资源简介

广东省深圳市罗湖区2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷
1．在－2，0，1， 这四个数中，最小的数是（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：﹣2＜0＜1 。
故答案为：A。
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个正数绝对值大的就大，即可判断得出答案。
2．“三地联动、四城同传”，2025年11月2日上午，第十五届全国运动会火炬传递在深圳、广州、香港、澳门同步举行，展现了粤港澳大湾区城市的协同发展．以下图形是全运会历史上使用过的体育项目图标，其中轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意．
故选B．
【分析】
根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能后完全重合，这个图形就是轴对称图形，逐项分析即可.
3．某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为 85分、90分、92分.若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　）
A．85分 B．89分 C．90分 D．92分
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
85×20%+90×30%+92×50%=90
故答案为：C
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值有可能是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】由题意可得：，
解得：，
A：，故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确；
故选：D．
【分析】
把“根的情况”转化为判别式的符号：有两个不相等实根对应，有两个相等实根对应，没有实根对应．据此列式求参数，并注意二次项系数不能为零．
5．如图，已知与是位似图形，，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，的面积是1，则的面积是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，，
∴，且相似比为，
∴与的面积比为
∵的面积是1，
∴的面积是4，
故选：D
【分析】
已知与是位似图形，因此，即可得到对应边的比值，即，利用相似三角形的面积比的性质得出结论即可.
6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
【分析】根据一次函数是图像结合题意即可得到就是要找到当函数图象位于x轴的下方的图象，进而即可求解。
7．《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】∵绳子剩余4.5尺，
∴，
∵对折绳子量木，木剩余尺，
∴，
∴方程组为
故选：C．
【分析】
按照题目描述梳理信息，列出对应方程即可求解.
8．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如下图，过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E，
当直线与的唯一交点为A，且直线时，最小，
整理得：，此时方程有两个相等的实数根，
，
解得：（舍去），
直线为，
当时，，则；当时，，则；当时，，则，
，
，
，
过D作与C，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】
先联立直线与双曲线，用一元二次方程判别式确定相切时b的值，进而求出直线的解析式，然后求出当x=0时，y的值，当y=0时，x的值，进而求出点F、D、E的坐标，再利用勾股定理求出DF的长，最后利用三角函数分别求出和的值，最后求解即可.
9．计算 的结果是　 　。
【答案】-3
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：=-3
故答案为：-3
【分析】根据算术平方根即可求出答案.
10．如图，若，，，，则长为　 　．
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先找出各线段间的对应比例，据此建立比例式，再代入已知数据完成计算，从而求出未知量．
11．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：原方程化为：，
移项得：，
由不含的一次项，得一次项系数，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据完全平方公式和乘法分配律将式子左右两侧展开，整理为一元二次方程的一般形式，再根据条件列等式求解即可.
12．已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵当时，y的最大值是6，
∴，即函数图象分别在第二、四象限，
∴在每个象限内y随x增大而增大，
∴当时，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，则当时，函数有最小值，最小值为，
故答案为：．
【分析】
先由图象所在象限确定 的符号，再把 这一组对应值代入，用待定系数法求出，得到解析式．然后借助反比例函数的增减性判断 上的变化情况，最小值在端点 处取得，代入求值即可．
13．如图，菱形的边长为5，面积为20，H为边上一点，将沿着翻折至，和分别交边于点E和F，若，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作的垂线交延长线于点，过点H作于点，
∵菱形的边长为5，面积为20，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】这道题综合考查菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。过点C作AB的垂线交AB延长线于点G，过点H作于点Q，首先根据菱形的面积公式，底乘高等于面积，代入、面积为20，可求出高；再在中用勾股定理算出。由折叠的性质可知，结合，且菱形中，可推出，因此，进而可判定是等腰直角三角形，得到，设其长度为x，则，。接下来根据菱形对角相等，即，再结合直角三角形两锐角互余的性质，可推出，结合两个直角相等，可判定，根据相似三角形对应边成比例列方程，求出x的值后，代入即可得到结果。
14．计算：
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
实数混合运算中，先分别算清零次幂、乘方、负整数指数幂及绝对值，再统一进行加减；相关运算性质须使用准确，结果化为最简．
15．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并填空．
解方程：．
第1步：，
第2步：，
第3步：解得，，．
（1）小亮是用___________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）求解的，但他从第___________步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解方程过程．
【答案】（1）配方法，第2步
（2）解：，
整理得，
配方得，即，
开方得，
解得，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
（1）解：小亮同学是用配方法来求解的，从第2步开始出现错误，
故答案为：配方法，2；
【分析】
（1）配方法一般先使二次项系数为1，再移项，并在两边加上一次项系数一半的平方，最后开平方；判断时看各步是否符合这一顺序与依据．
（2）配方后依据平方根的意义得到两个一次方程，分别求解，开方时不要漏掉负值．
（1）解：小亮同学是用配方法来求解的，从第2步开始出现错误，
故答案为：配方法，2；
（2）解：，
整理得，
配方得，即，
开方得，
解得，．
16．深圳市公园数量年年增加，很多高品质、国际范的公园成为亮眼的城市名片．为了解全市的公园数量，数学小组选取A，B，C，D四个区域进行了抽样调查与评估，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据上述信息，回答下列问题：
（1）请你补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，C区域对应的圆心角度数是___________°；
（3）学校开展环保知识竞赛，老师鼓励同学们从A，B，C，D四个区域选取一个公园进行环境考察研究，已知选择C区域的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，请用画树状图法或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率．
【答案】（1）解：由题意可得所抽取的公园数量为（个，
区域B的公园数量为（个，
补全条形统计图如图所示：
（2）108
（3）解：画树状图如图：
所有等可能的情况有12种，其中选取的两名性别相同的学生的情况有4种，
选取的两名性别相同的学生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（2）解：扇形统计图中区域所对应扇形的圆心角，
故答案为：108；
【分析】
（1）先确定抽样总数，再反推 区域数量，最后补图；
（2）圆心角由 乘以 区域所占比例得到；
（3）通过树状图或列表把等可能结果逐一列出，找出性别相同的组合数，代入概率公式计算．
（1）解：由题意可得所抽取的公园数量为（个，
区域B的公园数量为（个，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：扇形统计图中区域所对应扇形的圆心角，
故答案为：108；
（3）解：画树状图如图：
所有等可能的情况有12种，其中选取的两名性别相同的学生的情况有4种，
选取的两名性别相同的学生的概率．
17．如图，在矩形中，是对角线．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边，分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形为菱形．
【答案】（1）解：如图所示：直线所求垂直平分线．
；
（2）证明：∵四边形是矩形，∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵是线段的垂直平分线，
∴四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）以线段两端点为圆心、大于线段长一半的长为半径画弧，连接两弧交点即得垂直平分线，作图时须保留画弧痕迹并标注交点O、E、F；
（2）先利用矩形对边平行得到AE∥CF，再借助垂直平分线提供得OA=OC与对顶角，通过全等三角形证得AE=CF，从而由一组对边平行且相等判定AECF为平行四边形，最后结合垂直平分线垂直这一条件，由对角线互相垂直得平行四边形是菱形完成证明即可.
（1）解：如图所示：直线所求垂直平分线．
；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵是线段的垂直平分线，
∴四边形是菱形．
18．如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面．
（1）若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？
（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
答：和分别为与．
（2）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解，所以想法不能实现．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）根据图形结构（三条垂直于墙得边，一条平行于墙的边）正确表示出矩形的长和宽，设垂直于墙的边BC为x，则平行于墙的边AB为（39-3x），列面积方程求解后，必须结合墙长限制对求得的根进行检验，舍去不符合的题意的解；
（2）假设面积能达到130米，列出对应的一元二次方程，通过计算跟的判别式来判断方程是否有实数根，从而确定想法是否可行.
（1）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
答：和分别为与．
（2）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解，所以想法不能实现．
19．根据以下素材，探索完成任务．
天文轨道计算问题
素材1 某星际探测器的主轨道是直线．
素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本；
素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B；
素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D．
任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k；
任务2 若发射基地B到观测点C的距离与到交汇点A的距离之比是，即，求的值．
任务3 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标．
【答案】解：任务1：将点代入，得：，解得：；
将点代入，得，
解得：；
任务2：如图2，过点A、C分别作轴于F，轴于G，则．
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
∵轴，
∴，，
∴，，
∴；
任务3：∵，
∴．
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为．
联立得：，解得：或（舍去），
当时，，
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】任务一：利用待定系数法，将交点A的坐标分别代入直线和双曲线解析式，即可求出参数k和b的值；
任务二：通过作辅助线，则得到AF∥CG，证明，结合已知线段比求出B、C的横坐标，进而求出点C和点D的纵坐标，最后计算线段的比值即可；
任务三：根据内错角相等，两直线平行得到OP∥AB，进而确定直线OP的解析式，联立直线OP与双曲线解析式，解方程组求出点P的坐标即可.
20．【问题情境】：已知在四边形中，，是对角线，且．
【数学思考】：（1）如图1，当，时，___________；___________；
【探究实践】：（2）如图2，当时，将绕点A顺时针旋转至与重合，得到，D的对应点为E，连接并延长交于点F．
①试说明；
②求证：；
【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若，，求的长．
【答案】（1）①，②；
（2）①证明：由旋转得，，，
∴，
∴；
②证明：如图，在上截取，连接．
由旋转得，，．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图所示，连接，过点A作于点H．
∵，，
∴．
由（2）可知，，
∴，即
∴，
∵，
∴，
∴．
由（2）可知，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：，.
【分析】(1)已知AD=CD=2、∠D=90 ，先判定△ACD为等腰直角三角形，算出斜边AC；结合AB=AC直接得到AB；再由AB=AC、∠ACB=45 判定△ABC等腰直角，拆分∠DAB=∠DAC+∠CAB完成角度计算.
(2)①相似证明 根据旋转性质得AD=AE、AC=AB，旋转角相等推出∠DAE=∠CAB，整理得到两组对应边成比例且夹角相等，依据 SAS 相似判定证明△ABC∽△ADE；
②在DF上截取DG=EF，利用旋转全等得到CD=BE、∠ADC=∠AEB=90 ，通过等角的余角相等推导∠CDF=∠BEF，SAS 证△DCG △EBF，得到CG=BF；再利用等角对等边证CF=CG，等量代换得BF=CF.
(3) 拓展求线段DF 先用勾股定理算出AD；借助 (2) 的相似三角形对应边比例求出DE；等腰△ADE三线合一得DH=DE，勾股算高AH；由BF=CF、AB=AC得AF⊥BC，算出AF；最后在Rt△AHF求FH，DF=DH+FH完成求值.
1 / 1广东省深圳市罗湖区2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷
1．在－2，0，1， 这四个数中，最小的数是（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．
2．“三地联动、四城同传”，2025年11月2日上午，第十五届全国运动会火炬传递在深圳、广州、香港、澳门同步举行，展现了粤港澳大湾区城市的协同发展．以下图形是全运会历史上使用过的体育项目图标，其中轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为 85分、90分、92分.若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　）
A．85分 B．89分 C．90分 D．92分
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值有可能是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．如图，已知与是位似图形，，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，的面积是1，则的面积是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
9．计算 的结果是　 　。
10．如图，若，，，，则长为　 　．
11．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是　 　．
12．已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为　 　．
13．如图，菱形的边长为5，面积为20，H为边上一点，将沿着翻折至，和分别交边于点E和F，若，则　 　．
14．计算：
15．下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并填空．
解方程：．
第1步：，
第2步：，
第3步：解得，，．
（1）小亮是用___________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）求解的，但他从第___________步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解方程过程．
16．深圳市公园数量年年增加，很多高品质、国际范的公园成为亮眼的城市名片．为了解全市的公园数量，数学小组选取A，B，C，D四个区域进行了抽样调查与评估，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据上述信息，回答下列问题：
（1）请你补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，C区域对应的圆心角度数是___________°；
（3）学校开展环保知识竞赛，老师鼓励同学们从A，B，C，D四个区域选取一个公园进行环境考察研究，已知选择C区域的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，请用画树状图法或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率．
17．如图，在矩形中，是对角线．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边，分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形为菱形．
18．如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面．
（1）若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？
（2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由．
19．根据以下素材，探索完成任务．
天文轨道计算问题
素材1 某星际探测器的主轨道是直线．
素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本；
素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B；
素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D．
任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k；
任务2 若发射基地B到观测点C的距离与到交汇点A的距离之比是，即，求的值．
任务3 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标．
20．【问题情境】：已知在四边形中，，是对角线，且．
【数学思考】：（1）如图1，当，时，___________；___________；
【探究实践】：（2）如图2，当时，将绕点A顺时针旋转至与重合，得到，D的对应点为E，连接并延长交于点F．
①试说明；
②求证：；
【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：﹣2＜0＜1 。
故答案为：A。
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个正数绝对值大的就大，即可判断得出答案。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意．
故选B．
【分析】
根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能后完全重合，这个图形就是轴对称图形，逐项分析即可.
3．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
85×20%+90×30%+92×50%=90
故答案为：C
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】由题意可得：，
解得：，
A：，故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确；
故选：D．
【分析】
把“根的情况”转化为判别式的符号：有两个不相等实根对应，有两个相等实根对应，没有实根对应．据此列式求参数，并注意二次项系数不能为零．
5．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，，
∴，且相似比为，
∴与的面积比为
∵的面积是1，
∴的面积是4，
故选：D
【分析】
已知与是位似图形，因此，即可得到对应边的比值，即，利用相似三角形的面积比的性质得出结论即可.
6．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
【分析】根据一次函数是图像结合题意即可得到就是要找到当函数图象位于x轴的下方的图象，进而即可求解。
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】∵绳子剩余4.5尺，
∴，
∵对折绳子量木，木剩余尺，
∴，
∴方程组为
故选：C．
【分析】
按照题目描述梳理信息，列出对应方程即可求解.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如下图，过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E，
当直线与的唯一交点为A，且直线时，最小，
整理得：，此时方程有两个相等的实数根，
，
解得：（舍去），
直线为，
当时，，则；当时，，则；当时，，则，
，
，
，
过D作与C，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】
先联立直线与双曲线，用一元二次方程判别式确定相切时b的值，进而求出直线的解析式，然后求出当x=0时，y的值，当y=0时，x的值，进而求出点F、D、E的坐标，再利用勾股定理求出DF的长，最后利用三角函数分别求出和的值，最后求解即可.
9．【答案】-3
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：=-3
故答案为：-3
【分析】根据算术平方根即可求出答案.
10．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先找出各线段间的对应比例，据此建立比例式，再代入已知数据完成计算，从而求出未知量．
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：原方程化为：，
移项得：，
由不含的一次项，得一次项系数，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据完全平方公式和乘法分配律将式子左右两侧展开，整理为一元二次方程的一般形式，再根据条件列等式求解即可.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵当时，y的最大值是6，
∴，即函数图象分别在第二、四象限，
∴在每个象限内y随x增大而增大，
∴当时，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，则当时，函数有最小值，最小值为，
故答案为：．
【分析】
先由图象所在象限确定 的符号，再把 这一组对应值代入，用待定系数法求出，得到解析式．然后借助反比例函数的增减性判断 上的变化情况，最小值在端点 处取得，代入求值即可．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作的垂线交延长线于点，过点H作于点，
∵菱形的边长为5，面积为20，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】这道题综合考查菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。过点C作AB的垂线交AB延长线于点G，过点H作于点Q，首先根据菱形的面积公式，底乘高等于面积，代入、面积为20，可求出高；再在中用勾股定理算出。由折叠的性质可知，结合，且菱形中，可推出，因此，进而可判定是等腰直角三角形，得到，设其长度为x，则，。接下来根据菱形对角相等，即，再结合直角三角形两锐角互余的性质，可推出，结合两个直角相等，可判定，根据相似三角形对应边成比例列方程，求出x的值后，代入即可得到结果。
14．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
实数混合运算中，先分别算清零次幂、乘方、负整数指数幂及绝对值，再统一进行加减；相关运算性质须使用准确，结果化为最简．
15．【答案】（1）配方法，第2步
（2）解：，
整理得，
配方得，即，
开方得，
解得，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
（1）解：小亮同学是用配方法来求解的，从第2步开始出现错误，
故答案为：配方法，2；
【分析】
（1）配方法一般先使二次项系数为1，再移项，并在两边加上一次项系数一半的平方，最后开平方；判断时看各步是否符合这一顺序与依据．
（2）配方后依据平方根的意义得到两个一次方程，分别求解，开方时不要漏掉负值．
（1）解：小亮同学是用配方法来求解的，从第2步开始出现错误，
故答案为：配方法，2；
（2）解：，
整理得，
配方得，即，
开方得，
解得，．
16．【答案】（1）解：由题意可得所抽取的公园数量为（个，
区域B的公园数量为（个，
补全条形统计图如图所示：
（2）108
（3）解：画树状图如图：
所有等可能的情况有12种，其中选取的两名性别相同的学生的情况有4种，
选取的两名性别相同的学生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（2）解：扇形统计图中区域所对应扇形的圆心角，
故答案为：108；
【分析】
（1）先确定抽样总数，再反推 区域数量，最后补图；
（2）圆心角由 乘以 区域所占比例得到；
（3）通过树状图或列表把等可能结果逐一列出，找出性别相同的组合数，代入概率公式计算．
（1）解：由题意可得所抽取的公园数量为（个，
区域B的公园数量为（个，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：扇形统计图中区域所对应扇形的圆心角，
故答案为：108；
（3）解：画树状图如图：
所有等可能的情况有12种，其中选取的两名性别相同的学生的情况有4种，
选取的两名性别相同的学生的概率．
17．【答案】（1）解：如图所示：直线所求垂直平分线．
；
（2）证明：∵四边形是矩形，∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵是线段的垂直平分线，
∴四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）以线段两端点为圆心、大于线段长一半的长为半径画弧，连接两弧交点即得垂直平分线，作图时须保留画弧痕迹并标注交点O、E、F；
（2）先利用矩形对边平行得到AE∥CF，再借助垂直平分线提供得OA=OC与对顶角，通过全等三角形证得AE=CF，从而由一组对边平行且相等判定AECF为平行四边形，最后结合垂直平分线垂直这一条件，由对角线互相垂直得平行四边形是菱形完成证明即可.
（1）解：如图所示：直线所求垂直平分线．
；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵是线段的垂直平分线，
∴四边形是菱形．
18．【答案】（1）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
答：和分别为与．
（2）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解，所以想法不能实现．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）根据图形结构（三条垂直于墙得边，一条平行于墙的边）正确表示出矩形的长和宽，设垂直于墙的边BC为x，则平行于墙的边AB为（39-3x），列面积方程求解后，必须结合墙长限制对求得的根进行检验，舍去不符合的题意的解；
（2）假设面积能达到130米，列出对应的一元二次方程，通过计算跟的判别式来判断方程是否有实数根，从而确定想法是否可行.
（1）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
答：和分别为与．
（2）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解，所以想法不能实现．
19．【答案】解：任务1：将点代入，得：，解得：；
将点代入，得，
解得：；
任务2：如图2，过点A、C分别作轴于F，轴于G，则．
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
∵轴，
∴，，
∴，，
∴；
任务3：∵，
∴．
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为．
联立得：，解得：或（舍去），
当时，，
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】任务一：利用待定系数法，将交点A的坐标分别代入直线和双曲线解析式，即可求出参数k和b的值；
任务二：通过作辅助线，则得到AF∥CG，证明，结合已知线段比求出B、C的横坐标，进而求出点C和点D的纵坐标，最后计算线段的比值即可；
任务三：根据内错角相等，两直线平行得到OP∥AB，进而确定直线OP的解析式，联立直线OP与双曲线解析式，解方程组求出点P的坐标即可.
20．【答案】（1）①，②；
（2）①证明：由旋转得，，，
∴，
∴；
②证明：如图，在上截取，连接．
由旋转得，，．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图所示，连接，过点A作于点H．
∵，，
∴．
由（2）可知，，
∴，即
∴，
∵，
∴，
∴．
由（2）可知，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：，.
【分析】(1)已知AD=CD=2、∠D=90 ，先判定△ACD为等腰直角三角形，算出斜边AC；结合AB=AC直接得到AB；再由AB=AC、∠ACB=45 判定△ABC等腰直角，拆分∠DAB=∠DAC+∠CAB完成角度计算.
(2)①相似证明 根据旋转性质得AD=AE、AC=AB，旋转角相等推出∠DAE=∠CAB，整理得到两组对应边成比例且夹角相等，依据 SAS 相似判定证明△ABC∽△ADE；
②在DF上截取DG=EF，利用旋转全等得到CD=BE、∠ADC=∠AEB=90 ，通过等角的余角相等推导∠CDF=∠BEF，SAS 证△DCG △EBF，得到CG=BF；再利用等角对等边证CF=CG，等量代换得BF=CF.
(3) 拓展求线段DF 先用勾股定理算出AD；借助 (2) 的相似三角形对应边比例求出DE；等腰△ADE三线合一得DH=DE，勾股算高AH；由BF=CF、AB=AC得AF⊥BC，算出AF；最后在Rt△AHF求FH，DF=DH+FH完成求值.
1 / 1

展开更多......

收起↑