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轨迹的“纯粹性”与“完备性”
　　“曲线的方程与方程的曲线”的定义包括两个方面：一是曲线上点的坐标都是方程的解———称为纯粹性；二是以方程的解为坐标的点都在曲线上———称为完备性．两者缺一不可，否则就容易导致失误．
　　例１　方程的曲线是（　　）
　　Ａ．两个点　　　　　　　Ｂ．一个圆
　　Ｃ．一条直线和一个圆　　Ｄ．两条射线和一个圆
　　解析：有不少同学由原方程直接得或，从而误选（Ｃ）．
　　以上解法忽视了定义域的限制，因此不符合轨迹的纯粹性．事实上，直线上的点并不都适合该曲线（必须在圆上或圆外才行）．故应选（Ｄ）．
　　例2　试求到两坐标轴距离之差恒为2的点的轨迹．
　　解析：设为轨迹上任意一点，则．
　　当，时，方程为，此时轨迹为以为端点，斜率为１的两条射线；
　　当时，方程为，此时轨迹为以为端点，斜率为的两条射线；
　　当时，方程为，此时轨迹为以为端点，斜率为１的两条射线；
　　当时，方程为，此时轨迹为以为端点，斜率为的两条射线．（曲线如右图）
　　评注：求轨迹的方程时，如果在轨迹条件解析化过程中忽视了方程变形的同解性，就可能破坏轨迹的纯粹性和完备性．本题易犯以下两方面的错误：一、如将方程两边平方，化为，即①，再两边平方得，即②，从而误认为轨迹为四条直线，就破坏了轨迹的纯粹性．这是因为方程①中，化为②后把的区域的一些点也包括进去了；二、如果将点到x轴的距离与到y轴的距离误认作y和x，得轨迹方程|，则不但会破坏轨迹的纯粹性，还会破坏轨迹的完备性———失去轨迹的四条射线，同时多出两条线段（即以为端点的两条线段）．
　　例3　过原点作直线与曲线交于A、B两点，求线段的中点的轨迹方程．
　　解析：设直线的方程为，把它代入曲线方程中，得，
　　设，
　　由根与系数的关系知，[来源:21世纪教育网]
　　∴，，消去k，得，
　　又由于直线与曲线有两个交点，
　　所以，
　　解得或．
　　由，得或．
　　从而可得，线段的中点的轨迹方程是（或）．
　　评注：求轨迹方程时，一定要清除“多余”，弥补“遗漏”，以保证相应轨迹的纯粹性与完备性．
精析“曲线与方程”
　　一、曲线与方程的概念21世纪教育网
　　1．对概念的理解
　　平面直角坐标系建立以后，平面上的点，M与实数对（x，y）建立了一一对应关系，点的运动形成了曲线C，与之对应的实数对的变化，就形成了方程．这样，在曲线与方程之间就形成了某种对应关系．这种对应关系表现为：
　　如果曲线C上的点与方程的实数解建立了如下关系：[21世纪教育网
　　①曲线C上点的坐标都是方程的解；
　　②以方程的解为坐标的点都在曲线C上．
　　那么，方程叫做曲线C的方程；曲线C叫做方程的曲线．
　　曲线与方程建立了上述严格的对应关系后，两者就成为同一关系的两种不同表达形式．因此，我们就可以通过方程来研究曲线，也可以利用曲线来研究方程，这就是解析几何处理问题的基本思想———数与形的统一．
　　注意：在坐标系确定以后，曲线被它的方程惟一确定．但曲线的方程不是惟一的，因为在同一坐标系下，还有同解方程．
　　2．对概念在两种观点下的再认识
（1）以轨迹的观点认识“曲线与方程”
条件①保证了曲线上所有的点都适合条件；条件②保证了适合条件的所有点都在曲线上．前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．①、②同时成立说明曲线C上符合条件的点既不能多也不能少，纯粹性和完备性同时成立才能保证曲线与方程间的相互转化．
（2）以集合的观点认识“曲线与方程”
设集合，，条件①说明，条件②说明．若条件①、②同时成立，则可认为既有，又有，从而集合相等，即．
　　二、求曲线的方程的流程图
[来源:21世纪教育网]
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　　流程图可简记为：
　　注意：1．建立适当的坐标系．坐标系建立得适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单．在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性．如中心对称图形，可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴作为坐标轴；条件中若有直角，可考虑将直角的两直角边作为坐标轴等．
　　2．由条件列出方程．根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环．应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些相关概念、公式、性质、定理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方程化简，使求得的方程是最简单的形式．
　　3．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等．
　　三、曲线的交点
求曲线的交点就是求这两条曲线的方程组成的方程组的实数解．方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点．若方程组无实数解，那么这两条曲线就没有交点．因此两条曲线有交点的充要条件是由这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解．

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