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动态圆问题磁聚焦和磁发散问题
题型01 放缩圆模型
1.(2026·湖南衡阳·模拟预测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=cd=2L，bc=de=L，一束带正电的粒子，在纸面内从a点垂直于 ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为q。在磁场中运动时间最长的粒子的速率为( )
2.(2026·甘肃渭南·模拟预测)如图所示，直角边长度为L的等腰直角三角形AOC内部，存在垂直于纸面向里的匀强磁场.磁感应强度大小为B。在AO边上距O点 位置处有一粒子源P，能垂直AO边沿纸面向磁场内部发射质量为m、电荷量为q的负粒子，粒子射入磁场的速率v大小可调，忽略粒子所受重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的时间不可能小于
B.粒子在磁场中运动的时间可能为
C.粒子在磁场中运动的时间可能为
D. 若 ，粒子在磁场中的运动时间为
3.(2026·河北沧州·二模)如图所示，空间中存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，△B DF为磁场中一等边三角形区域，C为B D边的中点，E为DF上一点， 一比荷为k的带电粒子从A点沿AB 的垂线方向射入磁场，改变入射速度的大小，使粒子分别经过C、E点，若粒子从A点运动到C点的时间和从A点运动到E点的时间相等，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A.粒子从A点运动到C点的时间为 B.若粒子经过C点，则入射速度大小为2kBL
C. D点和E点间的距离为 D.若粒子经过E点，则入射速度大小为 kBL
4.(2026·重庆沙坪坝·模拟预测)如图所示，在实线ACODE以上的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B,AC=OC=OD=DE=L,∠COD=60°。磁场边界A点有一粒子源,能射出质量为m、电荷量为+q的带电粒子，粒子以不同的速率垂直AC进入磁场，则从CO及OD边界射出磁场的粒子( )
A.在磁场中运动的时间最长是 B.在磁场中运动的时间最长是
C. OD边界上有粒子射出的长度为 D. OD边界上有粒子射出的长度为
题型02 旋转圆模型
5.(2026·河南郑州·模拟预测)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，以圆心O为原点建立直角坐标系，x轴上P(0.5R，0)点处有一粒子源，能向纸面内各个方向发射质量均为m、电荷量均为+q的带电粒子，粒子的速率均为 若E点、F点分别是圆弧上有粒子射出的最上端点和最下端点，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A. E点坐标为
B. F点坐标为
C.飞出磁场的粒子中，在磁场中运动的最短时间为
D.飞出磁场的粒子中，在磁场中运动的最长时间为
6.(2026·安徽阜阳·二模)如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率为v 的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的半径为
B.粒子的比荷为
C.由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120°
D.从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为
7.(2026·云南楚雄·三模)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。PQ是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的足够长的挡板，挡板的Q端与O点的连线与挡板垂直，距离为 。设打在挡板上的粒子全部被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力。则( )
A.板上有粒子打到的范围长度
B.打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为
C.打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为
D.打在挡板上的粒子占所有粒子的
8.(2026·云南昆明·模拟预测)如图所示，直角三角形 abc中∠a=30°，ac=L，其区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源向磁场区域内各个方向发射速度大小为 的带正电的粒子，粒子的质量为m、带电量为+q，不考虑粒子的重力和相互间的作用力，下列说法正确的是( )
A. ac边上各处均有粒子射出
B. ab边上有粒子射出的区域离a点的最大距离为
C.从ab边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 6qB
D.垂直于 ab边发射的粒子在磁场中运动的时间最长
题型03 平移圆模型
9.(2025·贵州·模拟预测)如图，在xOy平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域abc，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向里。大量质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子以速度 从y轴上 ab间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
10.如图所示，在xOy平面内有以O点为圆心、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B，在x=2R处有一垂直于x坐标轴的足够长的挡板，一宽度为d(未知)且关于y轴对称的质子束，以一定的速度平行于y轴射入圆形磁场，偏转后所有质子都经过P点射出磁场，挡板上有质子打到的区域关于x坐标轴对称，长度为 已知质子质量为m、带电荷量为e，忽略质子重力及质子间的相互作用，则质子束的宽度d为( )
A. R
11.如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的点， A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出，O点处也有磁场)，磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率 从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出磁场中的运动。下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的轨道半径为R B.从CO射出磁场的粒子运动时间不同
C.粒子在磁场中运动的最长时间为 D.粒子可能从圆弧边界射出
12.(多选)如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是( )
A.等腰三角形BAC中AB边的长度为
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为
D.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
题型04 磁聚焦和磁发散
13.如图所示是粒子流扩束技术的原理简图。正方形区域I、II、III、IV对称分布，一束速度相同的质子束射入后能够实现扩束，四个区域内有界磁场(边界均为圆弧)分布可能正确的是( )
14.如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，O为圆心，AB为水平方向直径，OC为竖直方向半径，D为圆周上一点，且∠DOA=30°,AB上方有大量质量均为m，电荷量均为-q的带电粒子水平向右射入磁场，经磁场偏转后所有粒子均从C点射出磁场，不考虑粒子自身重力，则下列说法中正确的是( )
A.匀强磁场的磁感应强度大小为
B.各带电粒子在磁场中运动的时间相同
C.各带电粒子从C点射出时的速度方向相同
D.从D点射入的带电粒子在磁场中运动时会经过圆心O
15.(多选)如图所示，在xOy坐标系的第三、四象限有一半径为L的圆形区域，圆心O'位于y轴上的y=-L处，圆形区域内存在垂直坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B，在 处有一足够大的接收屏垂直y轴放置，在x轴与接收屏之间的区域存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为B。在-2LA.电子的速度大小均为v=kBL
B.圆形区域内磁场方向垂直坐标平面向里
C.接收屏上有电子击中的长度为
D.接收屏上有电子击中的长度为
16.(多选)如图，空间中一半径为R的圆形区域(包括边界)内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场左侧宽度为R的区域里，大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A点沿 AO方向射入的粒子，恰好能从圆形磁场最高点M点飞出，已知过A、O两点的直线水平且是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
8
A.粒子做圆周运动的半径为R B.粒子的初速度大小为
C.粒子在磁场中运动的最短时间为 D.粒子在磁场中运动的最长时间为
17.(多选)如图所示，半径为R的圆形区域的圆心位于直角坐标系的坐标原点O，该圆形区域内有垂直于坐标平面的匀强磁场(未画出)，在y<-R区域存在沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，磁场区域外右侧有宽度为 R的粒子源，M、N为粒子源两端点，M、N连线垂直于x轴，粒子源中点P位于x轴上，且均匀持续向x轴负方向发射质量为m、电荷量为+q(q>0)、速率为v的粒子，已知从粒子源中点P发出的粒子，经过磁场后，恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场。不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A.所有进入圆形磁场区域的粒子都要经过Q点离开
B.粒子在圆形磁场区域运动的最长时间为
C.粒子进入电场后，再次经过y轴的最长时间为
D.粒子进入电场后，再次经过y轴时距离O点的最大距离为
18.(多选)如图为一种新型粒子装置，粒子源放置在水平面上长为3L、宽为
9
2L的矩形 abcd的中心O，矩形内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，粒子源向水平面各个方向持续均匀发射比荷为 的带正电粒子，速度大小限制在2v 到3v 之间，不计粒子源的尺寸、粒子间相互作用和粒子重力。下列说法正确的是( )
A.若所有粒子均不射出磁场，则B的最小值为
B.若所有粒子均不射出磁场，则B的最小值为
C.若所有粒子均射出磁场，则B的最大值为
D.若所有粒子均射出磁场，则B的最大值为
19.(多选)如图所示为磁谱仪的工作原理示意图。在纸面内建立xOy坐标系，在y≥0的区域内分布着磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，O点有一粒子源，不断沿垂直磁场方向发射质量为m、电量为+q的带电粒子，所有粒子发射的速率范围为( 1.1v ，速度方向被限制在以y轴为中心轴、左右偏移φ的小角度内。O点右侧沿x轴放置一足够长荧光屏P，所有粒子经磁场偏转后都打在荧光屏P上。不计粒子重力，已知sinφ≈0.2，cosφ≈0.98，下列说法正确的是( )
A.所有粒子运动过程中距离x轴最远位置的y坐标最大值
B.所有粒子运动过程中距离x轴最远位置的y坐标最小值
C.所有粒子打在荧光屏上区域的长度为
D.所有粒子打在荧光屏上区域的长度为
20.如图，在竖直平面内的 Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为 不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则( )
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
21.如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N水平固定，间距为d，M板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角θ=60°时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知OQ=3L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是( )
A.粒子一定带正电
B.若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小
C.粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为7L
D.粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为
动态圆问题磁聚焦和磁发散问题
题型01 放缩圆模型
1.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=cd=2L，bc=de=L，一束带正电的粒子，在纸面内从a点垂直于 ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为q。在磁场中运动时间最长的粒子的速率为( )
【答案】A
【详解】粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，满足 故粒子做圆周运动的半径 粒子做圆周运动的周期 粒子在磁场中转过角度θ所需要的时间 联立解得t
由此可知，粒子在磁场中运动的时间与转过的圆心角成正比，设粒子的运动轨迹过 bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当∠Oag最大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长；由几何关系可知当c点与g点重合时，粒子运动时间最长，如图所示
设运动半径为R，则有 解得 代入粒子做圆周运动的半径表达式 解得 故选A。
2.如图所示，直角边长度为L的等腰直角三角形AOC内部，存在垂直于纸面向里的匀强磁场.磁感应强度大小为B。在AO边上距O点 位置处有一粒子源P，能垂直AO边沿纸面向磁场内部发射质量为m、电荷量为q的负粒子，粒子射入磁场的速率v大小可调，忽略粒子所受重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的时间不可能小于
B.粒子在磁场中运动的时间可能为
C.粒子在磁场中运动的时间可能为
D.若 粒子在磁场中的运动时间为
【答案】D
【详解】A.若粒子的运动速度趋向于无穷大，则其运动的半径趋向于无穷大，粒子几乎不做偏转从AC边飞出，则其在磁场中运动的时间趋向于0，故A错误；
BC.粒子在磁场中做圆周运动，周期满足
故在三角形AOC内部做部分圆周运动所用的时间与粒子转过的圆心角有关。若粒子速度较大，粒子从AC边飞出，其临界情况为粒子的圆周运动轨迹与AC边相切，粒子在磁场中运动的时间为 当粒子速度略小于该临界情况，则其从OC边飞出，转过的圆心角为钝角；当粒子速度逐渐减小至粒子垂直于OA边出射，其在磁场中运动的时间最长，对应转过的圆心角为180°，所用时间为 综上不存在粒子在磁场中转过60°出射，用时 的情况，故BC错误；
D.粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力充当圆周运动的向心力，满足
当粒子的速度
可知其运动半径为
运动轨迹如图所示
由图可知
粒子轨迹圆的圆心D到AC边的距离为
故粒子不会从AC边飞出，另外出射点E到O点的距离为
可知∠EDO=60°
故粒子在磁场中转过的圆心角为120°，粒子在磁场中的运动时间为 故D正确。
故选D。
3.如图所示，空间中存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，△B DF为磁场中一等边三角形区域，C为B D边的中点，E为DF上一点， 一比荷为k的带电粒子从A点沿AB 的垂线方向射入磁场，改变入射速度的大小，使粒子分别经过C、E点，若粒子从A点运动到C点的时间和从A点运动到E点的时间相等，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A.粒子从A点运动到C点的时间为 B.若粒子经过C点，则入射速度大小为2kBL
C. D点和E点间的距离为 D.若粒子经过E点，则入射速度大小为 kBL
【答案】D
【详解】AB.粒子从A点运动经过C点的路径如图所示
3
由题意可知，B 点到A点和到C点的距离均为L，则B 点为圆周运动的圆心，根据几何关系可知，圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律可得
解得
粒子从A点运动到C点对应的圆心角为θ=120°
粒子在磁场中运动的周期为
粒子从A点运动到C点的时间为 故AB错误；
CD.粒子在磁场中运动的周期为
即粒子在磁场中运动的周期与速度大小无关；因为粒子从A点运动到C点的时间和从A点运动到E点的时间相等，即粒子从A点运动到C点对应的圆心角和从A点运动到E点对应的圆心角相等，则粒子从A点运动到E点的轨迹如图
即△OEF为等边三角形，则 ,又因为OE=OF,所以AF=3L=2r ,B O=DE
解得 根据牛顿第二定律可得 解得 故C错误，D正确。
故选D。
4.如图所示，在实线ACODE以上的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B,AC=OC=OD=DE=L,∠COD=60°。磁场边界A点有一粒子源，能射出质量为m、电荷量为+q的带电粒子，粒子以不同的速率垂直AC进入磁场，则从CO及OD边界射出磁场的粒子( )
A.在磁场中运动的时间最长是 B.在磁场中运动的时间最长是
C. OD边界上有粒子射出的长度为 D. OD边界上有粒子射出的长度为
【答案】D
【详解】A.如图所示
带电粒子从C点或D点射出磁场时，运动时间最短，有
由 解得 A错误；
B.如图所示
带电粒子运动轨迹与OD相切，从OC边界射出磁场时，运动时间最长设若粒子从切点F射出，有 解得 但粒子经过F点后，还要继续运动，从OC边射出，则 B错误；
CD.根据几何关系可知，当R=L时，粒子轨迹过D点，从D点射出。当粒子从切点F射出，粒子打在OD上离D点最远。由几何关系 解得 OD上有粒子射出的长度为x= 故C错误，D正确。故选D。
题型02 旋转圆模型
5.如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，以圆心O为原点建立直角坐标系，x轴上P(0.5R，0)点处有一粒子源，能向纸面内各个方向发射质量均为m、电荷量均为+q的带电粒子，粒子的速率均为 若E点、F点分别是圆弧上有粒子射出的最上端点和最下端点，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A. E点坐标为
B. F点坐标为
C.飞出磁场的粒子中，在磁场中运动的最短时间为
D.飞出磁场的粒子中，在磁场中运动的最长时间为 π/ qB
【答案】C
【详解】A.由洛伦兹力提供向心力得
解得
最上端临界轨迹圆与磁场边界内切。设其圆心为(CE,则
且 又 故三角形OPCE为等边三角形，
内切点E在射线OCE上,且OE=2OCE,所以 故A错误；
B.轨迹半径仍为 设任一出射点Q的坐标为(x,y),由OQ=R,得
且轨迹弦长满足PQ≤2r=R，因此
解得 在下半圆的可出射弧段中，最低点对应 此时
且PF=R=2r，所以PF为轨迹圆的直径。图示轨迹从P到F之间均在磁场内， 为首次出射点，故B错误；
(a)最上端E：轨迹圆与磁场边界内切 (b)最下端F：PF为轨迹圆直径
OC E=PC E=R/2 PF=2r=R
C.粒子轨迹半径为 最短时间对应从P到最近边界点Q(R，0)的轨迹，此时. =r，设粒子从P到首次出射点Q转过的圆心角为α，由弦长关系 整理得 粒子的角速度 所以 故C正确；
D.轨迹圆圆心到P的距离恒为r。能够飞出的轨迹圆与磁场边界相交，最长时间由轨迹圆趋近下方内切的临界状态确定。设临界圆心为 Ct、内切点为 T，则
三角形OPC 为等边三角形，线段C T与C O方向相反，故C P与C T的较小夹角为 。按粒子逆时针运动方向，首次到达下方临界点所转过的圆心角为
因此最长时间的临界值为
若把到Q(R，0)的另一条长圆弧误认为可在磁场内持续转过 ，粒子会先在另一边界交点射出，不能继续沿原来的圆运动，故D错误。
(a)最短时间：最近边界点Q (b)最长时间临界：下方内切
故选C。
6.(2026·安徽阜阳·二模)如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率为v 的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的半径为
B.粒子的比荷为
C.由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120°
D.从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为
【答案】B
【详解】C.粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远说明MN是粒子做圆周运动的轨迹直径，故从N点射出的粒子运动方向偏转了180°，故C错误；
A.根据几何关系可知2r=2Rsin60°得粒子在磁场中运动的半径为 故A错误；
B.由粒子所受洛伦兹力提供粒子做圆周运动所需的向心力，有
解得粒子的比荷为 故B正确；
D.由几何关系可知从M点射入的所有粒子在磁场中轨迹所能达到的区域面积应大于轨迹圆的半圆面积，则必大于 故D错误。
故选B。
7.如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。PQ是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的足够长的挡板，挡板的Q端与O点的连线与挡板垂直，距离为 设打在挡板上的粒子全部被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力。则
( )
A.板上有粒子打到的范围长度
B.打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为
C.打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为
D.打在挡板上的粒子占所有粒子的
【答案】B
【详解】A.设带电粒子的质量为m，带电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。设粒子做圆周运动的半径为r。则有 解得 能打到挡板上的最远的粒子与O点相距2r，由几何关系可知，挡板有粒子打到的范围 故A错误；
B.由以上分析知，当粒子恰好打在Q点时，时间最短，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ =106°;对应的时间为 故B正确；
C.当粒子轨迹与PQ相切时，时间最长，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ =233°,对应的时间为 故C错误；
D.能打到挡板上的粒子，轨迹圆半径在与OQ夹角90°角的范围内的粒子，则打在挡板上的粒子占所有粒子的 ，故D错误。故选B。
8.(2026·云南昆明·模拟预测)如图所示，直角三角形 abc中∠a=30°，ac=L，其区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源向磁场区域内各个方向发射速度大小为 的带正电的粒子，粒子的质量为m、带电量为+q，不考虑粒子的重力和相互间的作用力，下列说法正确的是( )
A. ac边上各处均有粒子射出
B. ab边上有粒子射出的区域离a点的最大距离为
C.从ab边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.垂直于 ab边发射的粒子在磁场中运动的时间最长
【答案】D
【详解】A.粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
解得 如图甲所示
当粒子轨迹与 ab边相切时，由 ac边出射的粒子距离c点最远，但 fa段无粒子射出，故A错误；
B.如图乙所示，粒子从c点沿 cb方向射出时，粒子由 ab边上d点射出，由几何关系可知，此时圆心角为60°,cd与 ab垂直,此时d点距离a点最远
则 ab边上有粒子射出的区域离a点的最大距离为 故B错误；
C.由于 cd与 ab垂直，轨迹圆的弦长最短，对应的圆心角最小，所用时间最短，则最短时间为 故C错误；
D.如图甲所示，当粒子垂直于 ab边发射时，粒子与 ab边相切于e点，从 ab边上f点射出时，此时对应的轨迹最长，圆心角最大，所用时间最长，D正确。故选D。
题型03 平移圆模型
9.如图，在xOy平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域abc，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向里。大量质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子以速度 从y轴上 ab间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
【答案】A
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
解得粒子运动的半径为r=2R运动的周期为 粒子进入磁场如图
粒子从A射出磁场对应的圆心为C，此时有 时间最长对应圆心角α最大，对应AB最大，由几何知识得，当粒子从c点射出时轨迹圆的圆心角最大，如图所示，
此时 即(α=30°，则粒子在磁场中运动的最长时间为 故选 A。
10.如图所示，在xOy平面内有以O点为圆心、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B，在x=2R处有一垂直于x坐标轴的足够长的挡板，一宽度为d(未知)且关于y轴对称的质子束，以一定的速度平行于y轴射入圆形磁场，偏转后所有质子都经过P点射出磁场，挡板上有质子打到的区域关于x坐标轴对称，长度为 。已知质子质量为m、带电荷量为e，忽略质子重力及质子间的相互作用，则质子束的宽度d为( )
A. R C.
【答案】A
【详解】根据题意，正对O点射入的质子经过P点，可知质子的轨迹半径为R。质子束运动轨迹如图
根据以一定的速度平行于y轴射入圆形磁场，偏转后所有质子都经过P点射出磁场，挡板上有质子打到的区域关于x坐标轴对称，长度为 R，根据对称性可得 ab长度为 则 得∠aPb=30°。
cP为最左侧质子的轨迹半径，由于cP垂直aP，可得∠cPO=60°，即从e点飞入磁场中质子的轨迹圆心c恰在磁场圆边界上，且轨迹恰过圆心O，可得△OcP、△eOc均为等边三角形，则ce=R，由几何知识可得最右侧质子在磁场中偏转角度为60°，必从c点射入磁场，所以磁场宽度d=ce=R。
故选 A。
11.如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的点， A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出，O点处也有磁场)，磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率 从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出磁场中的运动。下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的轨道半径为R B.从CO射出磁场的粒子运动时间不同
C.粒子在磁场中运动的最长时间为 D.粒子可能从圆弧边界射出
【答案】C
【详解】
A.如图所示，由洛伦兹力提供向心力 代入数据可得 故A错误；
B.粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则有
由图可知，部分粒子从OC边射入磁场，又从OC边射出磁场，由对称性可知，粒子偏转的圆心角为90°，时间为 故B错误；
C.沿AO入射的粒子，与磁场圆在最低点内切，圆心角为270°，粒子在磁场中运动的最长时间为 故C正确；
D.从图中可知，粒子不会从圆弧边界射出，故D错误。故选C。
12.(多选)如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是( )
A.等腰三角形BAC中AB边的长度为
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为
D.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
【答案】AB
【详解】A.依题意可知在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹时半圆，轨迹圆的圆心在A点。且其轨迹与BC边相切。根据几何关系可知 粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB 联立，可得 故A正确；
B.粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为 根据上一选项分析，粒子轨迹所对应的圆心角度为90°,则有 故B正确；
C.从AB中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移 得到
此轨迹圆的圆心在A点的正下方，由几何关系可知，离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r，即。故C错误；
D.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90°的轨迹，故最长时间将变小，故D错误。故选AB。
二题型04 磁聚焦和磁发散
13.如图所示是粒子流扩束技术的原理简图。正方形区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ对称分布，一束速度相同的质子束射入后能够实现扩束，四个区域内有界磁场(边界均为圆弧)分布可能正确的是( )
【答案】C
【详解】A.粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由左手定则可知粒子进入磁场后运动轨迹如下图，即入射平行粒子束不会扩束，故A错误；
B.由左手定则可知，平行粒子入射后，经两个同方向磁场，会向同一方向偏转，不会平行于入射方向射出，故B错误；
C.如下图所示，当粒子进入磁场后做匀速圆周运动的半径恰好等于有界磁场的圆弧半径时，一束速度相同的质子束射入后能够实现扩束，故C正确；
D.由左手定则可知，粒子运动轨迹如下图所示，平行粒子束射入后不会实现扩束，故D错误。
故选C。
14.如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，O为圆心，AB为水平方向直径，OC为竖直方向半径，D为圆周上一点，且∠DOA=30°，AB上方有大量质量均为m，电荷量均为-q的带电粒子水平向右射入磁场，经磁场偏转后所有粒子均从C点射出磁场，不考虑粒子自身重力，则下列说法中正确的是( )
o→
o→o→→
A.匀强磁场的磁感应强度大小为
B.各带电粒子在磁场中运动的时间相同
C.各带电粒子从C点射出时的速度方向相同
D.从D点射入的带电粒子在磁场中运动时会经过圆心O
【答案】D
【详解】A.根据题意结合“磁汇聚”的条件可知，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为r=R根据牛顿第二定律可得 解得匀强磁场的磁感应强度大小为 故A错误；
B.带电粒子在磁场中运动的周期为 设带电粒子在磁场中运动的圆心角为θ，则带电粒子在磁场中运动的时间为 各带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示
由于各带电粒子在磁场中运动的圆心角不同，所以各带电粒子在磁场中运动的时间也不同，故B错误；
C.由B选项中的轨迹图像可知，各带电粒子从C点射出时的速度方向不同，故C错误；
D.带电粒子在磁场中运动时会经过圆心O的轨迹如图所示
则△OO'E为等边三角形,且AB与O'E垂直,所以∠AOE=30°
所以D点和E点重合，即从D点射入的带电粒子在磁场中运动时会经过圆心O，故D正确。
故选D。
15.(多选)如图所示，在xOy坐标系的第三、四象限有一半径为L的圆形区域，圆心O'位于y轴上的y=-L处，圆形区域内存在垂直坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B，在 处有一足够大的接收屏垂直y轴放置，在x轴与接收屏之间的区域存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为B。在-2LA.电子的速度大小均为v=kBL
B.圆形区域内磁场方向垂直坐标平面向里
C.接收屏上有电子击中的长度为
D.接收屏上有电子击中的长度为
【答案】AD
【详解】B.所有的电子都能经过坐标原点O，根据左手定则可知，圆形区域内的磁场方向垂直纸面向外，故B错误；
A.根据“磁聚焦”模型可知，电子在圆形区域磁场内运动的半径为r=L
电子在磁场中运动，由 解得v=kBL,故A正确;
CD.两个磁场的磁感应强度相同，电子在两个磁场做圆周运动的半径相同，都等于L，纵坐标为
电子的运动轨迹恰好与接收屏相切，如图
只有在 范围内射入圆形区域磁场的电子会打在接收屏上，根据三角函数得L+Lsinθ
解得θ=30°,α=60°
接收屏上有电子击中的长度为 故C错误，D正确。
故选AD。
16.(多选)如图，空间中一半径为R的圆形区域(包括边界)内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场左侧宽度为R的区域里，大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A点沿AO方向射入的粒子，恰好能从圆形磁场最高点M点飞出，已知过A、O两点的直线水平且是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A.粒子做圆周运动的半径为R B.粒子的初速度大小为
C.粒子在磁场中运动的最短时间为 D.粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BD
【详解】AB.由几何关系可知粒子圆周运动的半径r=R
由洛伦兹力提供向心力得
解得粒子的初速度大小为
故A错误，B正确；
CD.如图所示
由C点入射的粒子运动时间最短，设运动轨迹对应的圆心角为α，则有
粒子做圆周运动的周期为 粒子运动的最短时间 同理，由D点入射的粒子运动时间最长，对应的圆心角为120°，则最长时间为 故C错误，D正确。故选BD。
17.(多选)如图所示，半径为R的圆形区域的圆心位于直角坐标系的坐标原点O，该圆形区域内有垂直于坐标平面的匀强磁场(未画出)，在y<-R区域存在沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，磁场区域外右侧有宽度为 R的粒子源，M、N为粒子源两端点，M、N连线垂直于x轴，粒子源中点P位于x轴上，且均匀持续向x轴负方向发射质量为m、电荷量为+q(q>0)、速率为v的粒子，已知从粒子源中点P发出的粒子，经过磁场后，恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场。不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A.所有进入圆形磁场区域的粒子都要经过Q点离开
B.粒子在圆形磁场区域运动的最长时间为
C.粒子进入电场后，再次经过y轴的最长时间为
D.粒子进入电场后，再次经过y轴时距离O点的最大距离为
【答案】ACD
【详解】A.由题意可知从粒子源中点P发射的粒子在磁场中运动轨迹为四分之一圆周，设轨迹半径为r，由几何关系易知r=R
如图所示，根据几何关系可知所有进入圆形磁场区域的粒子经过磁场偏转都要经过Q点离开，故A正确；
B.在磁场中运动周期
粒子在磁场运动的时间
可知粒子转过的角度越大，运动时间越长，进入磁场的点与Q点连线越长，则角度越大，可知从M点出发入射磁场的粒子运动时间最长。根据几何关系可得α<30°，可得圆心角β>120°，可得运动时间t ≠ 故B错误；
C.粒子进入电场后，设速度与竖直方向的夹角为0，夹角越大，水平速度越大，再次经过y轴的时间越长，即从M点出发入射磁场的粒子进入电场后，再次经过y轴的时间最长，如图所示。根据牛顿第二定律有qE= max
解得再次经过y轴的最长时间 故C正确；
D.粒子进入电场后，设速度与竖直方向的夹角为θ，离开Q点到再次经过y轴，距离O点的距离y=R 其中 代入得
当θ=45°,y取极大值,故 故D正确。故选ACD。
18.(多选)如图为一种新型粒子装置，粒子源放置在水平面上长为3L、宽为2L的矩形 abcd的中心O，矩形内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，粒子源向水平面各个方向持续均匀发射比荷为 的带正电粒子，速度大小限制在2v 到3v 之间，不计粒子源的尺寸、粒子间相互作用和粒子重力。下列说法正确的是( )
A.若所有粒子均不射出磁场，则B的最小值为
B.若所有粒子均不射出磁场，则B的最小值为
C.若所有粒子均射出磁场，则B的最大值为
D.若所有粒子均射出磁场，则B的最大值为
【答案】AD
【详解】AB.所有粒子不射出，要求速度最大的粒子((v=3v ,对应最大半径°r)也不射出。粒子从O出发，O在轨迹圆上，圆上离O最远点为直径端点，边界上离O最近点为 ab边中点，O到上下边界距离为L，临界情况刚好不射出 由洛伦兹力提供向心力 得半径公式 此时临界情况有 解得 即B的最小值为 故A正确，B错误；
CD.所有粒子都射出，要求速度最小的粒子(v=2v ,(对应最小半径°r)也能射出。最难射出的临界情况：轨迹圆过O，同时与右边界、上边界相切，轨迹如图所示
圆心到O的距离等于半径°r，因此 展开整理
解得最小临界半径 代入半径公式 整理得
即B的最大值为 故C错误,D正确。故选 AD。
19.(多选)如图所示为磁谱仪的工作原理示意图。在纸面内建立xOy坐标系，在y≥0的区域内分布着磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，O点有一粒子源，不断沿垂直磁场方向发射质量为m、电量为+q的带电粒子，所有粒子发射的速率范围为(
1.1 ，速度方向被限制在以y轴为中心轴、左右偏移φ的小角度内。O点右侧沿x轴放置一足够长荧光屏P，所有粒子经磁场偏转后都打在荧光屏P上。不计粒子重力，已知sinφ≈0.2，cosφ≈0.98，下列说法正确的是( )
A.所有粒子运动过程中距离x轴最远位置的y坐标最大值
B.所有粒子运动过程中距离x轴最远位置的y坐标最小值
C.所有粒子打在荧光屏上区域的长度为
D.所有粒子打在荧光屏上区域的长度为
【答案】AD
【详解】A.粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由
得半径
当速度为v 时，半径
对于距离x轴最远位置(即轨迹最高点)：当粒子速度方向偏向y轴左侧(第二象限)角度θ时，由左手定则及几何关系可知圆心在第一象限，坐标为 (Rcosθ，Rsinθ)，轨迹最高点纵坐标 R(1+sinθ)
当粒子速度方向偏向y轴右侧(第一象限)角度α时，圆心在第四象限，坐标为 (Rcosα，-Rsinα)，轨迹最高点纵坐标 。
所有粒子中，y坐标最大值出现在R最大且向左偏角最大时，即
则 代入数据得 故 A 正确。
B.所有粒子中，y坐标最小值出现在 R 最小且向右偏角最大时，即R=0.9R ，α=φ
则 故 B 错误。
CD.对于打在荧光屏上的区域长度：粒子打在 x轴上的坐标为x=2Rcosδ(δ为速度与y 轴夹角)。
x的最大值对应 R 最大、δ=0，即 。
x 的最小值对应 R 最小、|δ|最大，即
区域长度 故 D 正确,C 错误。故选 AD。
20.如图，在竖直平面内的 Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为 不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则( )
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】C
【详解】A.根据洛伦兹力提供向心力有 可得 故A错误；
B.当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知S上 min=d；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，故上表面接收到粒子的区域长度为 故，B错误；
C.根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确；
D.根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有 308故D错误。
故选C。
21.如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N水平固定，间距为d，M板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角θ=60°时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知OQ=3L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是( )
A.粒子一定带正电
B.若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小
C.粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为7L
D.粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为
【答案】BCD
【详解】A.根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A错误；
B.随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足 解得 即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B正确；
C.因粒子发射方向与OP夹角为60°时恰能垂直穿过M板Q点的小孔，则由几何关系 解得r=2L可得( 可得粒子从磁场上方，直接打在打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 当N极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q点射入极板，会返回再从在Q点射出，后继续做圆周运动，这时打M板在板上表面的位置 则粒子打在M板上表面的位置的最大距离为7L，选项C正确；
D.因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为α=30°，则在两板间运动时间 其中 打到M板下表面距离Q点的最小距离s=vcosαt解得s=
选项D正确。故选BCD。

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