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广东省深圳市坪山区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 从左侧观察这个带切口的圆柱，看到的轮廓是一个矩形，且内部的切口轮廓为不可见的水平虚线，因此对应的左视图是，
故答案为：B。
【分析】 先明确左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形，再结合该几何体是带切口的圆柱，判断切口在左视图中呈现为不可见的水平虚线，最终匹配对应选项。
2．下列方程是一元二次方程的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。
∵选项A中含有分式，不符合“整式方程”的条件，∴A不是一元二次方程；
∵选项B中，当时，方程变为，未知数最高次数为1，不符合“最高次数为2”的条件，∴B不一定是一元二次方程；
∵选项C是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，同时满足三个条件，∴C是一元二次方程；
∵选项D中含有和两个未知数，不符合“只含一个未知数”的条件，∴D不是一元二次方程。
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次方程的定义及判定方法，解题核心是紧扣“整式方程、单未知数、最高次数为2”这三个核心条件。通过对每个选项逐一验证，排除不符合任意一个条件的选项，最终筛选出满足所有条件的正确答案。
3．本学期我们学习了许多特殊的平行四边形，下列平行四边形一定相似的是（　　)
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．以上都正确
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形的四个角均为，但对应边的比例不一定相等（例如长2宽3的矩形与长4宽5的矩形，），∴两个矩形不一定相似；
∵菱形的四条边长度相等，对应边成比例，但四个角不一定相等（例如一个菱形的内角为，另一个的内角为和），∴两个菱形不一定相似；
∵正方形的四个角均为，四条边长度相等，∴对应角相等且对应边成比例，满足相似多边形的条件，两个正方形一定相似。
故答案为：C
【分析】本题考查相似多边形的判定条件（对应角相等、对应边成比例）及特殊平行四边形的性质。解题时需分别分析矩形、菱形、正方形的边角特征：矩形角相等但边比例不确定，菱形边成比例但角不确定，只有正方形同时满足角相等和边成比例的条件，由此可判断其一定相似。
4．幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点（　　）
A．妈妈 B．丽丽 C．一样 D．无法判断
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且丽丽的影子比妈妈的影子长，丽丽身高小于妈妈，
∴妈妈和丽丽离路灯的距离妈妈近一点．
故选：A．
【分析】
先确定点光源的位置，再观察各物体与光源的远近；距离近的影子短，距离远的影子长，据此作出判断．
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球共30个，这些球除颜色外都相同，其中黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过100次重复试验，共有61次摸出黑球，则n的值最可能是（　　）
A．5 B．10 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸出黑球的频率为，
∴摸出黑球的概率约为，
∴．
故选：D．
【分析】
大量重复摸球时，某一结果出现的频率会在其概率附近摆动，故可用作为摸到黑球概率的估计值．再由“黑球数÷总球数=摸到黑球的概率”建立关系，把概率问题转化为数量计算；注意已是最简分数，计算时可直接化成小数．
6．在本学期综合实践“制作视力表”活动中，某小组用硬纸板复制视力表中的“E”形图，如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，测得，，若，则的长为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ AH = 18，HC = 12，
∴ AC = AH + HC = 18 + 12 = 30，
∵ 右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，
∴，
即 ，
化简得 ，
解得 ，
故答案为：D。
【分析】先由 AH 和 HC 的长度算出 AC=30，再根据位似图形对应边成比例，得到 =，代入数值计算出 GH 的长度为 9。
7．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（　　）
A．3 B． C．9 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：分别过点、作轴的垂线，垂足依次记为、。
由于点位于的图象上，点位于的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得：
已知，即，因此；
又轴，故，从而。
结合，可证得。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即：；
将、代入上式，得：
化简得：
因为、均为线段长度，故取正根：；
故答案为：A。
【分析】通过构造垂直辅助线，将线段比例问题转化为相似三角形的面积比问题，结合反比例函数系数的几何意义，利用相似三角形面积比与相似比的平方关系，直接推导线段比值。
8．如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，连接，在点P运动过程中，的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解： ∵，，
在正方形中，边长，故，将其代入比例式可得：
又，因此，进而得到：
这表明点始终在以为直径的圆上运动，圆心为中点，半径。
要使最大，需找到点到圆上点的最远位置，当点与点重合时，恰好为正方形对角线与的交点，此时为从到圆上点的最远距离：如图，
故答案为：B。
【分析】先利用正方形边长和角的关系证明△CDQ∽△CPD，推得∠CQD=90°，确定 Q 在以 CD 为直径的圆上；再根据点到圆上点的最远位置，计算出 DQ 的最大值。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知5a=4b， 那么 　 　。
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，且（若，则，无意义），
∴在等式两边同时除以，得，
化简得
故答案为：
【分析】本题考查比例的基本性质，核心是通过代数变形将等式转化为比例形式。解题时需注意不能为0的隐含条件，在等式两边同时除以，消去系数和未知数的分母，直接得到的比值。
10．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是　 　．
【答案】2026
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
将x=1代入，得，即，
∴，
∴．
故答案为：2026．
【分析】本题根据条件先将代入方程，化简得到，最后代入所求表达式计算．
11．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为　 　.
【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，根据题意得AO= ×8=4，BO= ×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.
∴△AOB是直角三角形.
∴ .
∴此菱形的周长为：5×4=20
故答案为：20.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.
12．如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为　 　．
【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵轴
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵由图像可知，
∴．
故答案为：10．
【分析】连接 OA，利用 AB 垂直 x 轴、OC 平行 AB 的性质，得出△ABC 和△OAB 面积相等，再结合反比例函数 k 的几何意义，由△OAB 面积为 列方程求解 k 的值。
13．如图，四边形是正方形，点E是边的中点，连接和相交于F，将沿着翻折得到，连接交于H，则　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如下图以点A为原点建立直角坐标系，且设正方形的边长为2．
则，，，，
∵点E是边的中点，
∴，
设的解析式为：，的解析式为：，
则，，
解得：，，
则的解析式为：，的解析式为：，
联立直线，的解析式，
解得：，
∴，
∵将沿着翻折得到，
∴，
设的解析式为：
则，
解得：
则的解析式为：
联立直线，的解析式，
解得：，
∴．
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】 以 A 为原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 2，通过求直线 AC、DE 的解析式得到交点 F 的坐标，再由翻折性质得到点 G 的坐标，接着求出直线 GC 与 DE 的交点 H 的坐标，最后用两点间距离公式算出 HF 和 EF 的长度，进而得到二者的比值。
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（1）解方程：；
（2）小明用配方法解关于x的方程，过程如下：
解：……第①步
……第②步
……第③步
……第④步
，或……第⑤步
∴，……第⑥步
小明第②步的理论依据是______．
小明的结果是否正确______（填“是”或“否”）
请你用不同于小明的方法解这个方程：．
【答案】解：（1）
，
，，
（2）等式的基本性质1，是；
不同于小明的方法：
或
，
【知识点】等式的基本性质；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
（2）小明第②步两边同时加上9，理论依据是等式的基本性质1．
小明运用的是配方法，过程正确，结果正确，
故答案是：等式的基本性质1；是；
【分析】
（1）直接利用开平方法求解一元二次方程即可．
（2）根据等式的性质，利用配方法解方程回答即可，选用因式分解求解，首先对二次三项式进行因式分解，最后求解方程即可．
15．某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球等五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如表：
球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球
人数 a 12 36 18 b
解答下列问题：
（1）______，______；
（2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数；
（3）该学校将组织趣味运动会，某班决定从2名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的4名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由．
【答案】（1）30，24
（2）解：（人）；
（3）解：2名喜欢乒乓球的同学分别记为甲和乙，1名喜欢羽毛球的同学记为丙，1名喜欢篮球的同学记为丁，
画树状图如下，
由树状图得共有12种等可能结果，其中甲和乙（喜欢乒乓球的同学）被抽到的情况有2种，
∴被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%，
∴样本容量为；
∴（人），
（人）；
故答案为：30，24；；
【分析】(1) 用喜欢排球的人数除以其占比求出样本容量，再用样本容量乘以乒乓球的占比得a，用样本容量减去其他各项得b。
(2) 用总人数乘以喜欢羽毛球的人数在样本中所占的比例，即可估计对应人数。
(3) 对 4 名学生分别标记，用树状图或列表法列出所有等可能结果，再找出两名都是乒乓球的结果，最后用所求结果数除以总结果数得概率。
（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%，
∴样本容量为；
∴（人），
（人）；
故答案为：；
（2）解：（人）；
（3）解：2名喜欢乒乓球的同学分别记为甲和乙，1名喜欢羽毛球的同学记为丙，1名喜欢篮球的同学记为丁，
画树状图如下，
由树状图得共有12种等可能结果，其中甲和乙（喜欢乒乓球的同学）被抽到的情况有2种，
∴被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是．
16．如图，操场上竖立着两根木杆、，木杆后面有一堵墙，在阳光下的影子如图所示．
（1）画出此时在太阳光下的影子（用线段表示影子）
（2）如果高度为1.2米，影长为1.6米，距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求的高度．
【答案】（1）解：如图所示：
∴此时在太阳下的影子为线段；
（2）解：过点F作于点G，则，，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米）
答：的高度为1.75米．
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【分析】(1) 依据平行投影的光线平行原理，过点 C 作与已知光线平行的射线，结合地面与墙面的位置画出 CD 的影子。
(2) 构造相似三角形，利用同一时刻物高与影长成比例的规律，列比例式求出 CD 上方的高度，再加上墙面影长对应的高度得到总高度。
（1）解：如图所示：
∴此时在太阳下的影子为线段；
（2）解：过点F作于点G，则，，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米）
答：的高度为1.75米．
17．如图，在矩形中，为矩形的一条对角线．
（1）请用直尺和圆规完成以下作图：
分别在、上取点P、Q，使，．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接、，请证明四边形是菱形；
（3）在（2）的条件下，当，时，求四边形的周长．
【答案】（1）解：如图，点P、Q即为所求；
（2）解：如图，连接、：
∵，，
∴，．
又∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴平行四边形为菱形．
（3）解：如图，与的交点为O，
由（2），∵四边形为菱形．
∴，，
又∵四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，解得，
又∵四边形为菱形．
∴四边形的周长为25．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 分别作 AC 的垂直平分线，交 BC 于 P、交 AD 于 Q，即为满足 PA=PC、QA=QC 的点。
(2) 由 PA=PC、QA=QC 及矩形 AD∥BC 的性质，证得 AP∥QC，先得平行四边形 APCQ，再结合邻边 PA=PC 证其为菱形。
(3) 由菱形对角线互相垂直平分，证△POC∽△ABC，结合勾股定理算出 BC=8，再由比例式求出，最后菱形周长为 4×PC=25。
（1）解：如图，点P、Q即为所求；
（2）解：如图，连接、：
∵，，
∴，．
又∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴平行四边形为菱形．
（3）解：如图，与的交点为O，
由（2），∵四边形为菱形．
∴，，
又∵四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，解得，
又∵四边形为菱形．
∴四边形的周长为25．
18．综合与实践
坪山是客家人聚居地，有舞麒麟的传统．这项已有300多年历史的客家民间传统文化，不仅传承着世代客家人“麒麟呈祥”的美好祝愿，而且在岁月的变迁中烙下了深深的坪山印记，成为深圳客家文化中的重要组成部分，并散发着民间传统艺术的流光溢彩．坪山文化馆为了推广舞麒麟文化，专门设计了文创产品——舞麒麟积木玩具，并在各商店销售．
如何设计商品销售方案？
素材1 某商店以固定的进价购进一批舞麒麟积木玩具，销售单价不低于140元，并且销售单价为整数．
素材2 该商店舞麒麟积木玩具的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当积木玩具的售价为140元/只时，日销售利润为2400元．
问题解决
任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每个积木玩具的进价．
任务2 探究商品售价 商场搞促销活动，为尽快扩大销售量，且积木玩具销售利润为3000元，则该日每个积木玩具的售价为多少元？
设计方案
任务3 该商店决定日销售利润为3200元，请问方案是否可行，如可行，请你通过计算设计方案；如不可行，请说明理由．
【答案】解：任务1：当时，，设每只积木玩具的进价a元，
根据题意得，
解得，
答：每个积木玩具的进价120元．
任务2：由题意得，
整理得
解得，，
∵要尽快扩大销售，
，
答：每个积木玩具的售价为150元．
任务3：该商店日销售利润能达到3200元，理由如下：
当时，
解得，
∴当销售单价是160元时，商店日销售利润能达到3200元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以商品销售为背景，考查一次函数与一元二次方程在实际问题中的应用，涉及进价求解、利润公式及方程根的取舍。任务1：利用已知售价 x = 140 代入一次函数求日销售量 y，再根据“利润 = 销售量 ×（售价 进价）”列方程，解得进价 a = 120。
任务2：由利润公式 (x - 120)(-2x + 400) = 3000 展开得一元二次方程，解得 = 150、= 170。为尽快扩大销售量，应选择较低售价 x = 150（销售量更大）。
任务3：令利润为 3200 得方程 (x - 120)(-2x + 400) = 3200，整理得- 320x + 25600 = 0，判别式 = 0，解得 x = 160，符合销售单价不低于 40 且为整数的条件，故方案可行，售价定为 160 元。
19．【知识重现】
阅读下列材料，并完成问题：
如图1，在平面直角坐标系中，射线的解析式为，与反比例函数的图象相交于点P，以点P为圆心、为半径作弧，交反比例函数的图象于点R．过点P、点R分别作x轴和y轴的平行线，交点分别为点M、点Q，并且点Q在直线上．与相交于点N．
结合以上材料回答下列问题：
（1）点P坐标为______，和的数量关系是______，的度数为______．
【拓展提升】
（2）上述条件中，如果锐角，反比例函数解析式为，其他条件不变，与的数量关系是什么？并说明理由．
【变式应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点C，则______．
【答案】（1）、相等或、；
（2），理由如下，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）；
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵射线的解析式为，与反比例函数的图象相交于点P，
∴，解得，
则点P坐标为，
由题意知，四边形为矩形，则，
∵以点P为圆心、为半径作弧，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵点P坐标为，
∴，则，
则，解得，
那么，，
故答案为：，，；
（3）过点A作x轴的垂线交于点D、过点B作y轴的垂线交于点F，
在上取一点E，使得，如图，
则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】(1) 联立射线 OA 与反比例函数解析式求出点 P 坐标，利用矩形性质和 PR=2OP 得到 PN=OP，进而推出∠PON=∠PNO，再结合角度和与三角函数值求出∠MOB=20°。
(2) 由矩形性质得 N 为 PR、QM 中点，结合等腰三角形和平行线性质，证明∠PNO=2∠MOB，再由 OP=PN 得∠PON=∠PNO，从而推出∠MOB=∠AOB。
(3) 过 A、B 作垂线构造矩形，设 AE=BE，通过角度关系列方程求出 α=15°，再用勾股定理算出 AF 的长度，最后求出 OC、BC 的长度，代入三角形面积公式计算得 S△BOC=。
20．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
【问题探究】
（1）如图，在正方形中，是边上一点，连接，于点，交于点．求证：．
（2）如图，数学兴趣小组经过进一步探究发现，在正方形内部作两条互相垂直的直线，这两条互相垂直的直线分别被正方形的两组对边所截得的线段，则的数量关系是　 　．
（3）如图，在菱形中，，与相交于点，且与的夹角，则与的数量关系是什么？并说明理由．
（4）如图，在矩形中，，，点为中点，将沿翻折至处，的延长线分别与相交于点．请根据题意画出图形，并完成下列问题：
①______；
② 请根据上述结论，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，则，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）①；
②如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点为中点，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴。
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：如图，把平移到位置，把平移到位置，则，，，
同理（）可得，，
∴，
故答案为：；
（4）解：①如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点为中点，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】(1) 利用正方形性质得到 、，结合 推出 ，证 ，得 。
(2) 将 、 平移为互相垂直的线段 、，由(1)的结论得 ，故 。
(3) 作菱形的高 、，由面积相等得 ，结合角度关系证 ，得 。
(4) ① 由折叠得 、，证 得 ，勾股定理算 ，再由 得 ，最后算 ；② 直接由相似比例得 。
（1）证明：∵四边形是正方形，
，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，把平移到位置，把平移到位置，则，，，
同理（）可得，，
∴，
故答案为：；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，则，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：①如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点为中点，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②由①可得，．
1 / 1广东省深圳市坪山区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是 （　　）
A． B． C． D．
3．本学期我们学习了许多特殊的平行四边形，下列平行四边形一定相似的是（　　)
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．以上都正确
4．幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点（　　）
A．妈妈 B．丽丽 C．一样 D．无法判断
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球共30个，这些球除颜色外都相同，其中黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过100次重复试验，共有61次摸出黑球，则n的值最可能是（　　）
A．5 B．10 C．16 D．18
6．在本学期综合实践“制作视力表”活动中，某小组用硬纸板复制视力表中的“E”形图，如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，测得，，若，则的长为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．9
7．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（　　）
A．3 B． C．9 D．
8．如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，连接，在点P运动过程中，的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知5a=4b， 那么 　 　。
10．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是　 　．
11．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为　 　.
12．如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为　 　．
13．如图，四边形是正方形，点E是边的中点，连接和相交于F，将沿着翻折得到，连接交于H，则　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（1）解方程：；
（2）小明用配方法解关于x的方程，过程如下：
解：……第①步
……第②步
……第③步
……第④步
，或……第⑤步
∴，……第⑥步
小明第②步的理论依据是______．
小明的结果是否正确______（填“是”或“否”）
请你用不同于小明的方法解这个方程：．
15．某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球等五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如表：
球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球
人数 a 12 36 18 b
解答下列问题：
（1）______，______；
（2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数；
（3）该学校将组织趣味运动会，某班决定从2名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的4名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由．
16．如图，操场上竖立着两根木杆、，木杆后面有一堵墙，在阳光下的影子如图所示．
（1）画出此时在太阳光下的影子（用线段表示影子）
（2）如果高度为1.2米，影长为1.6米，距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求的高度．
17．如图，在矩形中，为矩形的一条对角线．
（1）请用直尺和圆规完成以下作图：
分别在、上取点P、Q，使，．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接、，请证明四边形是菱形；
（3）在（2）的条件下，当，时，求四边形的周长．
18．综合与实践
坪山是客家人聚居地，有舞麒麟的传统．这项已有300多年历史的客家民间传统文化，不仅传承着世代客家人“麒麟呈祥”的美好祝愿，而且在岁月的变迁中烙下了深深的坪山印记，成为深圳客家文化中的重要组成部分，并散发着民间传统艺术的流光溢彩．坪山文化馆为了推广舞麒麟文化，专门设计了文创产品——舞麒麟积木玩具，并在各商店销售．
如何设计商品销售方案？
素材1 某商店以固定的进价购进一批舞麒麟积木玩具，销售单价不低于140元，并且销售单价为整数．
素材2 该商店舞麒麟积木玩具的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当积木玩具的售价为140元/只时，日销售利润为2400元．
问题解决
任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每个积木玩具的进价．
任务2 探究商品售价 商场搞促销活动，为尽快扩大销售量，且积木玩具销售利润为3000元，则该日每个积木玩具的售价为多少元？
设计方案
任务3 该商店决定日销售利润为3200元，请问方案是否可行，如可行，请你通过计算设计方案；如不可行，请说明理由．
19．【知识重现】
阅读下列材料，并完成问题：
如图1，在平面直角坐标系中，射线的解析式为，与反比例函数的图象相交于点P，以点P为圆心、为半径作弧，交反比例函数的图象于点R．过点P、点R分别作x轴和y轴的平行线，交点分别为点M、点Q，并且点Q在直线上．与相交于点N．
结合以上材料回答下列问题：
（1）点P坐标为______，和的数量关系是______，的度数为______．
【拓展提升】
（2）上述条件中，如果锐角，反比例函数解析式为，其他条件不变，与的数量关系是什么？并说明理由．
【变式应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点C，则______．
20．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
【问题探究】
（1）如图，在正方形中，是边上一点，连接，于点，交于点．求证：．
（2）如图，数学兴趣小组经过进一步探究发现，在正方形内部作两条互相垂直的直线，这两条互相垂直的直线分别被正方形的两组对边所截得的线段，则的数量关系是　 　．
（3）如图，在菱形中，，与相交于点，且与的夹角，则与的数量关系是什么？并说明理由．
（4）如图，在矩形中，，，点为中点，将沿翻折至处，的延长线分别与相交于点．请根据题意画出图形，并完成下列问题：
①______；
② 请根据上述结论，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 从左侧观察这个带切口的圆柱，看到的轮廓是一个矩形，且内部的切口轮廓为不可见的水平虚线，因此对应的左视图是，
故答案为：B。
【分析】 先明确左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形，再结合该几何体是带切口的圆柱，判断切口在左视图中呈现为不可见的水平虚线，最终匹配对应选项。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。
∵选项A中含有分式，不符合“整式方程”的条件，∴A不是一元二次方程；
∵选项B中，当时，方程变为，未知数最高次数为1，不符合“最高次数为2”的条件，∴B不一定是一元二次方程；
∵选项C是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，同时满足三个条件，∴C是一元二次方程；
∵选项D中含有和两个未知数，不符合“只含一个未知数”的条件，∴D不是一元二次方程。
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次方程的定义及判定方法，解题核心是紧扣“整式方程、单未知数、最高次数为2”这三个核心条件。通过对每个选项逐一验证，排除不符合任意一个条件的选项，最终筛选出满足所有条件的正确答案。
3．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形的四个角均为，但对应边的比例不一定相等（例如长2宽3的矩形与长4宽5的矩形，），∴两个矩形不一定相似；
∵菱形的四条边长度相等，对应边成比例，但四个角不一定相等（例如一个菱形的内角为，另一个的内角为和），∴两个菱形不一定相似；
∵正方形的四个角均为，四条边长度相等，∴对应角相等且对应边成比例，满足相似多边形的条件，两个正方形一定相似。
故答案为：C
【分析】本题考查相似多边形的判定条件（对应角相等、对应边成比例）及特殊平行四边形的性质。解题时需分别分析矩形、菱形、正方形的边角特征：矩形角相等但边比例不确定，菱形边成比例但角不确定，只有正方形同时满足角相等和边成比例的条件，由此可判断其一定相似。
4．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且丽丽的影子比妈妈的影子长，丽丽身高小于妈妈，
∴妈妈和丽丽离路灯的距离妈妈近一点．
故选：A．
【分析】
先确定点光源的位置，再观察各物体与光源的远近；距离近的影子短，距离远的影子长，据此作出判断．
5．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸出黑球的频率为，
∴摸出黑球的概率约为，
∴．
故选：D．
【分析】
大量重复摸球时，某一结果出现的频率会在其概率附近摆动，故可用作为摸到黑球概率的估计值．再由“黑球数÷总球数=摸到黑球的概率”建立关系，把概率问题转化为数量计算；注意已是最简分数，计算时可直接化成小数．
6．【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ AH = 18，HC = 12，
∴ AC = AH + HC = 18 + 12 = 30，
∵ 右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，
∴，
即 ，
化简得 ，
解得 ，
故答案为：D。
【分析】先由 AH 和 HC 的长度算出 AC=30，再根据位似图形对应边成比例，得到 =，代入数值计算出 GH 的长度为 9。
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：分别过点、作轴的垂线，垂足依次记为、。
由于点位于的图象上，点位于的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得：
已知，即，因此；
又轴，故，从而。
结合，可证得。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即：；
将、代入上式，得：
化简得：
因为、均为线段长度，故取正根：；
故答案为：A。
【分析】通过构造垂直辅助线，将线段比例问题转化为相似三角形的面积比问题，结合反比例函数系数的几何意义，利用相似三角形面积比与相似比的平方关系，直接推导线段比值。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解： ∵，，
在正方形中，边长，故，将其代入比例式可得：
又，因此，进而得到：
这表明点始终在以为直径的圆上运动，圆心为中点，半径。
要使最大，需找到点到圆上点的最远位置，当点与点重合时，恰好为正方形对角线与的交点，此时为从到圆上点的最远距离：如图，
故答案为：B。
【分析】先利用正方形边长和角的关系证明△CDQ∽△CPD，推得∠CQD=90°，确定 Q 在以 CD 为直径的圆上；再根据点到圆上点的最远位置，计算出 DQ 的最大值。
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，且（若，则，无意义），
∴在等式两边同时除以，得，
化简得
故答案为：
【分析】本题考查比例的基本性质，核心是通过代数变形将等式转化为比例形式。解题时需注意不能为0的隐含条件，在等式两边同时除以，消去系数和未知数的分母，直接得到的比值。
10．【答案】2026
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
将x=1代入，得，即，
∴，
∴．
故答案为：2026．
【分析】本题根据条件先将代入方程，化简得到，最后代入所求表达式计算．
11．【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，根据题意得AO= ×8=4，BO= ×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.
∴△AOB是直角三角形.
∴ .
∴此菱形的周长为：5×4=20
故答案为：20.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.
12．【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵轴
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵由图像可知，
∴．
故答案为：10．
【分析】连接 OA，利用 AB 垂直 x 轴、OC 平行 AB 的性质，得出△ABC 和△OAB 面积相等，再结合反比例函数 k 的几何意义，由△OAB 面积为 列方程求解 k 的值。
13．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如下图以点A为原点建立直角坐标系，且设正方形的边长为2．
则，，，，
∵点E是边的中点，
∴，
设的解析式为：，的解析式为：，
则，，
解得：，，
则的解析式为：，的解析式为：，
联立直线，的解析式，
解得：，
∴，
∵将沿着翻折得到，
∴，
设的解析式为：
则，
解得：
则的解析式为：
联立直线，的解析式，
解得：，
∴．
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】 以 A 为原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 2，通过求直线 AC、DE 的解析式得到交点 F 的坐标，再由翻折性质得到点 G 的坐标，接着求出直线 GC 与 DE 的交点 H 的坐标，最后用两点间距离公式算出 HF 和 EF 的长度，进而得到二者的比值。
14．【答案】解：（1）
，
，，
（2）等式的基本性质1，是；
不同于小明的方法：
或
，
【知识点】等式的基本性质；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
（2）小明第②步两边同时加上9，理论依据是等式的基本性质1．
小明运用的是配方法，过程正确，结果正确，
故答案是：等式的基本性质1；是；
【分析】
（1）直接利用开平方法求解一元二次方程即可．
（2）根据等式的性质，利用配方法解方程回答即可，选用因式分解求解，首先对二次三项式进行因式分解，最后求解方程即可．
15．【答案】（1）30，24
（2）解：（人）；
（3）解：2名喜欢乒乓球的同学分别记为甲和乙，1名喜欢羽毛球的同学记为丙，1名喜欢篮球的同学记为丁，
画树状图如下，
由树状图得共有12种等可能结果，其中甲和乙（喜欢乒乓球的同学）被抽到的情况有2种，
∴被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%，
∴样本容量为；
∴（人），
（人）；
故答案为：30，24；；
【分析】(1) 用喜欢排球的人数除以其占比求出样本容量，再用样本容量乘以乒乓球的占比得a，用样本容量减去其他各项得b。
(2) 用总人数乘以喜欢羽毛球的人数在样本中所占的比例，即可估计对应人数。
(3) 对 4 名学生分别标记，用树状图或列表法列出所有等可能结果，再找出两名都是乒乓球的结果，最后用所求结果数除以总结果数得概率。
（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%，
∴样本容量为；
∴（人），
（人）；
故答案为：；
（2）解：（人）；
（3）解：2名喜欢乒乓球的同学分别记为甲和乙，1名喜欢羽毛球的同学记为丙，1名喜欢篮球的同学记为丁，
画树状图如下，
由树状图得共有12种等可能结果，其中甲和乙（喜欢乒乓球的同学）被抽到的情况有2种，
∴被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是．
16．【答案】（1）解：如图所示：
∴此时在太阳下的影子为线段；
（2）解：过点F作于点G，则，，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米）
答：的高度为1.75米．
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【分析】(1) 依据平行投影的光线平行原理，过点 C 作与已知光线平行的射线，结合地面与墙面的位置画出 CD 的影子。
(2) 构造相似三角形，利用同一时刻物高与影长成比例的规律，列比例式求出 CD 上方的高度，再加上墙面影长对应的高度得到总高度。
（1）解：如图所示：
∴此时在太阳下的影子为线段；
（2）解：过点F作于点G，则，，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米）
答：的高度为1.75米．
17．【答案】（1）解：如图，点P、Q即为所求；
（2）解：如图，连接、：
∵，，
∴，．
又∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴平行四边形为菱形．
（3）解：如图，与的交点为O，
由（2），∵四边形为菱形．
∴，，
又∵四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，解得，
又∵四边形为菱形．
∴四边形的周长为25．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 分别作 AC 的垂直平分线，交 BC 于 P、交 AD 于 Q，即为满足 PA=PC、QA=QC 的点。
(2) 由 PA=PC、QA=QC 及矩形 AD∥BC 的性质，证得 AP∥QC，先得平行四边形 APCQ，再结合邻边 PA=PC 证其为菱形。
(3) 由菱形对角线互相垂直平分，证△POC∽△ABC，结合勾股定理算出 BC=8，再由比例式求出，最后菱形周长为 4×PC=25。
（1）解：如图，点P、Q即为所求；
（2）解：如图，连接、：
∵，，
∴，．
又∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴平行四边形为菱形．
（3）解：如图，与的交点为O，
由（2），∵四边形为菱形．
∴，，
又∵四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，解得，
又∵四边形为菱形．
∴四边形的周长为25．
18．【答案】解：任务1：当时，，设每只积木玩具的进价a元，
根据题意得，
解得，
答：每个积木玩具的进价120元．
任务2：由题意得，
整理得
解得，，
∵要尽快扩大销售，
，
答：每个积木玩具的售价为150元．
任务3：该商店日销售利润能达到3200元，理由如下：
当时，
解得，
∴当销售单价是160元时，商店日销售利润能达到3200元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以商品销售为背景，考查一次函数与一元二次方程在实际问题中的应用，涉及进价求解、利润公式及方程根的取舍。任务1：利用已知售价 x = 140 代入一次函数求日销售量 y，再根据“利润 = 销售量 ×（售价 进价）”列方程，解得进价 a = 120。
任务2：由利润公式 (x - 120)(-2x + 400) = 3000 展开得一元二次方程，解得 = 150、= 170。为尽快扩大销售量，应选择较低售价 x = 150（销售量更大）。
任务3：令利润为 3200 得方程 (x - 120)(-2x + 400) = 3200，整理得- 320x + 25600 = 0，判别式 = 0，解得 x = 160，符合销售单价不低于 40 且为整数的条件，故方案可行，售价定为 160 元。
19．【答案】（1）、相等或、；
（2），理由如下，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）；
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵射线的解析式为，与反比例函数的图象相交于点P，
∴，解得，
则点P坐标为，
由题意知，四边形为矩形，则，
∵以点P为圆心、为半径作弧，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵点P坐标为，
∴，则，
则，解得，
那么，，
故答案为：，，；
（3）过点A作x轴的垂线交于点D、过点B作y轴的垂线交于点F，
在上取一点E，使得，如图，
则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】(1) 联立射线 OA 与反比例函数解析式求出点 P 坐标，利用矩形性质和 PR=2OP 得到 PN=OP，进而推出∠PON=∠PNO，再结合角度和与三角函数值求出∠MOB=20°。
(2) 由矩形性质得 N 为 PR、QM 中点，结合等腰三角形和平行线性质，证明∠PNO=2∠MOB，再由 OP=PN 得∠PON=∠PNO，从而推出∠MOB=∠AOB。
(3) 过 A、B 作垂线构造矩形，设 AE=BE，通过角度关系列方程求出 α=15°，再用勾股定理算出 AF 的长度，最后求出 OC、BC 的长度，代入三角形面积公式计算得 S△BOC=。
20．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，则，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）①；
②如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点为中点，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴。
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：如图，把平移到位置，把平移到位置，则，，，
同理（）可得，，
∴，
故答案为：；
（4）解：①如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点为中点，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】(1) 利用正方形性质得到 、，结合 推出 ，证 ，得 。
(2) 将 、 平移为互相垂直的线段 、，由(1)的结论得 ，故 。
(3) 作菱形的高 、，由面积相等得 ，结合角度关系证 ，得 。
(4) ① 由折叠得 、，证 得 ，勾股定理算 ，再由 得 ，最后算 ；② 直接由相似比例得 。
（1）证明：∵四边形是正方形，
，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，把平移到位置，把平移到位置，则，，，
同理（）可得，，
∴，
故答案为：；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，则，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：①如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点为中点，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②由①可得，．
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