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广东省深圳市福田区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．打印又称“增材制造”技术，是一种依据三维数据通过逐层材料累加的方法制造实体零件的技术，如图是打印的一个蒙古包模型，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图；简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从物体正上方观察得到的平面图形。该蒙古包模型由圆柱和圆锥组成，从正上方观察时， 蒙古包模型的俯视图是：；
故答案为：D。
【分析】 先明确俯视图的定义是从物体正上方观察得到的平面图形，再结合蒙古包模型的结构特征，分析各选项与实际俯视效果的匹配性，选出正确答案。
2．一元二次方程的解是（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得：，，
故选：C．
【分析】
当方程为 且 时，两边直接开平方，得．当方程为 且 时，两边直接开平方，得，再分别解这两个一元一次方程，即可得到原方程的解；若，则实数范围内无解．
3．鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只．如果其中鸡脚总数与兔脚总数正好一样多，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵鸡有x只，兔有y只，
∴鸡脚总数为，兔脚总数为，
∵鸡脚总数等于兔脚总数，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【分析】
先根据鸡、兔的脚数关系列出等式，再利用比例的基本性质对等式进行变形，求出相应比例．
4．如图1，是一架人字梯，侧面可以抽象为梯形（图2），已知，且，若，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：因为AB平行于CD，CD平行于EF，根据平行线分线段成比例定理，截线AE上的线段比等于截线BF上的线段比，即。
已知AC = 2CE，BD = 0.6m，将AC替换为2CE，代入比例式得，约去CE后得到
解方程得DF = 0.3m。
故答案为：B。
【分析】 利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例关系，建立比例式求解未知线段长度。
5．某生物小组为验证玉米能否产生叶绿素这一性状中基因的显隐性问题，将两株绿色玉米杂交后，收集种子种植出幼苗．调查统计后得到以下数据：
调查玉米幼苗数 100 200 500 1000 1500 2000 …
绿色幼苗个数 86 164 395 762 1128 1502 …
绿色幼苗频率 0.860 0.820 0.790 0.762 0.752 0.751 …
根据上表的数据，估计“两株绿色玉米杂交后的种子能产生绿色幼苗”的概率大约为（　　）
A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵调查玉米幼苗数达2000时，绿色幼苗频率为0.751，且1500株时频率为0.752，均接近0.75，
∴估计概率约为，
故选：B．
【分析】
大量重复试验中，频率会在概率附近摆动；试验次数越多，摆动越小，稳定值可作为概率的估计．因此确定稳定频率后，即可估计所求事件的概率．
6．如图，已知五边形，以P点为位似中心画出五边形，使五边形与五边形位似，相似比为2．若五边形的周长为26，则五边形的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，相似比为2，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比，即原五边形周长与新五边形周长的比为2：1。
已知原五边形ABCDE的周长为26，设新五边形A'B'C'D'E'的周长为，则，解得。
故答案为：D。
【分析】 利用位似图形的性质，位似图形的周长比等于相似比，结合已知的相似比和原五边形周长，计算出新五边形的周长。
7．根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国．已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆．设7月至9月的平均增长率为m，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设7月至9月的平均增长率为m，则可列方程为，
故选：A．
【分析】
7月到9月相隔两个月，且月增长率相同，所以每过一个月，出口量就在上月基础上乘．连续增长两次后，9月出口量等于7月出口量乘，代入65.2万辆即可列出关于 的方程．
8．如图，已知点A，B都在反比例函数位于第一象限的分支图象上，若线段的中点C在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点，，因为、在反比例函数上，所以，。
线段的中点坐标为，又在上，因此：
展开得：
由均值不等式，（因、是不同点，等号不成立），故：
即。
故答案为：A。
【分析】通过设点坐标，利用中点坐标公式表示出中点的坐标，再结合反比例函数值的几何意义建立等式，比较与的大小。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．阳光照射小树在地面上形成的投影属于　 　投影(填“平行”或“中心”)。
【答案】平行
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得：
阳光照射小树在地面上形成的投影属于平行投影
故答案为：平行
【分析】根据平行投影即可求出答案.
10．2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛．参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为　 　（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的一组邻边和一条对角线形成等腰直角三角形，
∴一条对角线长为，
∴副骨架的总长为，
故答案为：．
【分析】
正方形四边相等且四个角都是直角，相邻两边与一条对角线构成直角三角形；先用勾股定理求出一条对角线，再根据两条对角线相等求其和．
11．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　 　．
【答案】9
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
12．如图所示，点A，B，C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆，分别立于上述三点处．今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童眼睛的高度，标杆的高度，，，则旗杆高为　 　．
【答案】5
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点F作，交于点M，交于点N，
则四边形，都是矩形，
∴，，，，
根据平面镜反射原理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：5．
【分析】过点F作平行于地面的辅助线，构造矩形得到线段长度，结合光的反射原理证明两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出ND的长度，最后加上NC得到旗杆高度CD。
13．如图，在中，D是边上一点，若，，且，则长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作，交的延长线于点H，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
故答案为：．
【分析】作交延长线于，由得等腰直角，故；再证，得，设，在中用勾股定理列方程求出，进而得到的长。
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分）
14．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
x(x-6)=0。
x=0或x-6=0。
∴x1=0， x2=6。
（2）解：原方程可变形为
配方，得
即
x-2=±3
∴x1=5， x2=-1。
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据配方法解方程即可求出答案.
15．2025年12月14日，深圳南山半程马拉松在深圳人才公园正式起跑．组委会需为赛事组建A，B，C三支人数相同的志愿服务队，并规定每位志愿者只能被随机分配至其中一个服务队．小深、小圳报名参加了此次赛事的志愿服务工作．
（1）小深被分配到A志愿服务队的概率______；
（2）请用树状图或列表法，求小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率．
【答案】（1）；
（2）解：列表如下：
小圳 小深 A B C
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中小深和小圳都被分配到B志愿服务队的结果有1种，
∴概率为．
答：小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵ 小深有种等可能的分配结果，且每种结果概率相等，
∴ 小深被分配到A志愿服务队的概率为．
故答案为：．
【分析】(1) 小深有 3 种等可能的分配结果，其中分配到 A 队的结果只有 1 种，直接用概率公式计算。
(2) 用列表法列出两人分配的所有 9 种等可能结果，其中两人都分到 B 队的结果只有 1 种，代入概率公式求解。
（1）解：∵ 小深有种等可能的分配结果，且每种结果概率相等，
∴ 小深被分配到A志愿服务队的概率为．
故答案为：．
（2）解：列表如下：
小圳 小深 A B C
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中小深和小圳都被分配到B志愿服务队的结果有1种，
∴概率为．
答：小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率为．
16．“广湛”高铁线路于2025年12月22日正式开通运营，它是中国“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分．已知列车运行时间与平均速度（）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为保证列车运行安全，当运行时间为1小时40分时，列车的平均速度是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为，
将代入得，．
解得：．
所以y与x之间的函数表达式为．
（2）解：1小时40分小时．
当时，得，，
解得．
所以，这趟列车的平均速度为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1) 设反比例函数表达式为，将点代入求出，得到函数解析式。
(2) 将运行时间1小时40分换算为小时，代入函数解析式，解方程求出对应的平均速度。
（1）解：设y与x之间的函数表达式为，
将代入得，．
解得：．
所以y与x之间的函数表达式为．
（2）解：1小时40分小时．
当时，得，，
解得．
所以，这趟列车的平均速度为．
17．中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多．
（1）设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示）
（2）若矩形的面积为，求的长度．
【答案】（1），；
（2）解：∵矩形的面积为，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴的长度为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为，
∴．
∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界，
∴．
故答案为：，；
【分析】(1) 根据起飞区与场地边界的距离，将EH、EF的长度与边界距离相加，用含x的代数式表示出AB和BC的长度。
(2) 利用矩形面积公式列出关于x的一元二次方程，求解后舍去负根，得到EH的长度。
（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为，
∴．
∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵矩形的面积为，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴的长度为．
18．如图，在四边形中，，，对角线交于点O．
（1）下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由；
（2）尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）（1）解：可选择①或③．若选①：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
若选③：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线，即，
∴，
在和中，，
∴
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）解：如图，点P即为所求．
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
∵是的中线，
∴．
【分析】(1) 先由、得垂直平分，再选条件①或③，通过证明三角形全等得到四边相等，从而判定四边形为菱形。
(2) 利用得，作的垂直平分线交于，则为斜边中线，故。
（1）解：可选择①或③．若选①：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
若选③：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线，即，
∴，
在和中，，
∴
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，点P即为所求．
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
∵是的中线，
∴．
19．综合与实践
【情境与问题】
小明家用一款菱形瓷砖（如图1，四边形是菱形，图中圆圈处，代表瓷砖上的花纹）铺地板时，发现在墙角处，剩了一块三角形的区域尚未铺（如图2）．要铺满这个区域，需找到合适的切割线，对菱形瓷砖进行切割．
【测量与初步方案】
小明测得等数据后，发现：若按图3中的虚线将瓷砖切割成两部分，则这两部分恰好可以把剩余区域铺满（即，这两部分可拼成如图4中阴影部分表示的，且）．
（1）求菱形的边长；
【方案优化与拓展】
考虑到小明的方案破坏了瓷砖上的花纹，影响美观，小明的爸爸提出了另外方案：按图5中的虚线将瓷砖切割成三部分．若小明爸爸的方案也恰好可行，根据上面信息，解答下列问题；
（2）操作：仿照图4，把图5中的三部分拼成一个三角形（其中部分保持不动），在图6中画出并指出所拼成的三角形；
（3）①填空：在图4中，______；在图5中，______；②求菱形的对角线的长度．
【答案】（1）解：如下图所示：
由题意得，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
∴．
故菱形的边长为；
（2）解：延长交所在的直线于点，如下图所示：
即为所拼成的三角形；
（3）解：②连接，如下图所示：
根据旋转性质知，由（3）①可知，，
，
则，
在菱形中，，则，
由（3）①可知，，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为矩形，
，
则，
由（1）知菱形的边长为，则；
由（3）①知，
在中，由勾股定理可得，
由（1）知菱形的边长为，由（3）①知，
则，
在中，由勾股定理可得．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①如图所示：
由（1）知，且菱形的边长为，
；
如图所示：
只有当点分别为中点，且，分别绕点旋转后，才可把三部分正好拼成．
此时，．
则，，
，
，
由旋转性质知，则，，
，
，
则，
，，
，
即是等腰三角形，则，
在等腰中，，
，
，则，
，
故答案为：；
【分析】(1) 由旋转全等得，结合菱形性质得，再由得，进而求出菱形边长。
(2) 延长、分别交所在直线于、，得到即为拼接成的三角形。
(3) ① 由全等得，再由相似与旋转性质得；
② 先证四边形为矩形，再在和中用勾股定理依次求出、的长度。
20．如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线．
（1）【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D．
①求证：；
②求此时x的值；
（2）【应用拓展】若射线交边于点F，．
①当时，求x的值；
②当时，直接写出x的值．
【答案】（1）解：①利用轴对称得，结合矩形中得，从而推出，证得；②由，在中用勾股定理求出，进而得到的长度．
（2）①当时，得，连接，利用勾股定理求出，再分E在线段上和延长线上两种情况，结合的不同表达式与勾股定理列方程求解；②当时，得，，同理求出，分两种情况列方程求解．
（1）
① 证明：∵ 点与关于对称∴，
∴，
∵ 四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
∴
② 解：∵ 四边形是矩形，
∴．
由①知，
在中，，
∴，
故．
（2）①解：连接，因，∴，即是直角三角形．
在与中，，
① 当时，，即，又．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在边上（如图），
，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
情况二：点E在的延长线上（如图），
同①情况一，，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
综合两种情况，当时，或．
②当时，或．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）② 当时，，即，又．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在边上（如图），
，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
情况二：点E在的延长线上（如图），
同②情况一，，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
综合两种情况，当时，或．
【分析】(1) ① 由轴对称性质得，结合矩形推出，进而证得；
② 由，在中用勾股定理求出，再计算，即。
(2) ① 当时，，先在中求出，再分点在线段上和延长线上两种情况，在中列勾股方程求解；
② 当时，，，先求出，再分点在线段上和延长线上两种情况，在中列勾股方程求解。
（1）① 证明：∵ 点与关于对称
∴，
∴，
∵ 四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
∴
② 解：∵ 四边形是矩形，
∴．
由①知，
在中，，
∴，
故．
（2）解：连接，因，
∴，即是直角三角形．
在与中，，
① 当时，，即，又．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在边上（如图），
，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
情况二：点E在的延长线上（如图），
同①情况一，，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
综合两种情况，当时，或．
② 当时，，即，又．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在边上（如图），
，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
情况二：点E在的延长线上（如图），
同②情况一，，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
综合两种情况，当时，或．
1 / 1广东省深圳市福田区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．打印又称“增材制造”技术，是一种依据三维数据通过逐层材料累加的方法制造实体零件的技术，如图是打印的一个蒙古包模型，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的解是（　　）
A． B．
C．， D．，
3．鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只．如果其中鸡脚总数与兔脚总数正好一样多，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
4．如图1，是一架人字梯，侧面可以抽象为梯形（图2），已知，且，若，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．
5．某生物小组为验证玉米能否产生叶绿素这一性状中基因的显隐性问题，将两株绿色玉米杂交后，收集种子种植出幼苗．调查统计后得到以下数据：
调查玉米幼苗数 100 200 500 1000 1500 2000 …
绿色幼苗个数 86 164 395 762 1128 1502 …
绿色幼苗频率 0.860 0.820 0.790 0.762 0.752 0.751 …
根据上表的数据，估计“两株绿色玉米杂交后的种子能产生绿色幼苗”的概率大约为（　　）
A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85
6．如图，已知五边形，以P点为位似中心画出五边形，使五边形与五边形位似，相似比为2．若五边形的周长为26，则五边形的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
7．根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国．已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆．设7月至9月的平均增长率为m，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知点A，B都在反比例函数位于第一象限的分支图象上，若线段的中点C在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．阳光照射小树在地面上形成的投影属于　 　投影(填“平行”或“中心”)。
10．2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛．参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为　 　（结果保留根号）．
11．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　 　．
12．如图所示，点A，B，C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆，分别立于上述三点处．今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童眼睛的高度，标杆的高度，，，则旗杆高为　 　．
13．如图，在中，D是边上一点，若，，且，则长为　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分）
14．解方程：
（1）
（2）
15．2025年12月14日，深圳南山半程马拉松在深圳人才公园正式起跑．组委会需为赛事组建A，B，C三支人数相同的志愿服务队，并规定每位志愿者只能被随机分配至其中一个服务队．小深、小圳报名参加了此次赛事的志愿服务工作．
（1）小深被分配到A志愿服务队的概率______；
（2）请用树状图或列表法，求小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率．
16．“广湛”高铁线路于2025年12月22日正式开通运营，它是中国“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分．已知列车运行时间与平均速度（）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为保证列车运行安全，当运行时间为1小时40分时，列车的平均速度是多少？
17．中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多．
（1）设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示）
（2）若矩形的面积为，求的长度．
18．如图，在四边形中，，，对角线交于点O．
（1）下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由；
（2）尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
19．综合与实践
【情境与问题】
小明家用一款菱形瓷砖（如图1，四边形是菱形，图中圆圈处，代表瓷砖上的花纹）铺地板时，发现在墙角处，剩了一块三角形的区域尚未铺（如图2）．要铺满这个区域，需找到合适的切割线，对菱形瓷砖进行切割．
【测量与初步方案】
小明测得等数据后，发现：若按图3中的虚线将瓷砖切割成两部分，则这两部分恰好可以把剩余区域铺满（即，这两部分可拼成如图4中阴影部分表示的，且）．
（1）求菱形的边长；
【方案优化与拓展】
考虑到小明的方案破坏了瓷砖上的花纹，影响美观，小明的爸爸提出了另外方案：按图5中的虚线将瓷砖切割成三部分．若小明爸爸的方案也恰好可行，根据上面信息，解答下列问题；
（2）操作：仿照图4，把图5中的三部分拼成一个三角形（其中部分保持不动），在图6中画出并指出所拼成的三角形；
（3）①填空：在图4中，______；在图5中，______；②求菱形的对角线的长度．
20．如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线．
（1）【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D．
①求证：；
②求此时x的值；
（2）【应用拓展】若射线交边于点F，．
①当时，求x的值；
②当时，直接写出x的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图；简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从物体正上方观察得到的平面图形。该蒙古包模型由圆柱和圆锥组成，从正上方观察时， 蒙古包模型的俯视图是：；
故答案为：D。
【分析】 先明确俯视图的定义是从物体正上方观察得到的平面图形，再结合蒙古包模型的结构特征，分析各选项与实际俯视效果的匹配性，选出正确答案。
2．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得：，，
故选：C．
【分析】
当方程为 且 时，两边直接开平方，得．当方程为 且 时，两边直接开平方，得，再分别解这两个一元一次方程，即可得到原方程的解；若，则实数范围内无解．
3．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵鸡有x只，兔有y只，
∴鸡脚总数为，兔脚总数为，
∵鸡脚总数等于兔脚总数，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【分析】
先根据鸡、兔的脚数关系列出等式，再利用比例的基本性质对等式进行变形，求出相应比例．
4．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：因为AB平行于CD，CD平行于EF，根据平行线分线段成比例定理，截线AE上的线段比等于截线BF上的线段比，即。
已知AC = 2CE，BD = 0.6m，将AC替换为2CE，代入比例式得，约去CE后得到
解方程得DF = 0.3m。
故答案为：B。
【分析】 利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例关系，建立比例式求解未知线段长度。
5．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵调查玉米幼苗数达2000时，绿色幼苗频率为0.751，且1500株时频率为0.752，均接近0.75，
∴估计概率约为，
故选：B．
【分析】
大量重复试验中，频率会在概率附近摆动；试验次数越多，摆动越小，稳定值可作为概率的估计．因此确定稳定频率后，即可估计所求事件的概率．
6．【答案】D
【知识点】相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，相似比为2，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比，即原五边形周长与新五边形周长的比为2：1。
已知原五边形ABCDE的周长为26，设新五边形A'B'C'D'E'的周长为，则，解得。
故答案为：D。
【分析】 利用位似图形的性质，位似图形的周长比等于相似比，结合已知的相似比和原五边形周长，计算出新五边形的周长。
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设7月至9月的平均增长率为m，则可列方程为，
故选：A．
【分析】
7月到9月相隔两个月，且月增长率相同，所以每过一个月，出口量就在上月基础上乘．连续增长两次后，9月出口量等于7月出口量乘，代入65.2万辆即可列出关于 的方程．
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点，，因为、在反比例函数上，所以，。
线段的中点坐标为，又在上，因此：
展开得：
由均值不等式，（因、是不同点，等号不成立），故：
即。
故答案为：A。
【分析】通过设点坐标，利用中点坐标公式表示出中点的坐标，再结合反比例函数值的几何意义建立等式，比较与的大小。
9．【答案】平行
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得：
阳光照射小树在地面上形成的投影属于平行投影
故答案为：平行
【分析】根据平行投影即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的一组邻边和一条对角线形成等腰直角三角形，
∴一条对角线长为，
∴副骨架的总长为，
故答案为：．
【分析】
正方形四边相等且四个角都是直角，相邻两边与一条对角线构成直角三角形；先用勾股定理求出一条对角线，再根据两条对角线相等求其和．
11．【答案】9
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
12．【答案】5
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点F作，交于点M，交于点N，
则四边形，都是矩形，
∴，，，，
根据平面镜反射原理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：5．
【分析】过点F作平行于地面的辅助线，构造矩形得到线段长度，结合光的反射原理证明两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出ND的长度，最后加上NC得到旗杆高度CD。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作，交的延长线于点H，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
故答案为：．
【分析】作交延长线于，由得等腰直角，故；再证，得，设，在中用勾股定理列方程求出，进而得到的长。
14．【答案】（1）解：
x(x-6)=0。
x=0或x-6=0。
∴x1=0， x2=6。
（2）解：原方程可变形为
配方，得
即
x-2=±3
∴x1=5， x2=-1。
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据配方法解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）；
（2）解：列表如下：
小圳 小深 A B C
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中小深和小圳都被分配到B志愿服务队的结果有1种，
∴概率为．
答：小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵ 小深有种等可能的分配结果，且每种结果概率相等，
∴ 小深被分配到A志愿服务队的概率为．
故答案为：．
【分析】(1) 小深有 3 种等可能的分配结果，其中分配到 A 队的结果只有 1 种，直接用概率公式计算。
(2) 用列表法列出两人分配的所有 9 种等可能结果，其中两人都分到 B 队的结果只有 1 种，代入概率公式求解。
（1）解：∵ 小深有种等可能的分配结果，且每种结果概率相等，
∴ 小深被分配到A志愿服务队的概率为．
故答案为：．
（2）解：列表如下：
小圳 小深 A B C
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中小深和小圳都被分配到B志愿服务队的结果有1种，
∴概率为．
答：小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率为．
16．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为，
将代入得，．
解得：．
所以y与x之间的函数表达式为．
（2）解：1小时40分小时．
当时，得，，
解得．
所以，这趟列车的平均速度为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1) 设反比例函数表达式为，将点代入求出，得到函数解析式。
(2) 将运行时间1小时40分换算为小时，代入函数解析式，解方程求出对应的平均速度。
（1）解：设y与x之间的函数表达式为，
将代入得，．
解得：．
所以y与x之间的函数表达式为．
（2）解：1小时40分小时．
当时，得，，
解得．
所以，这趟列车的平均速度为．
17．【答案】（1），；
（2）解：∵矩形的面积为，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴的长度为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为，
∴．
∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界，
∴．
故答案为：，；
【分析】(1) 根据起飞区与场地边界的距离，将EH、EF的长度与边界距离相加，用含x的代数式表示出AB和BC的长度。
(2) 利用矩形面积公式列出关于x的一元二次方程，求解后舍去负根，得到EH的长度。
（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为，
∴．
∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵矩形的面积为，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴的长度为．
18．【答案】（1）（1）解：可选择①或③．若选①：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
若选③：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线，即，
∴，
在和中，，
∴
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）解：如图，点P即为所求．
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
∵是的中线，
∴．
【分析】(1) 先由、得垂直平分，再选条件①或③，通过证明三角形全等得到四边相等，从而判定四边形为菱形。
(2) 利用得，作的垂直平分线交于，则为斜边中线，故。
（1）解：可选择①或③．若选①：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
若选③：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线，即，
∴，
在和中，，
∴
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，点P即为所求．
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
∵是的中线，
∴．
19．【答案】（1）解：如下图所示：
由题意得，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
∴．
故菱形的边长为；
（2）解：延长交所在的直线于点，如下图所示：
即为所拼成的三角形；
（3）解：②连接，如下图所示：
根据旋转性质知，由（3）①可知，，
，
则，
在菱形中，，则，
由（3）①可知，，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为矩形，
，
则，
由（1）知菱形的边长为，则；
由（3）①知，
在中，由勾股定理可得，
由（1）知菱形的边长为，由（3）①知，
则，
在中，由勾股定理可得．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①如图所示：
由（1）知，且菱形的边长为，
；
如图所示：
只有当点分别为中点，且，分别绕点旋转后，才可把三部分正好拼成．
此时，．
则，，
，
，
由旋转性质知，则，，
，
，
则，
，，
，
即是等腰三角形，则，
在等腰中，，
，
，则，
，
故答案为：；
【分析】(1) 由旋转全等得，结合菱形性质得，再由得，进而求出菱形边长。
(2) 延长、分别交所在直线于、，得到即为拼接成的三角形。
(3) ① 由全等得，再由相似与旋转性质得；
② 先证四边形为矩形，再在和中用勾股定理依次求出、的长度。
20．【答案】（1）解：①利用轴对称得，结合矩形中得，从而推出，证得；②由，在中用勾股定理求出，进而得到的长度．
（2）①当时，得，连接，利用勾股定理求出，再分E在线段上和延长线上两种情况，结合的不同表达式与勾股定理列方程求解；②当时，得，，同理求出，分两种情况列方程求解．
（1）
① 证明：∵ 点与关于对称∴，
∴，
∵ 四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
∴
② 解：∵ 四边形是矩形，
∴．
由①知，
在中，，
∴，
故．
（2）①解：连接，因，∴，即是直角三角形．
在与中，，
① 当时，，即，又．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在边上（如图），
，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
情况二：点E在的延长线上（如图），
同①情况一，，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
综合两种情况，当时，或．
②当时，或．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）② 当时，，即，又．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在边上（如图），
，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
情况二：点E在的延长线上（如图），
同②情况一，，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
综合两种情况，当时，或．
【分析】(1) ① 由轴对称性质得，结合矩形推出，进而证得；
② 由，在中用勾股定理求出，再计算，即。
(2) ① 当时，，先在中求出，再分点在线段上和延长线上两种情况，在中列勾股方程求解；
② 当时，，，先求出，再分点在线段上和延长线上两种情况，在中列勾股方程求解。
（1）① 证明：∵ 点与关于对称
∴，
∴，
∵ 四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
∴
② 解：∵ 四边形是矩形，
∴．
由①知，
在中，，
∴，
故．
（2）解：连接，因，
∴，即是直角三角形．
在与中，，
① 当时，，即，又．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在边上（如图），
，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
情况二：点E在的延长线上（如图），
同①情况一，，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
综合两种情况，当时，或．
② 当时，，即，又．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在边上（如图），
，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
情况二：点E在的延长线上（如图），
同②情况一，，
∴，
又，
在中，，即，
解得：．
综合两种情况，当时，或．
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