值是0.75；有最大值、当x=2时，最大值是-1
§2.2一元二次方程的解法（2）
1A、用配方法解方程：
x2－6x＋5＝O；
2A、用配方法解方程：
(2)x2＋2x＝1；
1B、 用配方法解方程：
(3x＋2)(2x－3)＝－5；
2B、 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 ．
1C、已知＝a（a≠0），求的值．
2C、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判定△ABC是正三角形．
答案:
1A、 2A、

x=1或x=5
1B、 (3x＋2)(2x－3)＝－5； 2B、 6或10或12




1C、 因为＝a（a≠0），所以=，即x++1=，
∴x+=-1．
∵x2+=（x+）2-2，
∴=x2++1=（x+）2+1-2
=（-1）2-1=
2C、 由已知等式两边乘以2，得
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0 拆项、配方，得 （a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0．
由非负数的性质，得 a-b=0，b-c=0，c-a=0， ∴a=b，b=c，c=a，a=b=c．
故△ABC是等边三角形．
§2．2一元二次方程的解法（3）
1A、如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.
2A、不解方程判断下列方程中无实数根的是( )
A. -x2=2x-1 B. 4x2+4x+=0; C. D.(x+2)(x-3)=-5

1B、已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程2x2－5x + 3 =0的根，求三角形的周长。
2B、 已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.
(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.

1C、在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得
到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9和-1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用适当的方法求出这个方程的根。
2C、当a取什么值时,关于x的方程ax2+4x-1=0有两个实数根?
(1)一变:当a取什么值时,关于x的一元二次方程ax2+4x-1=0有实根?
(2)二变:当a取什么值时,关于x的方程ax2+4x-1=0有实根?
(3)三变:当a取什么值时,关于x的方程ax2+4x-1=0的两根都是正数?
答案:
1A、，
2A、B，
1B、 4.5，+3或-3，2B ：x2-10x+9=0,x1=9,x2=1
1C、略，
2C、； (1) ;(2) ;(3)
§2.3一元二次方程的应用（1）
1A、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A、 B、 C、 D、
2A、某种手表，原来每只售价96元，经过连续两次降价后，现要每只售价54元。则平均每次降价的百分率是 。
1B、某食品连续两次涨价10%后价格是a元,那么原价是_______ ___.
2B、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ( )
A．x(x＋1)＝1035 B．x(x－1)＝1035×2
C．x(x－1)＝1035 D．2x(x＋1)＝1035
1C、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过800台？
2C、某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元。已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；
（2）求3月份时该电脑的销售价格。
答案：
1A、C
2A、25%
1B、
2B、C
1C、会
2C、（1）20% （2）3200

§2.3 一元二次方程的应用（二）
1A、一个两位数，个位数比十位数小2，这两个数的积比它们的和的3倍少1，则这个两位数是 。
2A、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=60㎝，BC=80㎝，点P、
Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，
它们的速度都是10㎝/s，则经过 s后，△PCQ的面积为
Rt△ACB面积的一半。
1B、要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化．设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
2B、有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若此单位恰好花费7 500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
1C、机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克。为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量而进行攻关。
（1）甲车间通过技术革新后，加式一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克。问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少？用油的重复利用率是多少？
2C、如图，直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）．
（1）求两点的坐标；
（2）用含的代数式表示的面积；
（3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为，在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？
答案
1A、75
2A、2
1B、两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．
2B、(1）应去乙公司购买；
（2）设该单位买台，若在甲公司购买则需要花费元；
若在乙公司购买则需要花费元；
①若该单位是在甲公司花费7?500元购买的图形计算器，
则有，解之得(舍去)．
②若该单位是在乙公司花费7?500元购买的图形计算器，则有，解之得，不符合题意，舍去．
故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．
1C、（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克。
（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克。用油的重复利用率是84%
2C、（1）当时，；当时，．；
（2）；
（3）当时，，
解得两个都不合题意，舍去；
当时，，解得，
综上得，当或时，为的面积的．
八下第五章《平行四边形》
§5．1 多边形（1）
1A.四边形中有三个角分别为72?，89?，65?，则第四个角的度数为______。
2A.在四边形ABCD中，∠Ａ与∠Ｃ互为补角，∠Ａ:∠Ｂ:∠Ｄ＝６:４:５，
求∠Ｃ的度数。
1B.如图，在四边形ABCD中，∠A=85°，∠D＝110 °，∠1的外角是71 °，则∠1＝____，∠2＝____。
2B.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=900，BE平分∠ABC，交CD于点E，DF平分∠ADC，交AB于点F。求证BE∥DF。


（B组第1题） （B组第2题）
1C.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C, ∠ABC=∠ADC。(1)CD∥AB (2)AD=BC。
2C.探索五边形,六边形, ……, n边形的内角和、外角和,你能否发现并找出n边形的内角和与外角和的计算规律吗?

（C组第1题）
答案：
1A. 1340
2A. 600
1B. 1090，560
2B. 在四边形ABCD中，
∵∠A=∠C=900
∴∠ABC+∠ADC=3600-900-900=1800
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线
∴∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠FDC
∴∠CBE+∠FD C=900
又∵∠CBE+∠BEC=900
∴∠FDC=∠BEC
∴BE∥DF
1C. （1）∵∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=3600
∴∠ABC+∠C=1800
∴CD∥AB
（2）连接AC
∵CD∥AB
∴∠ACB=∠CAD，∠BAC=∠ACD
∵AC=CA
∴⊿ABC≌⊿CDA
∴BE∥DF，AD=BC
2C. n边形的内角和为（n-2）×1800（n≥3）
任何多边形的外角和为3600
§5．1 多边形（2）
1A. 某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2A.一个多边形的外角都等于72°，这个多边形是几边形？
1B.在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=900,且∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C是_____度。
2B．过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形,求:
(1)这个多边形的边数； (2)这个多边形内角和的度数.
1C.一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
（C组第1题）
2C.一个内角和为1620°的多边形可连多少条对角线？
答案：
1A. D
2A. 五边形
1B. 80度
2B. （1）边数是5 （2）内角和为（5-2）×1800=5400
1C. 连接AD
∵AB∥DE， CD∥AF
∴∠EDA=∠BAD，∠FAD=∠CDA
∠EDA+∠CDA=∠BAD+∠FAD，
即∠FAB=∠CDE
同理，∠E=∠B，∠F=∠C
∵∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠FAD+∠E+∠F
=（6-2）×1800=7200
∴∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠FDC
∴∠FAB+∠C+∠E=0.5*7200=3600
2C.（n-2）×1800=16200°
n= 11
对角线的条数为：11×(11-3) ÷2=44（条）
§5．1 多边形（3）
1A.若正n边形的一个外角为600，则n的值为多少？
2A.求正八边形的各内角及外角的度数。
1B.一个正多边形的内角和等于12600，那么这个正多边形有多少条边？它的一个外角是多少度？外角和是多少度？
2B.用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放( )个三角形;用任意四边形镶嵌平面时，同一顶点处应摆放( )个四边形.
1C.如图这幅镶嵌图由集中正多边形组成？请说明它们能镶嵌平面的数学原理。
2C、探索用正多边形进行平面镶嵌总共有多少种？
答案：
1A、 n=6
2A、 各内角为1350，各外角为450。
1B、 （n-2）×1800=12600°
n=9
这个正方形是九边形。
它的一个外角是360÷9=400，外角和是3600°
2B、 6个，4个
1C、 解：由正三角形和正六边形两种正多边形组成。如果几种正多边形能镶嵌平面，那么共顶点的各个角之和为3600。图中正三角形的内角为600，正六边形的内角为1200，而600×4+1200=3600，所以构成每个共顶点的五个角之和都等于3600。
2C、
§5．2 平行四边形
1A、 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是（　　）．
A． 1∶2∶3∶4　　　B． 1∶2∶2∶1　　　C． 2∶2∶1∶1　　　D． 2∶1∶2∶1
2A、如图：△ABC中，D、E、F分别在△ABC的三边上，且DE∥BC，DF∥
AC，EF∥AB，则图中平行四边形的个数有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
1B、若一个平行四边形的一个内角平分线将它的一条对边分成
2和3两部分,则这个平行四边形的周长为__________.
2B、如图，P是平行四边形ABCD内任意一点，ΔAPD与ΔBPC的面
积之和为8，则SABCD = .
1C、如图所示：在△ABC中，∠A=600，∠B=600，∠C=700，以A、B、C
为其中的三个顶点，能得到几种不同形状的平行四边形。要求画
出图示，并写出所得到的平行四边形两个相邻内角的度数。
2C、若平行四边形PQRS的各顶点在另一个平行四边形ABCD的各边上，求证：这两个平行四边形的对角线经过同一点。
答案：
1A、D
2A、B
1B、14或16
2B、16
1C、可得3种不同的平行四边形，
相邻内角的度数分别为500、1300；700、1100；600、1200；
2C、分别连接AC、QS，两线相交于点M。
∵ ABCD、PQRS均为平行四边形
∴ ∠BAD=∠DCB，PS=QR
∵ AD∥BC，PS∥QR
∴ ∠ASQ=∠CQS，∠PSQ=∠RQS
∴ ∠ASP=∠CQR
在△APS≌△CQR中（AAS）
∴ AS=CQ
易证：△AMS≌△CMR （ AAS）
故：M是AC的中点，也是SQ的中点。
即：这两个平行四边形的对角线经过同一点
§5．3 平行四边形性质（1）
1A、□ABCD中，∠A：∠B=1:2,则各角的度数为
2A、如图，l1∥l2，AD∥BC，CD：CF=2︰1。若△CEF的面
积为10，则四边形ABCD的面积为 。
1B、如图：在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点
E，EF∥AC交BC于点F。求证：BE=CF
2B、已知平行四边形ABCD周长为60cm，对角线AC、BD交于
点O，△AOB的周长比△COB的周长少8cm，求这个平行四
边形的各边长度。
1C、如图1，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点．当四边
形ABCD满足条件______时，△PBA的面积始终保持不变
（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）．
2C、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）在图甲中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图乙中，画出一个梯形，使其两底和为5．
答案：
1A、600、1200；
2A、40
1B、由BD平分∠ABC，DE∥BC可得: △BDE中BE=DE
由DE∥BC，EF∥AC可得：DE=CF
∴ BE=CF
2B、11，19
1C、DC∥AB
2C、略
§5．3 平行四边形性质（2）
1A、?在以下平行四边形的性质中,错误的是?(?? ??)A.?对边平行???????B.?对角相等???? C.?对边相等????????D.?对角线互相垂直
2A、 如图，在□ABCD中，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，若，则的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
1B、已知点A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C为顶点画平行四边形，你能求出第四个顶点D吗？
2B、如图：在平行四边形ABCD的对角线AC交BD于点O，过O点任作直线EF，分别交线段AB、CD于点E，F。
求证：（1）OE=OF。（2）S四边形AEFD=S四边形形CFEB
1C、若平行四边形PQRS的各顶点在另一个平行四边形ABCD的各边上，求证：这两个平行四边形的对角线经过同一点。
2C、在五里河体育场前的宽为40cm绿化带上有一条路，数据如图所示。你能求出这条路的宽度吗？
答案：
1A、D
2A、A
1B、能 D(4,2) D(-5,2)、D(2,-2)
2B．（1）∵ ABCD为平行四边形
∴ ∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，OA=0C
∴ △AEO≌△COF中（AAS）
∴ OE=OF
（2）由（1）可得：CF=AE，DF=BE
∵S梯形AEDF=1/2(AE+DF)×高
S梯形CFEB=1/2(CF+EB)×高。
∴S四边形AEFD=S四边形形CFEB
1C、分别连接AC、QS，两线相交于点M。
∵ ABCD、PQRS均为平行四边形
∴ ∠BAD=∠DCB，PS=QR
∵ AD∥BC，PS∥QR
∴ ∠ASQ=∠CQS，∠PSQ=∠RQS
∴ ∠ASP=∠CQR
在△APS≌△CQR中（AAS）
∴ AS=CQ
易证：△AMS≌△CMR （ AAS）
故：M是AC的中点，也是SQ的中点。
即：这两个平行四边形的对角线经过同一点
2C、8
§5．4 中心对称
1A、下列图形中是中心对称图形的是___________
2A、下列说法错误的是（ ）
A．一条线段的中点是它的对称中心
B．正方形既是中心对称图形又是轴对称图形
C．轴对称图形的对称轴是对称点连线的垂直平分线
D．关于轴对称的两个图形，对应线段平行且相等
1B、如果一个四边形只是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么这个四边形一定是________
2B、已知四边形ABCD和O点，画出四边形ABCD关于O点的对称图形
1C、在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2C、请写出两个既是轴对称图形，又是中心对称图形的正多边形 。
答案：
1A、（1）（4）
2A、D
1B、平行四边形
2B、略
1C、B
2C、正方形（不唯一）
§5．5 平行四边形的判定（1）
1A、下列条件不能确定四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD AB＝CD B. AB＝CD AD=BC
C. AB＝CD AD∥BC D. AB∥CD AD∥BC
2A、已知：四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件
是： （只需填一个你认为正确的条件即可）。
1B、四边形中,有两条边相等,另两边也相等,则这个四边形为( )
A.一定是平行四边形 B.一定不是平行四边形
C.可以是平行四边形,也可以不是平行四边形 D.以上都不对.
2B、已知：如图 4－22，E和F是□ABCD对角钱AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
??
??
?
1C、李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.
2C、已知：如图，在四边形ABCD中，MO⊥ON，说明四边形ABCD是平行四边形．
答案：
1A、C
2A、AB＝CD或AD∥BC
1B、C
2B、说明△ADE≌△CBF，△ABE≌△CDF得到DE=BF，BE=DF
1C、如图所示:
2C、由勾股定理得x=8 得到两组对边相等

§5．5 平行四边形的判定（2）
1A、下列条件中，能说明四边形是平行四边形的是（ ）
A.一组对边平行，一组对角相等 B.一条对角线平分另一条对角线
C.一组对边平行，另一组对边相等 D.一组对边平行，一组对角互补
2A、如图，D是⊿ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=AC，
FC∥AB，试说明：四边形ADCF是平行四边形。
1B、如图点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD、②BC∥
AD、③AB=CD、④BC=AD、⑤∠A=∠C、⑥∠B=∠D这六个条
件中任取两个，能说明ABCD是平行四边形的有 种选法，分别是：
2B、如图：等边三角形ABC中，P是内部一点，PE∥BC ，PF∥AC，
PD∥AB，试说明：PD+PE+PF=AB
1C、已知点A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C为顶点
画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____________（写出所有情况）
2C、已知：如图，∠1=∠2，BE∥MF，EF∥AB．求证：AF=BM．
答案：
1A、 A
2A、说明△ADE≌△CFE得到DE=FE，再通过对角线相互平分说明
1B、9 ①② ①③ ①⑤ ①⑥ ②④ ②⑤ ②⑥ ③④ ⑤⑥
2B、延长FP交AB于点G说明DP=AG，PE=PG，FG=BG，即PF+PE+PD=PF+PG+AG=BG+AG=AB
1C、（4，2） （2，-2） （-4，2）
2C、说明∠AEF=∠1=∠2 ，AF=EF ，在说明四边形BEFM是平行四边形，EF=BM
§5．6 三角形的中位线
1A、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中的，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠ CBD=24°，∠ADB=60°,则∠PFE= °
2A、如图，在△MBN中，BM=8、BN=6，点A、C、D分别是MB、NB、MN的中点，则平行四边形ABCD的周长是（ ）
A.14 B.18 C.16 D.32
1B、如图，已知AG⊥BD,AF⊥CE,BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3,GC=4.则△ABC得周长为 .
2B、在△ABC中,M是BC中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，且AB=10，AC=16.求MN的长度。
1C、如图，正方形ABCD中，AB=8、Q是CD的中点，设∠DAQ=x ,在CD上取一点P，使∠BAP=2x，则CP的长是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.
2C、已知：如图AD是△ABC的BC边的中线，BE垂直平分AD，垂足为O，且BE交AC于点E，BE=4，AO=2,求AC的长.
答案：
1A、18
2A、A
1B、30
2B、3
1C、B （提示：AP=BC+CP,然后用代数方法）
2C、如图，△ABC中，∠B的平分线BE与BC边的中线AD垂直，且BE=AD=4.求△ABC三边的长.
2C、作DF∥BE交AC于F，则,,,,
,,,由，得,
§5．7 逆命题和逆定理（1）
1A、下列说法中，正确的是（ ）
A.每一个命题不一定都有逆命题 B.每个命题逆命题的真假和原命题一样
C.真命题的逆命题仍是真命题 D.假命题的逆命题未必是假命题
2A、（1）写一个命题，要求它的逆命题是真命题，
（2）写一个命题，要求它的逆命题是假命题。
1B、写出命题“等边三角形是有一个角为60°的等腰三角形”的逆命题，并证明这个命题是真命题。
2B、如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，但AD≠CD,我们称这样的四边形为“半菱形”，小明说“半菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”。你认为这是真命题吗？请你判断并证明你的结论。
1C、定理“正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对
角”的逆命题有下形几种说法，其中下确的是（ ）
A.对角线互相垂直的平行四边形是正方形。
B.对角线相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是正方形。
C.对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角的四边形是正方形。
D.对角线互相垂直平分且相等，且每条对角线平分一组对角的四边形是正方形。
2C、已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC ④∠ABC=∠ADC;
(1)请从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为真命题，请对你所构造的真命题给予证明；
（2）能否从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为假命题？若能，请写出一个满足条件的假命题，并举反例说明。
答案:
1A、D
2A、(2)两直线平行，同位角相等。（2）对顶角相等。
1B、逆命题为：有一个角等于60°的等腰三角线是等边三角形。
证明：若60°角为顶角，则底角为60°，为等边三角形；若底角为60°，则顶角为
60°，为等边三角形。
2B、是真命题。根据已知写出已知求证并写出证明过程。证明提示，易证AC⊥BD,从而得四
边形ABCD的面积为
1C、D
2C、（1）①②或①④或（证明提示用全等）
（2） ①③（等腰梯形）
§5．7 逆命题和逆定理（2）
1A、命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 。
2A、已知命题“平行四边形一组对边平行，另一组对边相等”写出这个命题的逆命题，判断原命题和逆命题的真假，并说明理由。
1B、已知△ABC的三条边长分别为，判断△ABC是不是直角三角线，并说明理由。
2B、已知命题“等边三角形的三条高相等”写出这个命题的逆命题，判断逆命题的真假，并说明理由。
1C、写出命题“在三角形中，钝角所对的边最大”这一命题的逆命题。并判断逆命题的真假，说明理由。
2C、已知a,b,c是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状。
解：∵,①
∴②
∴③
∴△ABC是直角三角形。④
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
（2）错误的原因是 ；
（3）本题正确的结论是 。
答案:
1A、逆命题是：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
2A、逆命题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
是假命题。因为梯形满足上述条件
1B、是直角三角形。因为
2B、逆命题：三条边上的高相等的三角形是等边三角形。
是真命题。根据面积不变性， ∴
1C、逆命题是：在三角形中，最大边所对的角是钝角。假命题，反例如：直角三角形中，最大边所对的角是直角。
2C、（1）③ （2）没考虑的情况 （3）直角三角形或等腰三角形。
八下第六章《特殊平行四边形与梯形》
§6．1 矩形（1）
1A．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线所加的锐角的度数为_____度.
2A.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E，且∠CAE=45°，求∠BAE
的度数.
1B.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边 BC、AB上的点，
且AE平分∠BAD，EF⊥ED.求证：EF=ED
2B.如图所示，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，且AE=AD，
求∠DEC的度数.

1C.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC．若
AB=10，BC=12，求图中阴影部分的面积为．
2C.自己来设计：现有一个长为40cm，宽为30cm的矩形木板，要求将它切割拼接改成宽慰
20cm的长方形平板（利用率高，没有余料）作书架铺板用，试试看怎样拼接，如果改成
宽为另一长度呢？自己设计，要求没有余料且拼接牢固.
2C.答案提示: 按上图虚线处切割，把下一部分向右推20 cm，再向上推10cm即可.
自己设计：可按宽为25m，方法同上，见上右图，拼接方法同上.

§6．1 矩形（2）
1A．农村家庭建房打地基时，不像城市盖大楼有专门的仪器放样，他们往
往采用土办法，先用绳子拉成四边形，分别量出房基的长a和宽b（如
图），但还要一道重要的工序，才能保证房基是矩形.你能根据所学知
识说出这道工序吗？请说明理由.
2A.如图□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB, ∠ABC, ∠BCD,
∠CDA的平分线AQ与BN交于点P，CN与DQ交于点M. 求证：四边
形PNMQ为矩形.
1B.如图，在□ABCD纸片中，AC⊥AB于点A，AC与BD相交于O，将△ABC
沿对角线翻转180°，得到△AB′C.
（1）求证：以A、C、D、B′四点为顶点的四边形是矩形.
（2）若四边形ABCD面积S为12cm2，求翻转后纸片重叠部分的面
积即S△ACE.
2B.如图，已知□ABCD中，E、F为直线BC上两点，DE与AF相交于
点O，BE=CF，∠E=∠F. 求证：
（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形.
1C.如图：设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PEAC于
点E，PF⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF 于点G，延长GP并在
其延长线上取一点D，使得PD=EF，连结CD.求证：CD⊥AB.
2C.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，P点在AD边上以每秒1cm
的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出
发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，在这
段时间内，四边形ABQP有多少次为矩形？
答案提示：
1A．由两边分别相等的四边形是平行四边形可知上图是平行四边形.只要其对角
线相等就可判定该四边形是矩形，所以重要的一道工序应该是使对角线相等.
2A. 1B. 2B. 1C. 2C.略
§6．1 矩形（3）
1A．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，∠B=58°. 求∠BDC和∠ACD的度数
2A. 如图，在Rt△ABC中，AD⊥BC于点D，E、F分别是AB、AC的中点，若△DEF的周长为13，求△ABC的周长.
1B. 如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE为6cm.
求△ABC的面积.
2B.如图，AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点，GF⊥DE于点F. 求证：EF=FD.
1C. 如图，已知□ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又知∠BED是直角. 求证：四边形ABCD是矩形.
2C.已知：如图，AB 与直线l相交于一点，过点A、B分别作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，M为AB的中点，连结MC、MD. 求证：MC=MD.
§6．2 菱形（1）
1A． 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2A.如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE=DF，连结EC、FC. 求证：EC=FC.
1B.已知菱形的周长是40cm，一边的高与菱形边长之比为，求菱形的两条对角线分别为多少？
2B. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF. 求∠CDF的度数.
1C. 已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方的倍.（如图）（1）求的度数；（2）若AB=4，E在BC上，BE=2，P点在BD上，求PE+PC的最小值.
2C.如图，已知□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，连结EF，AG//BD交CB的延长线于点G. 若四边形BEDF是菱形，则图中除□ABCD、菱形BEDF外，其他还有特殊四边形吗？若有，则证明你的结论.
§6．2 菱形（2）
1A． 如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．
2A.已知线段a、b，如图，请用直尺和圆规作一个菱形，使它的一条对角线为a，边长为 b.
1B.已知如图，过矩形ABCD的顶点作CE//BD交AB的延长线于点E，F为CE的中点，连结BF，BD与AC交于点O. 求证：四边形COBF为菱形.
2B. 如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；依此类推，这样做的第个菱形的边的长是 ．
1C. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD（1）求证：四边形CD C′E是菱形；
（2）若BC=CD+AD，试判断C′C与AB的位置关系.
2C.如图：在平面直角坐标系xoy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED，连结AC，过B作BG//CD交OC于点G，交AC于点H，且，.
（1）当°时，求证：四边形BHCD为菱形；
（2）在（1）条件下，求直线BG的解析式.
§6．3 正方形
1A．(只填序号)顺次连结平行四边形各边中点得到的四边形是___________；顺次连结菱形各边中点得到的四边形是___________；顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是___________；如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结其各边中点得到的四边形是___________。 （①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形）
2A.（1） 如图（1），正方形ABCD的边长为4cm，则阴影部分的面积为_____________cm2.
（2）如图（2），正方形是由k个相同的长方形组成，上、下个有两个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k=__________________.
1B.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：AP=EF．
2B.如图，过正方形ABCD的顶点A作直线，于BC延长线交于点F，与BD、CD分别交于点N、E，M是EF的中点，试猜想CM与CN的位置关系，并加以证明.
3B. 如图，正方形内有两条相交线段、、、、分别在边、、、上，小明认为：若则．小亮认为：若，则．你认为谁对，请说明理由。
1C. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=Rt∠，在三角形外作正方形ACDE和正方形BCGF，过点C做AB的垂线，交DG于点M，垂足为H，求证：（1）DG=AB ；（2）2CM=DG.
2C. 如图，四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，点F在BE上，求证：AE、AF三等分∠BAC.
3C.如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45○，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，（如图1）易证BM+DN=MN.
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（如图2）线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量
关系？请直接写出证明.

§6．4 梯形（1）
1A．已知四边形ABCD是等腰梯形，CD//BA，四边形AEBC是平行四边形，
求证：∠ABD =∠ABE.

2A. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延长CB至E，使EB=AD，
连结AE、AC. 求证：AE=CA.
1B.（1）已知梯形的上底长为3，下底长为7，则梯形的中位线把梯
形分成的两个梯形的面积比为__________________.
（2）如图，梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，则该梯形的中位线的长等于_____________cm，梯形ABCD的面积等于________________cm2.
（3）作一条直线平分如图所示梯形的面积，请尽可能多地尝试不同的
分割方法.
2B. 如图，梯形ABCD中，∠A=90°，EF是中位线，EG⊥BC，G为垂足，已知，求证：
1C.如图，等腰梯形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB=60°，E、F、G分别是OA、BC、OD的中点. 求证：△EFG是正三角形.
2C.如图，在△ABC中，P是BC上任意一点，D、E、F分别是BC、AC、AP的中点，G是DF的中点，直线EG交BC于M. （1）求证：M是BP的中点；（2）已知BC=6，△ABC在BC上的高线长为4，设，梯形MCEF的面积为，求与的关系式及的取值范围；（2）当点P在什么位置时，梯形MCEF的面积为△ABC的面积的一半.
§6．4 梯形（2）
1A．如图，在△ABC中， E、F、D分别是AB、AC、BC的中点，AH⊥BC，垂足为H. 试证：四边形EFHD为等腰梯形.
2A. 已知直角梯形中，．点在上移动，则当取最小值时，中边上的高为（ ）
A． B． C． D．3
1B. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，BD平分∠ABC，且与中位线MN交于点P，已知 MP=3，PN= 2，求BD的长.
2B.如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是CD上一点，AE、BE分别平分∠BAD，∠ABC，求证：AB=AD+BC.
3B. 如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠B=45°，BC的中垂线与DA的延长线交于点F，与AB 交于点G，垂足为E，若，求DF的长.
1C. 如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB+CD=3，求证：AC⊥BD.
2C. 如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形．
答案提示：
2C.（1），，．
由沿折叠后与重合，知，．
四边形是矩形，且邻边相等．
四边形是正方形．
（2），且，四边形是梯形．
四边形是正方形，，．
又点为的中点，．连接．
在与中，，，，
，．
，，四边形是平行四边形．
．．．
四边形是等腰梯形．
注：第（2）小题也可过点作，垂足为点，证．
八下第四章《命题与证明》
§4．1定义与命题
1A．“1+2=4”，是不是命题？
2A “两点之间，线段最短”，是不是命题？
1B. 给下图命名，并给出名称的定义
2B.指出命题“对顶角相等”的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式。
1C．指出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的题设与结论，并画图，写出已知、求证。
2C.下列四个命题中条件与其它三个命题的条件不相同的命题是（ ）
（A）全等三角形的对应边相等；
（B）全等三角形的对应角相等；
（C）有三边对应相等的两个三角形全等；
（D）全等三角形对应边上的高相等。
答案：
1A. 是
2A. 是
1B. 三角形：三条线段首尾顺次相连组成的图形。
2B. 条件：有两个角是对顶角。结论：这两个角相等。
如果有两个角是对顶角，那么这两个角相等。
1C. 题设：两条线段是等腰三角形两条腰上的高。结论：这两条线段相等。
2C. C
§4．2 定义与命题（2）
1A.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是 ( )
A．三个角的比为1∶2∶3 B．三条边满足关系a2＝b2－c2
C．三条边的比为1∶2∶3 D．三个角满足关系∠B＋∠C＝∠A
2A. 填空，使下列各句成为真命题。
（1）如果，那么
（2）如果点M是线段AB的中点，那么AM= AB
（3）在四边形ABCD中，如果AB∥CD，，那么
1B. 下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两直线平行；④垂直于同一条直线的两直线垂直，其真命题的是（填序号）
2B. 若a2﹥b2,则a﹥b。这个命题是真命题还是假命题？请说明理由。
1C. 判断下列命题的真假。
（１）．有一个角是４５°的直角三角形是等腰直角三角形。
（２）．能被2整除的数也能被4整除。
（３）．两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
（４）．若a∥b,b∥c,则a∥c
2C. 命题“x=1是方程x2-2x-3=0的解”是真命题还是假命题？请说明理由。
答案：
1A. C
2A. （1）∠2=∠3 （2） （3）AD∥BC
1B. ①、③
2B. 假命题
1C. （1）真命题 （2）假命题 （3）假命题 （4）真命题
2C. 假命题
§4．3证明（一）
1A．命题“若a>b，则a|c|>b|c|”是真命题还是假命题？请说明理由。
2A．已知：如图四边形ABCD中，∠A=∠C，AB//CD。求证：AD//BC。
1B．证明命题“一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个
角相等”是真命题还是假命题？若是真命题，请说明理由。若是假命题，
请修改命题的结论，使它成为真命题，并说明理由。
2B．证明命题“一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形”是真命题。
1C．如图，在ΔABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC。求证：ΔPDE的周长是定值。
2C．（1）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F是AD、BC上两点，点P是CD边上的一点（不包括端点），求证：∠EPF=∠DEP+∠CFP。
（2）若点P在线段DC的延长线上，那么∠EPF=∠DEP+∠CFP还成立吗？画出图形，进行探究。如果成立，请给予证明；如果不成立，猜想∠EPF、∠DEP、∠CFP之间的数量关系，并给于证明。
（3）若点P在边AB上，那么∠EPF=∠DEP+∠CFP还成立吗？画出图形，进行探究。如果成立，请给予证明；如果不成立，猜想∠EPF、∠DEP、∠CFP之间的数量关系，并给于证明。
答案：
1A.假命题。证明略
2A.证明略
1B.把结论改成这两个角相等或互补。
2B.证明略
1C.ΔPDE的周长是BC的长。
2C.（1）过点P作PH//AD，交AB于点H。证明略
（2）∠EPF=∠DEP-∠CFP
（3）∠EPF+∠DEP+∠CFP=360°.
§4．4证明（2）
1A. 如图在ΔABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB
于点E，观察直线AD与线段CE，你能写出它们的关系吗？利用
所学的知识，证明你的观察结果。
2A. 已知：如图△ABC、△ADE都是等边三角形，
（1）求证：CD＝BE
（2）求直线CD,BE所夹锐角的度数
1B.已知:如图，AD是三角形纸片ABC的高。将纸片
沿直线EF折叠，使点A和点D重合。求证：EF∥BC.
2B.上题中如果E、F分别是AB，AC的中点.将纸片沿直线EF折叠，使点A和点D重合，求证：AD是△ABC的高
1C. 如图，AB、CD 相交于E， AD＝AE,
CB＝CE,F、G、H 分别是DE、BE、AC
的中点．求证：HF＝HG
2C. 上题中若∠FHG=1000,求直线AF,CG所夹锐角的度数
答案：
1A. AD⊥CE
2A. （1）、略 （2）、60度
1B. 略.
2B. 略
1C. 略
2C. 40度
§4．5证明（3）
1A．已知，如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD。
求证：AB∥CD，AD∥BC。
2A．如图，OA=OD，且OD⊥AB，OC=OB，求证AE⊥BD。
1B．已知，如图，把两张全等的直角三角形纸片ADE和ACB
叠成如图形状。BE和CD平行吗？请证明你的判断。
2B．如图，已知点B，D，E，C在同一条直线上，
且∠1=∠2，BD=EC。求证:△ABE≌△ACD。
1C. 已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，O是
BC边的中点，D，E分别是AB，AC上的点，AE=BD，
求证：OE=OD。
2C．在△ABC中，∠ABC=45，H是高AD，BE的交点。
（1）当∠BAC为锐角时，求证BH=AC。
（2）当∠BAC为钝角时，其他条件不变，请画出符合
要求的图形，这时BH=AC还成立吗？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由。
答案：
1A．证明：连接AC或（BD）
在△ADC和△CBA中，
∵AD=BC，DC=BA，AC=CA，
∴△ADC≌△CBA
∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA；
∴AB∥CD，AD∥BC
2A．证明：∵OD⊥AB,
∴∠DOB=∠AOC=90,
又∵OA=OD,OC=OB,
∴△AOC≌△DOB
∴∠A=∠D,
又∵∠B+∠D=90,
∴∠A+∠B=90,
∴∠AEB=90,
∴AE⊥BD
1B．结论：BE∥CD
证明: ∵△AED≌△ABC,
∴AD=AC,AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB.
∵∠A+∠ABE+∠AEB=180,
∴∠ABE=∠AEB=90-1/2∠A.
同理, ∠ADC=∠ACD=90-1/2∠A.
∴∠ABE=∠ADC,
∴BE∥CD
2B．证明: ∵∠1=∠2
∴AD=AE.
∵BD=CE,
∴BE=CD.
∴△AEB≌△ADC (SAS)
1C.证明: 连接AO.
∵AB=AC, O是BC边的中点,
∴∠BAO=∠CAO.
∵∠BAC=90, AO⊥BC
∴∠B=∠C=45,BO=AO=CO.
∵AO⊥BC
∴∠BAO=∠CAO=45,
∴∠B=∠CAO=45.
∵AE=BD,
∴△BDO≌△AEO (SAS)
∴OD=OE.
2C．证明:(1) ∵∠ABC=45,
∴BD=AD.
∵H是高AD，BE的交点,
∴∠ADC=∠BDH=90,
∴∠C+∠CAD=90,∠C+∠CBE=90,
∴∠CAD=∠CBE.
∴△BDH≌△ADC (SAS)
∴BH=AC.
(2)图略.
(3)HB=AC仍然成立,同理可证.
§4．6 反例与证明
1A．一个三角形中的内角是锐角的至少有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2A．以下可以用来证明命题“对于自然数n，代数式n2-3n+7的值都是素数”是假命题的反例
的是（ ）
A．n=3 B．n=4 C．n=5 D．n=6
1B．有下列命题：①不论p为何值，一元二次方程x2+px-1=0必定有两个不相等的实数根；②有一个角为60°的三角形为等边三角形；③两个无理数的和是无理数；④a，b，c是三角形的三条边，若a2+b2≠c2，则这个三角形不是直角三角形．其中假命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2B．举反例说明下列命题是假命题：
（1）已知x与y是实数，则有│x+y│=│x│+│y│．
（2）等腰三角形边上的中线、高线、角的平分线互相重合．
（3）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．
1C．当n=0，1，2，3，4，5时，代数式n2-4n-12的值都是负数吗？你是否能得出结论：对
于所有的自然数n，n2-4n-12的值都是负数？为什么？
2C．取一张长方形纸片进行折叠，具体操作如下：
第一步：先把长方形ABCD对折，折痕为MN，如图1所示；
第二步：再把B点叠在MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B1，得Rt△AB1E（如图2所示）；
第三步：沿EB1折叠得折痕EF，EB1的延长线交AB于点F（如图3所示）．
利用展开图4探究△AEF是什么三角形，证明你的结论．
答案：
1A. B 2A. A 1B. B 2B．（1）x=1，y=-1 （2）画图略 （3）画图略 1C．是的，不是，当n≥6时n2-4n-12≥0 2C．△AEF是等边三角形，只要证△AEB1≌△AFB1
§4．7 反证法
1A．写出下列结论的反面情况：
（1）a∥b；（2）AB=CD；（3）x是负数；（4）a>b；（5）∠A是锐角；
2A．否定结论“至多有两个解”的说法，以下正确的是（ ）
A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解
1B．用反证法证明：三角形的三个内角中至少有两个锐角.
2B．用反证法证明：若xy=0,则x、y中至少有一个等于0.
1C．你能谈谈举反例与反证法的区别吗？
2C．（小组合作完成）甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：
A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军．
其中每个人都只说对一句，说错一句．你知道五人各获哪项冠军吗？
答案：
1A. （1）a不平行b；（2）AB≠CD；(3)x是非负数；（4）；（5）∠A是直角或钝角。
2A. C
1B. 略
2B. 略
1C. 略
2C. 甲100米冠军；乙200米冠军；丙跳远冠军；丁跳高冠军；戊铅球冠军。

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