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巧用条件 妙求椭圆方程
已知曲线轨迹为椭圆求其方程时，常用待定系数法，在许多情况下，若恪守常规，常会导致过程繁琐，运算量增大，但如果对题目条件合理使用，对标准方程进行“改造”，常可避繁就简，事半功倍，现举几例，寻求椭圆方程的巧妙求法．
一．改造设法之一：巧设，避免讨论．
例1．求经过两点的椭圆标准方程．
分析：由条件，不能确定焦点在轴还是轴上，若直接设标准方程，需分两种情况讨论，则解答繁琐；若设方程为，则包含了上述两种情况，简化了解题过程，有效地避免了讨论．[来源:21世纪教育网]
解：设所求椭圆方程为，将A、B两点坐标代入得，解得，，故所求椭圆方程为．[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
点评：事实上，中，当时，椭圆焦点在轴上；当时，椭圆焦点在轴上．
二．改造设法之二：利用共焦点椭圆系，巧设椭圆方程．
例2．求经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆标准方程．
分析：当一组椭圆具有某一相同性质时，我们称之为椭圆系．本题可用共焦点椭圆系方程求解．
解：设所求椭圆方程为，将M点坐标代入得，解得或（舍去），故所求椭圆方程为．
点评：与椭圆有相同焦点的椭圆系方程为且．
三．改造设法之三：利用共离心率椭圆系，巧设椭圆方程．
例3．求经过点且与椭圆有相同离心率的椭圆标准方程．
分析：离心率，可由与的比值确定，故一组椭圆中，无论焦点在轴还是轴上，只要比值相等，它们的离心率就相同．本题可用共离心率椭圆系方程求解．
解：设所求椭圆方程为或，将M点坐标代入得或，解得或，故所求椭圆方程为或．
点评：与椭圆有相同离心率的椭圆系方程为(焦点在轴上)或（焦点在轴上）．
四．改造求解过程，体会知识灵活运用．
例4．求焦点为且过点的椭圆方程．21世纪教育网
常规解法：设所求椭圆方程为，则由题意得，消去得，整理得，解得或（舍去，因此时），于是，故所求椭圆方程为．
改造解法一：设所求椭圆方程为，由定义得，即，平方整理得，因，则，故所求椭圆方程为．
改造解法二：由题意，所求椭圆与共焦点，则由例题2知，可设方程为，将点坐标代入得，解之得，故所求椭圆方程为．
点评：常规解法中联立方程组消元后，需要解一个4次方程，运算量较大，且容易出错；而改造解法中，法一巧妙地运用定义，避免了繁琐的运算，是一种可取的好方法；法二则运用共焦点椭圆系，简化了求解过程，也很巧妙．21世纪教育网

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