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广东省深圳市宝安区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列各数中是无理数的是 （　　）
A． B． C．2.26 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是整数，属于有理数，不是无理数，故不符合题意；
B、是分数，属于有理数，不是无理数，故不符合题意；
C、2.26是有限小数，属于有理数，不是无理数，故不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选：D．
【分析】
辨别无理数时，关键看它是否为无限不循环小数，也就是能否写成两个整数之比；圆周率 是常见例子，按这一特征逐一核对所给对象即可．
2．根据下列表述，不能确定具体位置的是 （　　）
A．东经，北纬 B．深圳市深南大道4013号
C．某港口南偏东 D．城市影院6号厅6排6座
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：东经，北纬能确定具体位置，故A选项不符合题意；
深圳市深南大道4013号能确定具体位置，故B选项不符合题意；
某港口南偏东不能确定具体位置，故C选项符合题意；
城市影院6号厅6排6座能确定具体位置，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
判断能否确定位置，关键是看所给条件能否唯一对应一个点：经纬度、具体门牌、厅排座都具有唯一性；只给出一个方向角时，只能确定一条射线，射线上各点均满足条件，因而不能唯一定位．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
4．某信息奥赛小组参加“软件能力认证比赛，比赛结果出来后，信息老师说：“这次比赛被认定为入门级二等的同学最多．”这句话是在用 （　　） 描述比赛结果的数据特征
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵众数表示数据中出现次数最多的值，
∴“这次比赛被认定为入门级二等的同学最多．”这句话是在用众数描述比赛结果的数据特征．
故选B．
【分析】
平均数、中位数、众数用于刻画一组数据的集中趋势，方差用于刻画数据的离散程度。“最多”表示某类数据出现得最频繁，正符合众数的定义；其他统计量不能仅由“最多”确定。因此应选众数．
5．现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵长方形彩带，
∴，
∴，
根据折叠性质得：．
故答案为：B．
【分析】根据题目情境，结合平行线的性质计算得等于，再根据折叠的性质得到的度数.
6．今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱．根据题意，列出的二元一次方程组为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故选：A．
【分析】
根据题目大意中给出的已知条件，列出两个二元一次方程，将两个二元一次方程进行联立求解即可.
7．如图，线段是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地米）安装着一个感应器，当人体进入感应范围内时，门会自动打开．身高米的小宝（线段）走向感应门，当离门米时（米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于 （　　）
A．2米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点D作于点E，如图
∵米，米，
∴米，
在中，米，AE=0.5米，
∴（米）．
故答案为：C．
【分析】本题先做辅助线，即过点D作于点E，此时构造出，然后根据矩形的性质计算求出AE=0.5米，最后利用勾股定理列式即可求出的长度．
8．在《神奇的加密术》中，一种加密规则如下：将英文字母对应的数字（，，···，）记为x，加密后的数字y满足“”；若，则将y减去27得到新结果．若结果为0，则对应字母Z；否则，将所得结果（y或新结果）对应为英文字母．图为英文字母和数字的对应表：
字母 A B C D E F G H I J K L M
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母 N O P Q R S T U V W X Y Z
数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
示例：原字母“D”（），加密得，对应字母“I”．现有字母“”，则加密后的字母是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数值；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：字母“L”对应数字，，对应字母“Y”；
字母“R”对应数字，，
∴，对应字母“J”；
∴加密后的字母是“”．
故答案为：A．
【分析】本题结合条件并结合表格中的信息，先将x=12代入函数关系式中，求出y的值小于26，即可在表格中找到对应的字母Y；再将x=18代入函数关系式中，计算出y的值大于26，因此再减去27计算出的数值从表格中找到对应的字母J，从而得出答案。
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．当x=　 　时，二次根式有意义（写出一个符合条件的实数）．
【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2x+3≥0
解得：
故答案为：1(答案不唯一)
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．已知和关于x轴对称，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵和关于x轴对称，
∴，且，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
由关于 轴对称的两点坐标关系可知：横坐标不变，纵坐标互为相反数；据此可列出关于 的方程，解出后再按有理数乘方法则计算．
11．学校体育节进行入场式展示评比，评分项目队列整齐、精神面貌和主题创意依次按照2：3：5计算综合成绩．启航班这三项分别得了88分、90分和92分，则启航班的综合成绩是　 　分．
【答案】90.6
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：90.6
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
12．在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为　 　．
【答案】y=15+6x
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元
由题意可得：y=15+6x
故答案为：y=15+6x
【分析】 设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元 ，根据购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元建立函数关系式即可求出答案.
13．如图，在四边形中，，，对角线平分，且，点E是上一点，连接和．记的面积为，的面积为，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：延长、交于点F，作交于G，作交于M，作交于N，连接，如图，
∵，即，
∵，
∴，
∵对角线平分，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，，
∵，，
∴，
即
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】做辅助线后，根据直角三角形锐角互余计算出，根据角平分线的定义以及平行线的性质，综合得到，，，依据平角定义得出，根据等腰三角形的性质得出，，此时即可计算出，根据“含30度角的直角三角形性质”得到，此时即可利用勾股定理列式求出，根据等角对等边得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，同理可得，，根据三角形面积公式可知，进而求出，计算即可．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分）
14．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；

（2）解：
．

【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）先分别求出立方根、绝对值与零指数幂的结果，再把得到的各项相加减；
（2）先按照二次根式的乘、除法则化简，再把同类二次根式合并．
（1）解：
；
（2）解：
．
15．解方程组：
【答案】解：
，得，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
所以，二元一次方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
利用加减消元法消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程计算即可.
16．在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下：
小宝同学：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．
（1）小宝同学的测试成绩数据的四分位数 ， ， 、
（2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图， 成绩比较集中；
（3）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由．
【答案】（1）70；90；96
（2）小安
（3）解：理由1（看平均分）：
小宝的平均分：（分）
小安的平均分：（分）
小安的平均分更高，且成绩更稳定；
理由2（看稳定性）：
小安的成绩箱线图更窄，说明四分位距更小，成绩波动更小，发挥更稳定．
综上可得，应选派小安参加比赛．
【知识点】平均数及其计算；箱线图；四分位数
【解析】【解答】
（1）
解：小宝的成绩从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 (共10个数据)
所以，，，，
故答案为：70；90；96；
（2）
解：观察图中，小安的箱线图更窄，因此小安的成绩比较集中，
故答案为：小安.
【分析】
（1）先将小宝同学的测试成绩数据从小到大排序，再计算出四分位数即可求解；
（2）根据箱线图的宽度即可判断求解；
（3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可求解．
（1）解：小宝的成绩从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 (共10个数据)
所以，，，，
故答案为：70；90；96；
（2）解：观察图中，小安的箱线图更窄，因此小安的成绩比较集中，
故答案为：小安；
（3）理由1（看平均分）：
小宝的平均分：（分）
小安的平均分：（分）
小安的平均分更高，且成绩更稳定；
理由2（看稳定性）：
小安的成绩箱线图更窄，说明四分位距更小，成绩波动更小，发挥更稳定．
综上，应选派小安参加比赛．
17．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上．
（1）过点C作，且，画出线段；
（2）在（1）的条件下，求证：平分．
【答案】（1）解：如图，线段即为所求，
（2）证明：∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；作图-平行线；两直线平行，内错角相等；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）观察网格图发现，将B点左移3个单位、下移1个单位，就是A点，因此将C点左移左移3个单位、下移1个单位就是D点，找到D点后连接CD即可；
（2）先分别求出CD、AD、AC的长度，利用勾股定理逆定理即可得出是等腰直角三角形，从而得出，依据“两直线平行、内错角相等”得出，因此，得出证明结果。
（1）解：如图，线段即为所求，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴平分．
18．学校创客社团为科技节布置展位，需运输打印器材与编程设备的包装箱，现租用了A型手动折叠款和B型电动轻便款两种小型搬运车：已知用2辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次可装满16个包装箱；用1辆A型搬运车和2辆B型搬运车一次可装满14个包装箱．
（1）1辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次分别能装满多少个包装箱？
（2）现有32个包装箱需一次性运完，计划租用A型车a辆和B型车b 辆（a、b为正整数，每种搬运车至少租一辆），每辆车均装满且无剩余．已知A型搬运车单次租用费18元，B型搬运车单次租用费15元，请设计出最省钱的租车方案，并求最少费用．
【答案】（1）解：设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据题意，得：
，解得，
答：1辆A型搬运车一次能装满6个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满4个包装箱；
（2）解：由（1）知：1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，需运输32个包装箱，得，
化简得，
∴，
∵，，且a，b为正整数，
∴或，
费用，
当，时，（元），
当，时，（元），
∴最省钱方案为，，费用102元．
答：租A型车4辆和B型车2辆，最少费用102元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】
（1）设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据题目给出的已知条件，可列出关于x、y的二元一次方程组，求解方程组即可；
（2）已知总共有32个包装箱，1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，需运输32个包装箱，得，化简得出b的式子，已知a，b都是正整数，且每种车至少租1辆，所以，，进而得出a，b的值，然后计算费用选择最优方案即可.
（1）解：设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据题意，得：
，解得，
答：1辆A型搬运车一次能装满6个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满4个包装箱；
（2）解：由（1）知：1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，
需运输32个包装箱，得，
化简得，
∴，
∵，，且a，b为正整数，
∴或，
费用，
当，时，（元），
当，时，（元），
∴最省钱方案为，，费用102元．
答：租A型车4辆和B型车2辆，最少费用102元．
19．【回顾教材】
在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初
步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换．
【基础应用】
（1）如图1，的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为．若，则 ；
【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？
（2）小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，已知，面积分别为m，n，p，q． 若求的值．
（3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形的边上，连接，若，，求c的值．
【答案】（1）；
（2）解：连接，如图
∵，
∴和是直角三角形，
∴由勾股定理得，且，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作于点，过点作于点，如图，
在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，，
又∵，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴或（舍弃负值）．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）∵为直角三角形，
∴，
由正方形可得，，
∴，
∴或-（舍弃负值），
故答案为：（1）；
【分析】（1）根据勾股定理得，再由正方形面积公式以及图中信息，综合得出，此时求解后取正数即可；
（2）运用勾股定理以及图中信息，列式得出，再根据正方形的面积，即可得到，即可求解；
（3）做辅助线后，利用AAS先证明，则，然后用a来分别表示和，而，，再由建立方程求解，最后由勾股定理列式后，求解a取正数即可．
20．【新定义】
若两条直线和的交点在x轴上，且直线l分别与直线交于点，与直线交于点（P、Q不与原点重合），则称直线l是和的“美好对应轴”．
例：如图1所示，与相交于点，直线分别与，交于点和点，称直线l是和的“美好对应轴”．
（1）若直线l是和的“美好对应轴”，已知直线l与交点为，则另外一个交点Q（　 　，　 　）；
（2）如图2所示，已知，，请判断是否为和的“美好对应轴”，并说明理由；
（3）如图3所示，已知，，若l是和的“美好对应轴”，请求出的函数表达式．
（4）【拓展研究】
如图4所示，，直线l是和的“美好对应轴”，l和交于点P，l和交于点Q，连接、，若的面积和的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）2，3；解：（2）直线l是和的“美好对应轴”，理由如下：∵解方程组得，∴直线与直线的交点为，该交点在x轴上；∵解方程组得，∴直线与直线的交点为，∵解方程组得，∴直线与直线的交点为，∴是和的“美好对应轴”．（3）∵对于直线，令，则，解得，∴直线与x轴的交点为，∵解方程组得，∴直线与直线的交点为，∵l是和的“美好对应轴”，∴直线过点，，设直线的函数解析式为，∴，解得，∴直线的函数解析式为．（4）直线与x轴的交点为，∴，，∵l和交于点P，∴设，∵l和交于点Q，直线l是和的“美好对应轴”，∴，∴，，∵的面积和的面积存在两倍关系，∴或，①当时，，解得或，当时，，则；当时，，则；②当时，解得或，当时，，则；当时，，则；综上所述，点P的坐标为或，，．
（1）2；3
（2）解：直线l是和的“美好对应轴”，理由如下：
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为，该交点在x轴上；
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为，
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为，
∴是和的“美好对应轴”．
（3）解：∵对于直线，令，则，解得，
∴直线与x轴的交点为，
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为，
∵l是和的“美好对应轴”，
∴直线过点，，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为．
（4）或，，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵直线l与交点为，且直线l是和的“美好对应轴”，
∴另一交点Q的坐标为．
故答案为：（1）2，3．
（4）解：直线与x轴的交点为，
∴，，
∵l和交于点P，
∴设，
∵l和交于点Q，直线l是和的“美好对应轴”，
∴，
∴，
，
∵的面积和的面积存在两倍关系，
∴或，
①当时，，
解得或，
当时，，则；
当时，，则；
②当时，
解得或，
当时，，则；
当时，，则；
综上所述，点P的坐标为或，，．
【分析】（1）根据“美好对应轴”的定义，结合图中信息即可得出答案；
（2）先分别求出l1与l2、l1与l、l2与l的交点，最后结合交点坐标以及“美好对应轴”的定义判断即可；
（3）求出直线与x轴的交点为，与直线l的交点为，根据“美好对应轴”的定义得到直线过点，，运用待定系数法列式计算求解即可；
（4）由直线与x轴的交点为，得到，然后根据三角形面积计算公式得到，，而的面积和的面积存在两倍关系，从而得到或，最后分两种情况分别求解即可．
1 / 1广东省深圳市宝安区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列各数中是无理数的是 （　　）
A． B． C．2.26 D．
2．根据下列表述，不能确定具体位置的是 （　　）
A．东经，北纬 B．深圳市深南大道4013号
C．某港口南偏东 D．城市影院6号厅6排6座
3．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．某信息奥赛小组参加“软件能力认证比赛，比赛结果出来后，信息老师说：“这次比赛被认定为入门级二等的同学最多．”这句话是在用 （　　） 描述比赛结果的数据特征
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
5．现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱．根据题意，列出的二元一次方程组为 （　　）
A． B．
C． D．
7．如图，线段是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地米）安装着一个感应器，当人体进入感应范围内时，门会自动打开．身高米的小宝（线段）走向感应门，当离门米时（米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于 （　　）
A．2米 B．米 C．米 D．米
8．在《神奇的加密术》中，一种加密规则如下：将英文字母对应的数字（，，···，）记为x，加密后的数字y满足“”；若，则将y减去27得到新结果．若结果为0，则对应字母Z；否则，将所得结果（y或新结果）对应为英文字母．图为英文字母和数字的对应表：
字母 A B C D E F G H I J K L M
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母 N O P Q R S T U V W X Y Z
数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
示例：原字母“D”（），加密得，对应字母“I”．现有字母“”，则加密后的字母是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．当x=　 　时，二次根式有意义（写出一个符合条件的实数）．
10．已知和关于x轴对称，则的值为　 　．
11．学校体育节进行入场式展示评比，评分项目队列整齐、精神面貌和主题创意依次按照2：3：5计算综合成绩．启航班这三项分别得了88分、90分和92分，则启航班的综合成绩是　 　分．
12．在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为　 　．
13．如图，在四边形中，，，对角线平分，且，点E是上一点，连接和．记的面积为，的面积为，若，则的值为　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分）
14．计算：
（1）
（2）
15．解方程组：
16．在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下：
小宝同学：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．
（1）小宝同学的测试成绩数据的四分位数 ， ， 、
（2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图， 成绩比较集中；
（3）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由．
17．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上．
（1）过点C作，且，画出线段；
（2）在（1）的条件下，求证：平分．
18．学校创客社团为科技节布置展位，需运输打印器材与编程设备的包装箱，现租用了A型手动折叠款和B型电动轻便款两种小型搬运车：已知用2辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次可装满16个包装箱；用1辆A型搬运车和2辆B型搬运车一次可装满14个包装箱．
（1）1辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次分别能装满多少个包装箱？
（2）现有32个包装箱需一次性运完，计划租用A型车a辆和B型车b 辆（a、b为正整数，每种搬运车至少租一辆），每辆车均装满且无剩余．已知A型搬运车单次租用费18元，B型搬运车单次租用费15元，请设计出最省钱的租车方案，并求最少费用．
19．【回顾教材】
在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初
步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换．
【基础应用】
（1）如图1，的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为．若，则 ；
【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？
（2）小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，已知，面积分别为m，n，p，q． 若求的值．
（3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形的边上，连接，若，，求c的值．
20．【新定义】
若两条直线和的交点在x轴上，且直线l分别与直线交于点，与直线交于点（P、Q不与原点重合），则称直线l是和的“美好对应轴”．
例：如图1所示，与相交于点，直线分别与，交于点和点，称直线l是和的“美好对应轴”．
（1）若直线l是和的“美好对应轴”，已知直线l与交点为，则另外一个交点Q（　 　，　 　）；
（2）如图2所示，已知，，请判断是否为和的“美好对应轴”，并说明理由；
（3）如图3所示，已知，，若l是和的“美好对应轴”，请求出的函数表达式．
（4）【拓展研究】
如图4所示，，直线l是和的“美好对应轴”，l和交于点P，l和交于点Q，连接、，若的面积和的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是整数，属于有理数，不是无理数，故不符合题意；
B、是分数，属于有理数，不是无理数，故不符合题意；
C、2.26是有限小数，属于有理数，不是无理数，故不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选：D．
【分析】
辨别无理数时，关键看它是否为无限不循环小数，也就是能否写成两个整数之比；圆周率 是常见例子，按这一特征逐一核对所给对象即可．
2．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：东经，北纬能确定具体位置，故A选项不符合题意；
深圳市深南大道4013号能确定具体位置，故B选项不符合题意；
某港口南偏东不能确定具体位置，故C选项符合题意；
城市影院6号厅6排6座能确定具体位置，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
判断能否确定位置，关键是看所给条件能否唯一对应一个点：经纬度、具体门牌、厅排座都具有唯一性；只给出一个方向角时，只能确定一条射线，射线上各点均满足条件，因而不能唯一定位．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵众数表示数据中出现次数最多的值，
∴“这次比赛被认定为入门级二等的同学最多．”这句话是在用众数描述比赛结果的数据特征．
故选B．
【分析】
平均数、中位数、众数用于刻画一组数据的集中趋势，方差用于刻画数据的离散程度。“最多”表示某类数据出现得最频繁，正符合众数的定义；其他统计量不能仅由“最多”确定。因此应选众数．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵长方形彩带，
∴，
∴，
根据折叠性质得：．
故答案为：B．
【分析】根据题目情境，结合平行线的性质计算得等于，再根据折叠的性质得到的度数.
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故选：A．
【分析】
根据题目大意中给出的已知条件，列出两个二元一次方程，将两个二元一次方程进行联立求解即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点D作于点E，如图
∵米，米，
∴米，
在中，米，AE=0.5米，
∴（米）．
故答案为：C．
【分析】本题先做辅助线，即过点D作于点E，此时构造出，然后根据矩形的性质计算求出AE=0.5米，最后利用勾股定理列式即可求出的长度．
8．【答案】A
【知识点】函数值；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：字母“L”对应数字，，对应字母“Y”；
字母“R”对应数字，，
∴，对应字母“J”；
∴加密后的字母是“”．
故答案为：A．
【分析】本题结合条件并结合表格中的信息，先将x=12代入函数关系式中，求出y的值小于26，即可在表格中找到对应的字母Y；再将x=18代入函数关系式中，计算出y的值大于26，因此再减去27计算出的数值从表格中找到对应的字母J，从而得出答案。
9．【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2x+3≥0
解得：
故答案为：1(答案不唯一)
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵和关于x轴对称，
∴，且，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
由关于 轴对称的两点坐标关系可知：横坐标不变，纵坐标互为相反数；据此可列出关于 的方程，解出后再按有理数乘方法则计算．
11．【答案】90.6
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：90.6
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
12．【答案】y=15+6x
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元
由题意可得：y=15+6x
故答案为：y=15+6x
【分析】 设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元 ，根据购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元建立函数关系式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：延长、交于点F，作交于G，作交于M，作交于N，连接，如图，
∵，即，
∵，
∴，
∵对角线平分，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，，
∵，，
∴，
即
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】做辅助线后，根据直角三角形锐角互余计算出，根据角平分线的定义以及平行线的性质，综合得到，，，依据平角定义得出，根据等腰三角形的性质得出，，此时即可计算出，根据“含30度角的直角三角形性质”得到，此时即可利用勾股定理列式求出，根据等角对等边得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，同理可得，，根据三角形面积公式可知，进而求出，计算即可．
14．【答案】（1）解：
；

（2）解：
．

【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）先分别求出立方根、绝对值与零指数幂的结果，再把得到的各项相加减；
（2）先按照二次根式的乘、除法则化简，再把同类二次根式合并．
（1）解：
；
（2）解：
．
15．【答案】解：
，得，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
所以，二元一次方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
利用加减消元法消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程计算即可.
16．【答案】（1）70；90；96
（2）小安
（3）解：理由1（看平均分）：
小宝的平均分：（分）
小安的平均分：（分）
小安的平均分更高，且成绩更稳定；
理由2（看稳定性）：
小安的成绩箱线图更窄，说明四分位距更小，成绩波动更小，发挥更稳定．
综上可得，应选派小安参加比赛．
【知识点】平均数及其计算；箱线图；四分位数
【解析】【解答】
（1）
解：小宝的成绩从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 (共10个数据)
所以，，，，
故答案为：70；90；96；
（2）
解：观察图中，小安的箱线图更窄，因此小安的成绩比较集中，
故答案为：小安.
【分析】
（1）先将小宝同学的测试成绩数据从小到大排序，再计算出四分位数即可求解；
（2）根据箱线图的宽度即可判断求解；
（3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可求解．
（1）解：小宝的成绩从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 (共10个数据)
所以，，，，
故答案为：70；90；96；
（2）解：观察图中，小安的箱线图更窄，因此小安的成绩比较集中，
故答案为：小安；
（3）理由1（看平均分）：
小宝的平均分：（分）
小安的平均分：（分）
小安的平均分更高，且成绩更稳定；
理由2（看稳定性）：
小安的成绩箱线图更窄，说明四分位距更小，成绩波动更小，发挥更稳定．
综上，应选派小安参加比赛．
17．【答案】（1）解：如图，线段即为所求，
（2）证明：∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；作图-平行线；两直线平行，内错角相等；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）观察网格图发现，将B点左移3个单位、下移1个单位，就是A点，因此将C点左移左移3个单位、下移1个单位就是D点，找到D点后连接CD即可；
（2）先分别求出CD、AD、AC的长度，利用勾股定理逆定理即可得出是等腰直角三角形，从而得出，依据“两直线平行、内错角相等”得出，因此，得出证明结果。
（1）解：如图，线段即为所求，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴平分．
18．【答案】（1）解：设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据题意，得：
，解得，
答：1辆A型搬运车一次能装满6个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满4个包装箱；
（2）解：由（1）知：1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，需运输32个包装箱，得，
化简得，
∴，
∵，，且a，b为正整数，
∴或，
费用，
当，时，（元），
当，时，（元），
∴最省钱方案为，，费用102元．
答：租A型车4辆和B型车2辆，最少费用102元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】
（1）设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据题目给出的已知条件，可列出关于x、y的二元一次方程组，求解方程组即可；
（2）已知总共有32个包装箱，1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，需运输32个包装箱，得，化简得出b的式子，已知a，b都是正整数，且每种车至少租1辆，所以，，进而得出a，b的值，然后计算费用选择最优方案即可.
（1）解：设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据题意，得：
，解得，
答：1辆A型搬运车一次能装满6个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满4个包装箱；
（2）解：由（1）知：1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，
需运输32个包装箱，得，
化简得，
∴，
∵，，且a，b为正整数，
∴或，
费用，
当，时，（元），
当，时，（元），
∴最省钱方案为，，费用102元．
答：租A型车4辆和B型车2辆，最少费用102元．
19．【答案】（1）；
（2）解：连接，如图
∵，
∴和是直角三角形，
∴由勾股定理得，且，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作于点，过点作于点，如图，
在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，，
又∵，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴或（舍弃负值）．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）∵为直角三角形，
∴，
由正方形可得，，
∴，
∴或-（舍弃负值），
故答案为：（1）；
【分析】（1）根据勾股定理得，再由正方形面积公式以及图中信息，综合得出，此时求解后取正数即可；
（2）运用勾股定理以及图中信息，列式得出，再根据正方形的面积，即可得到，即可求解；
（3）做辅助线后，利用AAS先证明，则，然后用a来分别表示和，而，，再由建立方程求解，最后由勾股定理列式后，求解a取正数即可．
20．【答案】（1）2，3；解：（2）直线l是和的“美好对应轴”，理由如下：∵解方程组得，∴直线与直线的交点为，该交点在x轴上；∵解方程组得，∴直线与直线的交点为，∵解方程组得，∴直线与直线的交点为，∴是和的“美好对应轴”．（3）∵对于直线，令，则，解得，∴直线与x轴的交点为，∵解方程组得，∴直线与直线的交点为，∵l是和的“美好对应轴”，∴直线过点，，设直线的函数解析式为，∴，解得，∴直线的函数解析式为．（4）直线与x轴的交点为，∴，，∵l和交于点P，∴设，∵l和交于点Q，直线l是和的“美好对应轴”，∴，∴，，∵的面积和的面积存在两倍关系，∴或，①当时，，解得或，当时，，则；当时，，则；②当时，解得或，当时，，则；当时，，则；综上所述，点P的坐标为或，，．
（1）2；3
（2）解：直线l是和的“美好对应轴”，理由如下：
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为，该交点在x轴上；
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为，
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为，
∴是和的“美好对应轴”．
（3）解：∵对于直线，令，则，解得，
∴直线与x轴的交点为，
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为，
∵l是和的“美好对应轴”，
∴直线过点，，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为．
（4）或，，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵直线l与交点为，且直线l是和的“美好对应轴”，
∴另一交点Q的坐标为．
故答案为：（1）2，3．
（4）解：直线与x轴的交点为，
∴，，
∵l和交于点P，
∴设，
∵l和交于点Q，直线l是和的“美好对应轴”，
∴，
∴，
，
∵的面积和的面积存在两倍关系，
∴或，
①当时，，
解得或，
当时，，则；
当时，，则；
②当时，
解得或，
当时，，则；
当时，，则；
综上所述，点P的坐标为或，，．
【分析】（1）根据“美好对应轴”的定义，结合图中信息即可得出答案；
（2）先分别求出l1与l2、l1与l、l2与l的交点，最后结合交点坐标以及“美好对应轴”的定义判断即可；
（3）求出直线与x轴的交点为，与直线l的交点为，根据“美好对应轴”的定义得到直线过点，，运用待定系数法列式计算求解即可；
（4）由直线与x轴的交点为，得到，然后根据三角形面积计算公式得到，，而的面积和的面积存在两倍关系，从而得到或，最后分两种情况分别求解即可．
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